MÉTODOS CUANTITATIVOS I - PDF Descargar libre (2023)

Transcripción

1

2

3 MÉTODOS CUANTITATIVOS I Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner Departament of Mathematics, Simon Fraser University Víctor Hugo Ibarra Universidad Anáhuac José Luis Villalobos Pérez Universidad Autónoma de Guadalajara Macario Schettino Yáñez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México Con la colaboración de Justa Lobo de Corea Facultad de Ciencias Económicas, Administrativas y Contables Universidad Nacional Autónoma de Honduras Elena de Oteyza de Oteyza Emma Lam Osnaya Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México Carlos Hernández Garciadiego Angel Manuel Carrillo Hoyo Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México Max. A. Sobel Montclair State College Norbert Lerner State University of New York at Cortland Allen R. Angel Monroe Community College México Argentina Brasil Colombia Costa Rica Chile Ecuador España Guatemala Panamá Perú Puerto Rico Uruguay Venezuela

4 ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W. Métodos Cuantitativos I Matemáticas México, 005 Formato: cm 7 Authorized translation from the English language edition, entitled: Mathematical Analysis for Business, Economics and the Life and Social Sciences, 4 th ed., by Jagdish C. Arya and Robin W. Lardner 99, ISBN College Algebra nd ed., by Max A. Sobel and Norbert Lerner 987, ISBN Intermediate Algebra for College Students 4 th ed., by Allen R. Angel 996, ISBN Elementary Algebra for College Students 4 th ed., by Allen R. Angel 996, ISBN College Algebra 4 th ed., by Max A. Sobel and Norbert Lerner 995 ISBN X published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC. All rights reserved. Este libro es una compilación de las siguientes obras. Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía 4/e de Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner 99, ISBN Álgebra /e, de Max. A. Sobel y Norbert Lerner 987, ISBN Álgebra intermedia 4/e de Allen R. Angel 996, ISBN Álgebra elemental 4/e de Allen R. Angel 996, ISBN Álgebra 4/e de Max A. Sobel y Norbert Lerner 995, ISBN Temas selectos de matemáticas, Elena de Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya, Carlos Hernández Garciadiego y Angel Manuel Carrillo Hoyo ISBN X Álgebra /e 004, Elena de Oteyza de Oteyza, Emma Lam Osnaya, Carlos Hernández Garciadiego y Angel Manuel Carrillo Hoyo ISBN publicadas por Pearson Education, Inc., publicadas como PRENTICE HALL INC. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español: Editor: Guillermo Trujano Mendoza guillermo.trujano@pearsoned.com Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hernández Supervisor de Producción: José D. Hernández Garduño PRIMERA EDICIÓN, 005 D.R. 005 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco No piso Col. Industrial Atoto 559 Naucalpan de Juárez, Edo. de México editorial.universidades@pearsoned.com Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 0 Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN Impreso en México. Printed in Mexico

5 Presentación Una de las dificultades más frecuentes con las que se enfrentan los docentes en las diversas disciplinas de la enseñanza es la falta de bibliografía que reúna los requerimientos de un determinado silabus y que sea capaz de aglutinar una temática de interés. Ante esa limitante, la coordinación de la clase de Métodos Cuantitativos I, el departamento de Métodos Cuantitativos de la Facultad de Ciencias Económicas Administrativas y Contables de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras, en un esfuerzo conjunto, asumimos el reto de elaborar un texto para esta asignatura. En tal sentido, iniciamos un proceso de investigación y recopilación de información, en varias fuentes bibliográficas, de todos los temas que conforman el contenido de la clase. La experiencia ha sido enriquecedora y los resultados satisfactorios. Hemos elaborado un texto base que llenará un vacío y que constituirá la fundamentación teórico-práctico de la asignatura, con lo que estaremos coadyuvando significativamente no sólo con el proceso, sino con los resultados académicos de los estudiantes, quienes podrán seguir paso a paso las enseñanzas de sus maestros, contar con una amplia gama de ejercicios para realizar prácticas y darle seguimiento a la materia. Agradezco la colaboración de todos los catedráticos que imparten la asignatura, ya que con sus oportunas sugerencias hicieron posible la realización de esta obra. Los invito para que lo usen y hagan de él una de sus mejores herramientas de trabajo. Justa Lobo de Corea Coordinadora de la Cátedra de Métodos Cuantitativos I iii

6

7 Prefacio En esta edición, nos hemos esforzado por presentar el álgebra en forma tal que resulte de máximo provecho a estudiantes cuyos campos de especialización no sean las matemáticas ni las ciencias físicas. El libro está orientado principalmente hacia aplicaciones en la administración y la economía, aunque en esta edición se incluye una significativa cantidad de ejercicios y aplicaciones concernientes a diversas áreas de las ciencias sociales y biológicas, lo cual amplía la utilidad del texto. En esta edición se ha realizado una gran cantidad de revisiones. Se ha revisado el tratamiento de desigualdades cuadráticas en el capítulo. Y las aplicaciones en el capítulo se han dividido y colocado más próximas al álgebra que las relaciona. Además de estas revisiones y adiciones importantes, se ha hecho una gran cantidad de otras a lo largo de todo el libro, las cuales consisten de ejemplos adicionales desarrollados o aplicaciones del análisis. La mayor parte de los conjuntos de ejercicios se ha modificado y se han agregado otros nuevos. Varias herramientas pedagógicas son nuevas en esta edición. Al inicio de cada capítulo se incluye una aplicación o problema interesante y al final se agrega un repaso del capítulo o un caso de estudio. Se hace un uso amplio de cuadros para enfatizar las fórmulas y resultados principales. Quizá lo más útil de todo para el estudiante es la inclusión de cuadros de repaso, al margen del texto, que contienen preguntas sencillas que ligan de forma directa al análisis adyacente. Los asteriscos (*) preceden a los ejercicios que constituyen un reto. El libro está orientado a la enseñanza de las aplicaciones y a la utilización de las matemáticas más que a las matemáticas puras. No se hace hincapié en las demostraciones de los teoremas ni se da a éstas un lugar prominente en el desarrollo del texto. Por lo regular, después de enunciar un teorema procedemos a ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego se ofrece la demostración. Este relativo desinterés por los pormenores matemáticos da a los estudiantes cuya principal motivación es la aplicación de las matemáticas el tiempo necesario para mejorar sus habilidades en el uso de diversas técnicas. Según nuestra experiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las técnicas por lo común desarrollan una intuición razonablemente clara del proceso, y la carencia de un completo rigor matemático no constituye una grave deficiencia. v

8 El contenido de este libro se ha seleccionado de tal manera que incluya aquellas partes de las matemáticas básicas que son de mayor interés tanto para los estudiantes que se especializan en administración y economía, como para los de ciencias sociales y biológicas. Las aplicaciones referidas a estas áreas se han integrado por completo en el desarrollo de la obra: a veces una aplicación particular se utiliza para motivar ciertos conceptos matemáticos; en otros casos, determinado resultado matemático se aplica, ya sea de inmediato o en una sección subsecuente, a un problema concreto, digamos de análisis empresarial. Por lo general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercanía con el tratamiento del concepto matemático específico en cuestión. No obstante, cabe aclarar que las matemáticas de esta obra se presentan en un estilo limpio ; es decir, fuera del contexto de cualquier aplicación particular. Sólo después de establecer cada resultado en un nivel puramente algebraico, se aplica éste a un problema práctico. Deseamos expresar nuestros agradecimientos a las siguientes personas, quienes revisaron el manuscrito y proporcionaron valiosos comentarios y sugerencias: Michael J. Bradley, Merrimack College; Richard Weimer, Frotsburg State University; Karen Mathiason, West Texas State University; Ronald Edwards, Westfield State University; Yoe Itokawa, University of Alabama, Birmingham y Greg Taylor, Wake Forest University. Agradecemos también al M. en C. Víctor Hugo Ibarra, Universidad Anáhuac e Instituto Politécnico Nacional; al Maestro José Luis Villalobos, Universidad Autónoma de Guadalajara, y al Doctor Macario Schettino, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey campus ciudad de México, las secciones con que inicia cada capítulo y los casos de estudio al final de los mismos. J.C.A. R.W.L. vi PREFACIO

9 Contenido PRESENTACIÓN PREFACIO v iii REPASO DE ÁLGEBRA - Los números reales - Fracciones 0 - Exponentes 8-4 Exponentes fraccionarios -5 Operaciones algebraicas 9-6 Factorización 8-7 Fracciones algebraicas 46 Repaso del capítulo 55 Ejercicios de repaso del capítulo 56 CASO DE ESTUDIO 58 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 59 - Ecuaciones lineales 60 - Aplicaciones de ecuaciones lineales 68 - Ecuaciones cuadráticas 7-4 Aplicaciones de ecuaciones cuadráticas 8 Repaso del capítulo 88 Ejercicios de repaso del capítulo 88 CASO DE ESTUDIO 9 vii

10 DESIGUALDADES 9 - Conjuntos e intervalos 9 - Desigualdades lineales de una variable 99 - Desigualdades cuadráticas de una variable 06-4 Valores absolutos Repaso del capítulo 8 Ejercicios de repaso del capítulo 9 CASO DE ESTUDIO 4 LÓGICA MATEMÁTICA 7 4- Conjuntos 8 4- Unión de conjuntos 4 4- Intersección de conjuntos Producto cartesiano Lógica matemática 4 Repaso del capítulo TEMAS SELECTOS Radicales y exponentes fraccionarios División sintética Ecuaciones fraccionarias o racionales Ecuaciones con radicales Ecuaciones con valor absoluto Factorización de productos notables Despeje de fórmulas Porcentajes 0 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS Sucesiones Sumas de sucesiones finitas 6- Progresiones aritméticas Progresiones geométricas Series geométricas infinitas 6-6 Inducción matemática 4 Ejercicios de repaso del capítulo 6 48 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 5 viii CONTENIDO

11 CAPÍTULO Repaso de álgebra Una compañera nos sorprendió cuando en una clase necesitábamos calcular el área de un cuadrado de 75 cm por lado y ella de inmediato respondió que el área era de 565 cm. El profesor intrigado le preguntó cómo había hecho la operación tan rápido, a lo que ella contestó que al siete le sumo uno, cuyo resultado es ocho, multiplicó éste (el ocho) por siete y obtuvo 56, y colocó el 56 adelante del número 5, con lo que llegó a la respuesta. Nuestra compañera agregó que este método sólo servía para números que terminaran en cinco. El profesor se quedó pensativo probando con varios números, y después de un rato nos explicó lo siguiente: Para representar un número que termine en cinco, podemos indicar con d al número de decenas y así formar el número: 0d 5 Al elevar este número al cuadrado recuerden la forma de elevar un binomio al cuadrado obtenemos: (0d 5) 00d 00d 5 Si factorizamos los primeros dos términos del lado derecho, cuyo factor común es 00d, tenemos: (0d 5) 00d(d ) 5 Con esto podemos entender la regla para elevar rápidamente al cuadrado un número que termine en cinco. Hagámoslo con un ejemplo: Elevemos (65). a) Nos fijamos en el número de decenas: seis. b) Éste lo multiplicamos por el dígito que es uno mayor que él, siete. c) Formamos el número que inicia con el resultado anterior, 4, y termina con 5, es decir, 45. Con esta regla, realicemos las operaciones siguientes: i) 5 ii) 55 iii) 95 iv) 5 v) 7.5 vi) 05 T EMARIO - LOS NÚMEROS REALES - FRACCIONES - EXPONENTES -4 EXPONENTES FRACCIONARIOS -5 OPERACIONES ALGEBRAICAS -6 FACTORIZACIÓN -7 FRACCIONES ALGEBRAICAS REPASO DEL CAPÍTULO

12 - LOS NÚMEROS REALES Empezaremos con un breve esbozo de la estructura de los números reales. Los números,,, etc., se denominan números naturales. Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 5 y ; la suma y el producto 40 son números naturales. En cambio, si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es un número natural. Por ejemplo, 8 5 y 8 4 son números naturales, pero 5 8 y 7 no son números naturales. Así, dentro del sistema de números naturales, siempre podemos sumar y multiplicar pero no siempre podemos restar o dividir. Con objeto de superar la limitación de la sustracción, extendemos el sistema de los números naturales al sistema de los números enteros. Los enteros incluyen los números naturales, los negativos de cada número natural y el número cero (0). De este modo podemos representar al sistema de los enteros mediante...,,,, 0,,,,... Es claro que los números naturales también son enteros. Si sumamos, multiplicamos o restamos dos enteros cualesquiera, el resultado también es un entero. Por ejemplo, 8 5, ()(5) 5 y 8 5 son enteros. Pero aún no podemos dividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemos que: 8 () 4 es un entero, pero 8 no lo es. Por tanto, dentro del sistema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemos dividir. Para superar la limitación de la división extendemos el sistema de los enteros al sistema de los números racionales. Este sistema consiste en todas las fracciones a/b, donde a y b son enteros con b 0. Un número es racional si podemos expresarlo como la razón de dos enteros con denominador distinto de cero. Así 8, 5, 7 0 y 6 6, son ejemplos de números racionales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir dos números racionales cualesquiera (excepto dividir entre cero)* y el resultado siempre es un número racional. De esta manera las cuatro operaciones fundamentales de la aritmética: adición, multiplicación, sustracción y división son posibles dentro del sistema de los números racionales. Cuando un número racional se expresa como un decimal, los decimales terminan o presentan un patrón que se repite indefinidamente. Por ejemplo, y corresponden a decimales que terminan, mientras que y corresponden a decimales con patrones que se repiten. También existen algunos números de uso común que no son racionales (es de cir, que no pueden expresarse como la razón de dos enteros). Por ejemplo,, y no son números racionales. Tales números se denominan números irracionales. La diferencia esencial entre los números racionales y los irracionales se advierte en sus expresiones decimales. Cuando un número irracional se presenta por me- *Revise el parágrafo final de esta sección. CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

13 . Qué tipo de número es cada uno de los siguientes?: (a) (b) () (c) dio de decimales, éstos continúan indefinidamente sin presentar ningún patrón repetitivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales y No importa con cuántos decimales expresemos estos números, nunca presentarán un patrón repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren en el caso de los números racionales. El término número real se utiliza para indicar un número que es racional o irracional. El sistema de los números reales consta de todas las posibles expresiones decimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los números racionales, mientras que los restantes corresponden a los números irracionales. Geométricamente, los números reales se pueden representar con puntos sobre una línea recta denominada recta numérica. Con el fin de hacer esto, seleccionemos un punto arbitrario O sobre la línea que represente al número cero. Los números positivos se representan entonces con los puntos a la derecha de O y los negativos con los puntos a la izquierda de O. Si A es un punto a la derecha de O tal que OA tiene longitud unitaria, entonces A representa al número. Los enteros,,...,n,... están representados por los puntos A, A,...,A n,...,están a la derecha de O y son tales que OA OA, OA OA,..., OA n noa,... De manera similar, si B, B,..., B n,..., son los puntos a la izquierda de O tales que las distancias OB, OB, OB,..., son iguales a las distancias OA, OA,..., OA n,..., respectivamente, entonces los puntos B, B, B,..., B n,..., representan a los números negativos,,,..., n,... En esta forma, todos los enteros pueden representarse mediante puntos sobre la recta numérica. (Figura ). B n B B B O A A A A n n O n FIGURA Respuesta (a) racional, real (b) natural, entero, real (c) irracional, real Los números racionales pueden representarse con puntos sobre la recta numérica que están situados a un número apropiado de unidades fraccionarias a partir de O. Por ejemplo, el número 9 está representado por el punto situado cuatro unidades y media a la derecha de O y 7 está representado por el punto que está situado dos unidades y un tercio a la izquierda de O. De manera similar, todo número racional puede representarse con un punto sobre la línea. Se deduce que todo número irracional también puede representarse con un punto sobre la recta numérica. En consecuencia, todos los números reales, tantos los racionales como los irracionales, pueden representarse con tales puntos. Más aún, cada punto sobre la recta numérica corresponde a uno y sólo un número real. Debido a esto, es bastante común el uso de la palabra punto con el significado de número real. SECCIÓN - LOS NÚMEROS REALES

14 Propiedades de los números reales Cuando dos números reales se suman, el resultado siempre es un número real; de manera similar, cuando dos números reales se multiplican, también el resultado es un número real. Estas dos operaciones de adición y multiplicación son fundamentales en el sistema de los números reales y poseen ciertas propiedades que en breve enunciaremos. Estas propiedades por sí mismas parecen ser más bien elementales, quizás obvias, pero son vitales para entender las diversas manipulaciones algebraicas que efectuaremos después. Si a y b son dos números reales cualesquie- PROPIEDADES CONMUTATIVAS ra, entonces a b b a y ab ba Por ejemplo, 7 7, (7) (7), 7 7 y ()(7) (7)(). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos números son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier orden que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente. PROPIEDADES ASOCIATIVAS entonces Si a, b y c son tres números reales cualesquiera, (a b) c a (b c) y (ab)c a(bc) Por ejemplo, ( ) 7 ( 7) y ( ) 7 ( 7) 4. Estas propiedades se conocen como propiedades asociativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente. Establecen que, si tres números se suman (o se multiplican) a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en primer término. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos. En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los paréntesis en las expresiones anteriores. Podemos escribir a b c para indicar la suma de a, b y c, y abc para su producto sin ninguna ambigüedad. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS entonces Si a, b y c son números reales cualesquiera, a(b c) ab ac y (b c)a ba ca Por ejemplo, ( 7) () (7) Esto es sin duda cierto porque ( 7) 0 0. Por otra parte, ()[ (7)] ()() ()(7) Podemos evaluar la expresión dada directamente y obtenemos la misma respuesta: ()[ (7)] ()(4) 8. 4 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

15 La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primera dado que, por la propiedad conmutativa. Cuáles propiedades de los números reales son utilizadas en cada una de las siguientes igualdades? (a) 4 4 (b) 4 4 (c) ( 4) ( 4) (d) ( 4) 4 ( ) (e) x x ( )x (f) x xy x( y) (b c)a a(b c) y también ba ca ab ac Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera propiedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales. Las propiedades distributivas son particularmente importantes en los cálculos algebraicos. Como veremos, éstas sustentan muchas operaciones incluidas en la simplificación de expresiones y, si se leen hacia atrás, esto es, de derecha a izquierda, forman la base para los métodos de factorización. Los siguientes ejemplos ilustran algunos usos elementales de las propiedades de los números reales al simplificar las expresiones algebraicas. EJEMPLO (a) x(y ) xy x() xy x (b) x x ( )x 5x (propiedad distributiva) (propiedad conmutativa) (propiedad distributiva) (c) (x) ( )x (propiedad asociativa) 6x (d) (x)(x) [(x) ]x [ (x)]x [( )x]x (6x)x 6(x x) 6x (propiedad asociativa) (propiedad conmutativa) (propiedad asociativa) (propiedad asociativa) donde x denota x x. Esta respuesta final pudo obtenerse agrupando los términos semejantes en el producto original: los números y multiplicados dan 6 y las dos x multiplicadas dan x. La siguiente parte ilustra este procedimiento. (e) [5(ab)] (a) (5 )(a a)b 0a b Esta respuesta puede justificarse mediante una sucesión de pasos que emplean las leyes asociativa y conmutativa, como en la parte (d). Respuesta (a) conmutativa (b) conmutativa (c) conmutativa (d) ambas, conmutativa y asociativa (e) distributiva (f) ambas, distributiva y conmutativa (f) x (y x) x (x y) (x x) y (x x) y ( )x y x y (propiedad conmutativa) (propiedad asociativa) (propiedad distributiva) SECCIÓN - LOS NÚMEROS REALES 5

16 (g) x(4y x) (x)(4y) (x)(x) ( 4)(x y) ( )(x x) 8xy 6x (propiedad distributiva) [propiedades asociativa y conmutativa como en la parte (a)] La propiedad distributiva puede usarse en el caso de que más de dos cantidades se sumen dentro de los paréntesis. Esto es, etcétera. a(b c d) ab ac ad EJEMPLO 4(x y 4z) 4x 4(y) 4(4z) (propiedad distributiva) 4x (4 )y (4 4)z (propiedad asociativa) 4x y 6z ELEMENTOS IDENTIDAD Si a es un número real cualquiera, entonces a 0 a y a a Es decir, si 0 se suma a a, el resultado aún es a y si a se multiplica por, el resultado de nuevo es a. Por esta razón, los números 0 y a menudo se conocen como elementos identidad para la adición y la multiplicación, respectivamente, porque no alteran número alguno bajo sus respectivas operaciones. INVERSOS Si a es un número real arbitrario, entonces existe un único número real denominado el negativo de a (denotado por a) tal que a (a) 0 Si a no es cero, entonces también existe un único número real denominado el recíproco de a (denotado por a ) tal que a a Observe la similitud entre las dos definiciones: cuando a se suma a a, el resultado es el elemento identidad para la adición y cuando a se multiplica por a, el resultado es el elemento identidad para la multiplicación. A menudo nos referiremos a a como el inverso aditivo de a y a a como el inverso multiplicativo de a. (Algunas veces a se denomina simplemente inverso de a). 6 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

17 . Cuáles propiedades de los números reales se utilizan en cada una de las siguientes igualdades? (a) x x x x ( ) x 4x (b) ( ) () [ ()] 0 (c) EJEMPLO (a) El inverso aditivo de es, dado que () 0. El inverso aditivo de es, puesto que () 0. Como el inverso aditivo de se denota por (), se sigue que (). En realidad, un resultado correspondiente vale para cualquier número real a: (a) a (b) El inverso multiplicativo de es dado que. El inverso multiplicativo de sería denotado por ( ) y estaría definido por el requerimiento de que ( ). Pero dado que, se sigue que ( ) es igual a. De nuevo este resultado puede generalizarse para cualquier número real a distinto de cero: (a ) a (El inverso del inverso de a es igual a a). Una vez que hemos definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, podemos definir lo que entenderemos por las operaciones de sustracción y división. Definimos a b como el número a (b), es decir, a más el negativo de b. De manera similar, definimos a b como el número ab, es decir, a multiplicado por el recíproco de b. La expresión a b está definida sólo cuando b 0. También se indica por la fracción a/b y tenemos que Definición de a b : a b ab () Si a en la ecuación (), resulta que b b b Respuesta (a) propiedad del elemento idéntico multiplicativo y propiedad distributiva (b) propiedad asociativa, inverso aditivo y neutro aditivo (c) idéntico multiplicativo y definición de a De aquí, la fracción /b significa lo mismo que el inverso multiplicativo b. Por ejemplo,. Por tanto, se sigue de la ecuación () que dado que b /b. a b a b SECCIÓN - LOS NÚMEROS REALES 7

18 EJEMPLO 4 7 ( ) (a) 7 (Ecuación (), con a 7 y b ) 7( ) 7() Este resultado se extiende a cualesquiera pares de números reales a y b (b 0): a ab /b (b) Para cualquier número real, ()b b. Esto se debe a que b ()b b ()b [ ()]b 0 b 0 (propiedad distributiva) Por tanto, ()b debe ser el inverso aditivo de b, es decir b. (c) a(b) a[()b] ()(ab) (ab) (por el inciso (b) anterior) (usando las propiedades asociativa y conmutativa) Por ejemplo, (7) ( 7). (d) (x y) [x (y)] x (y) x [(y)] x [( )y] x 6y (definición de sustracción) (propiedad distributiva) (de la parte (c)) (propiedad asociativa) En general, la propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos negativos. Por ejemplo, a(b c) ab ac De esa manera podemos resolver este ejemplo en forma directa. (x y) x (y) x 6y Observe que cuando una expresión dentro de paréntesis debe multiplicarse por una cantidad negativa, todo término dentro del paréntesis cambia de signo. EJEMPLO 5 (a b) ()(a b) ()a ()b a b (x y) ()x ()(y) x 6y Observe que tanto x como y, que están dentro de los paréntesis, cambian de signo, y quedan como x y 6y, respectivamente. 8 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

19 4. Están definidas las siguientes expresiones? a (a) b ( b 4b) (b) b (b 4b) a Respuesta (a) no (b) sí, siempre y cuando a 0 Observación sobre la división entre cero. La afirmación a/b c es cierta si y sólo si la proposición inversa a b c es válida. Consideremos una fracción en la cual el denominador b es cero, tal como. 0 Ésta no puede ser igual a ningún número real c porque la afirmación inversa 0 c no puede ser válida para ningún real c. Por tanto, 0 no está bien definido. Asimismo, 0 0 no es un número real bien definido porque la proposición inversa 0 0 c es válida para cada número real c. Así, concluimos que cualquier fracción con denominador cero no es un número real bien definido o, en forma equivalente, que la división entre cero es una operación que carece de sentido. Por ejemplo, x/x es cierto sólo si x 0. 4 EJERCICIOS -. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una que sea correcta. a. x 4x 7x b. (x)(4x) 7x c. (5 4y) 0 4y d. (x y) x y e. 5x ( x) x f. 5 x x g. (x y) x 6y h. (a)(b)(c) (d) (abc d) i. a (b c) (ac) b j. a (b c) (a c) b k. (x)(y) xy l. a a b b m. 0 0, para todos los números reales x x (-60) Simplifique las siguientes expresiones.. 5 (). 7 () 4. 5() 5. ()(7) 6. 8 () 7. (9) () 8. ( 6) 9. (4 ) 0. ()()(4). (5)()(). ( 4). ( ) 4. (4 ) 5. 4( 6) 6. 6 ( ) 7. (x y) 8. 4(x z) 9. (x y) 0. (4z x). (x 6). (x ). (x 4) 4. (x ) 5. (x ) 6. 4(x 6) 7. x(y 6) 8. x(y 6) 9. (x y) 4x 0. y 4(x y). z (x z). 4x (z x). (x y) 4(x y) 4. (y x) (x y) 5. 5(7x y) 4(y x) 6. 4(8z t) (t 4z) 7. x(y)(z) 8. (x)(y)(z) 9. ()(x)(x ) 40. (x)(y)( z) 4. (a)( a) 4. (7 p)(q)(q p) 4. x()(x 4) 44. (x)()(y 4) 45. x(x ) (x ) 46. (x)(y ) (y)(4 5x) 47. x 5 (x ) 48. x t (x t) 49. (x y) x 50. 4x(x y) x 5. 4[(x ) ] 5. x[(x ) x ] 5. x[(4 5) ] 54. 4[x( 5) ( x)] 55. x (x ) 56. x (x ) 57. (x) (x ) 58. (x) (6 x) 59. (xy) (x y) 60. (xy) (x y) SECCIÓN - LOS NÚMEROS REALES 9

20 - FRACCIONES En la sección -, vimos que la fracción a/b está definida como el producto de a y el inverso de b: En particular, a b ab (b 0) b b Con base en la definición anterior es posible deducir todas las propiedades que se usan al manejar fracciones. En esta sección nos detendremos un poco a examinar este tipo de operaciones.* Multiplicación de fracciones El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dos numeradores y luego los dos denominadores. EJEMPLO (a) a b d c ac bd 5. Evalúe (a) 7 x 7 (b) 5 (b) x 4 y ( (c) x 5 4 y x) 4 8 x y y x 4 (x) 4 5 y x 5 (5y) 5y División de fracciones Con el propósito de dividir una fracción entre otra, la segunda fracción se invierte y después se multiplica por la primera. En otras palabras, a b c d a b d c a bd c Respuesta (a) 4 9 7x (b) 0 *Las demostraciones de las propiedades que aparecen en recuadros se dan como una serie de teoremas al final de esta sección. 0 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

21 EJEMPLO (a) (b) x y y 4 8 x xy (c) 5y 5 6 x 5 y 5 x 6 5 xy 6 (d) x (y) x y x y 4 xy 6. Evalúe (a) (b) x 7 5 (e) a b a b b a b a (Es decir, el recíproco de cualquier fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador de la fracción). 6. En vista de este último resultado, podemos reescribir la regla anterior para la división: para dividir entre una fracción, debe multiplicar por su recíproco. Cancelación de factores comunes El numerador y el denominador de cualquier fracción pueden multiplicarse o dividirse por un número real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la fracción. a b a c (c 0) bc EJEMPLO (a) a b a b (b) (c) 5 x 0x (con tal que x 0) 6 x Respuesta 5x (b) 4 (a) 4 9 Esta propiedad de las fracciones puede usarse con el fin de reducir una fracción a su mínima expresión, lo que significa dividir al numerador y al denominador por todos los factores comunes. (Esto se llama también simplificación de la fracción). SECCIÓN - FRACCIONES

22 EJEMPLO 4 (a) Observe que tanto el numerador como el denominador se escriben primero en términos de sus factores primos y luego el numerador y el denominador se dividen por aquellos factores que son comunes a ambos números, como el y el 7. (Este proceso algunas veces se denomina cancelación). (b) 6 xy x x y x x y 8xy x x y y x y y 4y (xy 0) 7. Evalúe (a) 5 4 x (b) x 8y En este ejemplo, el numerador y el denominador fueron divididos entre xy en la simplificación. (c) x( x ) x (x 0) 4y( x ) y Aquí el factor común (x ) fue cancelado del numerador y del denominador. 7 Adición y sustracción de fracciones Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarse simplemente sumando sus numeradores. a c b c a b c Una regla similar se aplica a la sustracción: a c b c a b c EJEMPLO 5 5 (a) (b) x x 5 x x x (Observe la cancelación de factores comunes al llegar a las respuestas finales). Respuesta (a) 5 (b) 4 y Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restarse, las fracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador. CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

23 8. En cada caso, cuál es mínimo común denominador? EJEMPLO 6 Simplique: (a) y 5 6 (b) xy y x 8y Solución (a) 5 6 (a) Podemos escribir (b) Entonces, ambas fracciones tienen el 6 mismo denominador, de modo que podemos sumarlas (b) En la parte (a), multiplicamos el numerador y el denominador de por para obtener un denominador igual al de la otra fracción. En esta parte, ambas fracciones deben modificarse para que tengan un factor común. Escribimos Por tanto, y Respuesta (a) 6 (b) 8xy En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores diferentes, primero reemplazamos cada fracción por una equivalente que tenga un denominador común. Con el propósito de mantener los números tan pequeños como sea posible, elegimos el más pequeño de tales denominadores comunes, denominado el mínimo común denominador (m.c.d.). Aún obtendríamos la respuesta correcta utilizando un denominador común más grande, pero es preferible usar el mínimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte (b) del ejemplo 6, pudimos emplear 4 como un denominador común: La respuesta final es la misma, pero habríamos tenido que trabajar con números más grandes. Para calcular el m.c.d. de dos o más fracciones, los denominadores deben escribirse en términos de sus factores primos. Entonces el m.c.d. se forma tomando todos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cada uno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera de los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de 5 6 y, 4 se encuentra escribiendo los denominadores en la forma 6 y 4. Los factores primos que ocurren son y, pero aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es. Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/x y 7/0x y. Escribimos x x y 0x y 5 x x y Tomando cada factor el mayor número de veces que aparezca, tenemos que m.c.d. 5 x x y 60x y 8 SECCIÓN - FRACCIONES

24 EJEMPLO 7 Simplifique: Solución Por tanto, Entonces, x y (a) (b) x 6 (c) a c b d 4a (d) (e) x x 4xy 5b b (a) El m.c.d. es. x x y y ( y) 9y 6 4 x y x 9y x 9y 6 4 (b) El m.c.d. en este caso es 8x, de modo que 9 x 8x y 6 x 8x 9 x 6 8x x x 8x 8x 9. Evalúe y simplifique (a) 5 4 x 7x (b) y 8 y (c) El m.c.d. es cd. a c b d a d b c ad bc 9 cd cd cd (d) Aquí tenemos una fracción cuyo denominador, a su vez, incluye una fracción. Primero simplificamos el denominador: 5b b 5b b 4 b Entonces, la expresión dada es 4a 4a 4 b 4 b 4a 4b 6 a 7b Respuesta (a) (b) x 8y (e) Primero simplificamos la expresión que se encuentra entre paréntesis. El mínimo común denominador es x y. x 4xy 4y 9x x y x 4y 9x y x y 4 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

25 Por tanto la expresión dada es igual a x 4y x 9x y x x y 6x y 4y 9x 4y 9x (en donde x x x x x x). Demostraciones de los teoremas Concluimos esta sección demostrando las propiedades básicas de las fracciones que hemos utilizado en los ejemplos anteriores. TEOREMA b d b d DEMOSTRACIÓN Por definición, b b y d d, de modo que Como, b d b d (b d ) (bd) (b b) (d d) (usando las propiedades asociativa y conmutativa) Por tanto b d debe ser el inverso multiplicativo de db, es decir, b d b d como se requería. Observación Este resultado puede reescribirse en la forma (bd) b d. TEOREMA DEMOSTRACIÓN a b d c ac b d a b ab a b y también d c c d SECCIÓN - FRACCIONES 5

26 Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir como se pedía. a b c d a b c d ac b d ac b d (por el teorema ) ac b d TEOREMA a b b a DEMOSTRACIÓN Por definición, a/b ab. Por tanto, por el teorema, Pero (b ) b, de modo que a b (ab ) a (b ) como se requería. a b a b ba b a TEOREMA 4 a b c d a b d c Por definición, x y xy. Por tanto, tenemos las igualda- DEMOSTRACIÓN des: a b c d a b c d a b d c (por el teorema ) TEOREMA 5 a b a c (c 0) bc DEMOSTRACIÓN Para cualquier c 0, la fracción c/c, puesto que, por definición c/c cc. Por tanto, por el teorema, como se pedía. a c bc a b c c a b a b 6 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

27 TEOREMA 6 a c b c a b (c 0) c DEMOSTRACIÓN Por definición, a c ac y b bc c Por tanto, a c b c ac bc (a b)c a b c (por la propiedad distributiva) como se requería. EJERCICIOS -. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es válida o no. Reemplace cada proposición falsa por una verdadera. a. x 4 x 7 x b. x 4 x 7 x c. a b c a c b d d d. a b c e d f a c e bdf e. a b c d e f adf bce f. a b c e d f adf bce g. a b a b x h. x y y i j (-58) Evalúe cada una de las expresiones siguientes. Escriba las respuestas en los términos más simples x x 8. 7x 6y x x x 5y 5 y 4 x y (5xy) xy x 5 5. (x) x 8. x x xy 4y xy x x 5y x y 4 x 5 x y. 6x 4 x y y SECCIÓN - FRACCIONES 7

28 . 8 9 t st 4. x 4 s. 4 z 4 z 5. xy x y xy 9 xt x 4 t t 6. z z 4 z 7. xt x t 4 t x x. 5 0 x x x x y.. x x a a 4. 6 b b a 5. a 6 b 9b x 4 x 7. y 0x 6 x x 8. p 9. p yq x y y z z x 40. x y y x 4. x 4y y 4. 6 x x 4. 6 x x a 44. b a b b a 46. x 9 y xy xy a b a b x 8 x x y 6 6 x x 4 x x 6 x x x x x 5. y 54. 5y 4 y 5 y 5 p q p p a b 4 b 5 a 8q b p b 4p 5 - EXPONENTES Si m es un entero positivo, entonces a m (léase a a la potencia m o la m-ésima potencia de a) se define como el producto de m factores a multiplicados a la vez. Por lo que a m a a a a En este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo, 4 6 (cuatro factores de ) 5 4 (cinco factores de ) En la expresión a m, m se llama la potencia o exponente y a la base. Así en 4 (la cuarta potencia de ), es la base y 4 es la potencia o exponente; en 5, es la base y 5 el exponente. Esta definición de a m cuando el exponente es un entero positivo es válida para todos los valores reales de a. Observe el patrón en la tabla, en la cual se dan varias potencias de 5 en orden decreciente. Tratemos de completar la tabla. Observe que cada vez que el exponente disminuye en, el número de la derecha se divide entre 5. 8 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

29 Esto sugiere que la tabla se completaría continuando la división entre 5 con cada reducción del exponente. De esta manera llegamos a las igualdades siguientes: TABLA ? 5? 5? 5? 5 4? Este patrón en forma natural nos conduce a la definición siguiente de a m, en el caso de que el exponente m sea cero o un número negativo. DEFINICIÓN Si a 0, entonces a 0 y si m es un entero positivo cualquiera (de modo que m es un entero negativo), 0. Evalúe (a) ( 5 )0 (b) ( ) a m a m Por ejemplo, 4 0, 7 0, (5) 0, etc. Asimismo, 4 y () ( ) 5 0 De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denominadas las leyes de los exponentes, las cuales se enuncian a continuación. Propiedad a m a n a mn Esto es, cuando dos potencias de una base común se multiplican, el resultado es igual a la base elevada a la suma de los dos exponentes. Este resultado vale para cualquier número real a, excepto en el caso de que m o n sea negativo, requerimos que a 0. EJEMPLO (a) Respuesta (a) (b) 8 Podemos verificar que esto es correcto desarrollando las dos potencias del producto. 5 5 (5 5) (5 5 5) SECCIÓN - EXPONENTES 9

30 . Simplifique (a) (b) x 4 x 6 x Respuesta (a) 6 (b) (b) x 5 x x 5() x De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias. x 5 x (x x x x x) x x x x x x Propiedad a m an a mn (a 0) Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el resultado es igual a la base elevada a un exponente que es la diferencia del exponente que está en el numerador y el exponente del denominador. EJEMPLO. Simplifique (a) (b) x 4 (x 6 x ) Respuesta (a) 5 4 (b) x 8 (a) (b) () (c) (d) x x x4 x 4 x x 4() x x Propiedad (a m ) n a mn (a 0, si m o n es negativo o cero) Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al producto de los dos exponentes. EJEMPLO (a) ( ) 6. Simplifique (a) ( ) (b) (x 4 ) 4 (x ) Respuesta (a) (b) x 7 Podemos comprobar que esto es correcto, dado que ( ) 6 (b) (4 ) 4 4 ()(4) 4 8 (c) x 5 (x ) x 5 x ()() x 5 x x 5 x 7 ( x) x()( ) (d) x 4 x 44 x 8 ( x ) x ()() x4 (e) (x p ) x (p)() x p x p 0 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

31 En una expresión, tal como c 5, la base es c, no c. Si necesitamos que la base sea c,debemos encerrarla entre paréntesis y escribir (c) 5. Por ejemplo 8 4, no es lo mismo que ( ) 6 6. En caso de que la base es un producto, tenemos la propiedad siguiente. Propiedad 4 (ab) m a m b m (ab 0 si m 0) 4. Evalúe (a) y ( ) (b) y ( ) Esto es, el producto de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al producto de las m-ésimas potencias de los dos números. 4 EJEMPLO 4 (a) 6 4 ( ) (b) (x y) 4 (x ) 4 y 4 x 8 y 4 Respuesta (a) 6 y 64 (b) 4 y 6 (c) (a b ) (a ) (b ) 9a 4 b 6 (xy (d) ) x (y ) x (x y) 4 (x ) 4 y 4 x y x (8) y 6(4) x 6 y y x 8 y x y 6 Propiedad 5 a b m a b m (b 0 y a 0 si m 0) m Es decir, el cociente de dos números elevados a la m-ésima potencia es igual al cociente de las m-ésimas potencias de tales números. EJEMPLO 5 5. Simplifique (a) (x) (b) x 4 (4x ) Respuesta (a) x (b) 4x 4 (a) (b) x y 5 x y 5 x 5 y 5 (c) x y x y x x y x (4) y x 7 y. 5 (x ) x4 EJEMPLO 6 Simplifique las siguientes expresiones, eliminando paréntesis y exponentes negativos. (a) ( ax) 5 ( x ) (b) (c) x 4 (x x ) x 7 ( xz) (d) (x y ) (e) x y ( xy) Solución (a) ( ax) x 5 a 5x5 7 x a 5 x 5(7) a 5 x 7 5 SECCIÓN - EXPONENTES

32 6. En el ejemplo 6(d) sería incorrecto por completo escribir (x y ) (x ) (y ) x y. Puede ver por qué esto es incorrecto? Intente con dos valores para x y y, tales como y 4. (x (b) ) x x ()() 4 (x z ) (x ) (z ) x6 z 9 Observe que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse en el denominador. (c) x 4 (x x ) x 4 (x) x 4 (x ) x 4 x 4 x 5 x x 0 z 9 (d) Primero debemos simplificar la expresión dentro de los paréntesis. El denominador común es xy. x y y x y x x y xy xy xy Ahora, recuerde que el recíproco de una fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador, de modo que y x xy (x y ) xy y x x (e) y x y x y y x (xy) x y x y x y y x Solución alterna x y (xy) (x y ) xy x xy y xy (propiedad distributiva) y x y x 6 EJERCICIOS - (-6) Simplifique las siguientes expresiones. No use paréntesis o exponentes negativos en la respuesta final.. ( 5 ). ( 4 ). (a ) 7 4. (x 4 ) 5 5. (x ) 5 6. (x 5 ) 7. y y 5 8. x 7 x 4 9. a a 5 0. b b 6. (x) x 7. (4x) x 4. (x) (x ) 4. x (4x ) 5. (x yz) (xy) 4 6. (yz ) (y z) 7. (x y) 8. (ab ) 9. (xy z ) (xyz) 0. (x pq ) (xp ) 4) ). ( 4. ( x5 5. x ) 7. (x x4 6. y y7 z 8. ( z 8 ) 4 9. ( a ( a 4 ) ) 6 0. ( b 7) ( b) ( x. ( x ) ). ( y ) ( y) CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

33 . (x y) (xy) 5. ( xy) 6. xy 4. (a b ) a b (ab c) a bc 7. ( x) ( xy) 8. x ( xy ) 9. ( a b ) (x ( a 40. b) ( x y4) y ) 4. x (x 4 x) 4. x (x x) 4. x(x 5 x ) 44. x (x 4 x ) 45. x 4 (x x x ) 46. x (x 5 x 4 x) 47. ( x ) 48. [(x) (y) ] 49. (xy) (x y ) 50. (a b ) 5. 7 x 4x x 5. x 6 5x y x 5 xy x 5 x x x 4y 4 y x 4 y 4 x y 59. y 5 xy x 6. x (x x ) x x 4x 6 x 5 y 60. x x x x 5x -4 EXPONENTES FRACCIONARIOS Hemos definido a m cuando m es cualquier entero, ahora extenderemos la definición al caso en que m es un número racional arbitrario. Nos gustaría hacer esta extensión en tal forma que las propiedades a 5 de la sección - continúen siendo válidas aun en el caso de que m y n no sean enteros. En primer término consideraremos la definición de a / n cuando n es un entero distinto de cero. Para que la propiedad continúe vigente cuando m /n, debe ser válido que (a / n ) n a (/ n)n a a De este modo, si hacemos b a /n, es necesario que b n a. EJEMPLO (a) 8 / ya que 8 (b) (4) /5 ya que () 5 4 En el caso de que n sea un entero par, surgen dos dificultades con esta definición de a /n. Por ejemplo, sea n y a 4. Entonces, b 4 / si b 4. Pero hay dos números cuyo cuadrado es igual a 4, es decir, b y b. De modo que necesitamos decidir qué entenderemos cuando escribamos b 4 /. En realidad, definiremos 4 / como. En segundo lugar, suponga que a es negativo. En tal caso, b a / si b a. Sin embargo, el cuadrado de cualquier número negativo (positivo, negativo o cero) nunca es negativo. Por ejemplo, 4 6 y () 9 son positivos. En consecuencia b nunca es negativo para cualquier número real b, de modo que cuando a 0, a / no existe en los números reales. Así, () / o ( 4 )/ carecen de sentido como números reales. Adoptaremos la siguiente definición. SECCIÓN -4 EXPONENTES FRACCIONARIOS

34 7. Evalúe lo siguiente, si existen: (a) (7) / (b) (64) /6 (c) 5 (d) ( 6 ) /4 (e) 6 79 (f) 0 DEFINICIÓN Si n es un entero positivo par (tal como, 4 o 6) y si a es un número real no negativo, entonces se dice que b es la n-ésima raíz principal de a, si b n a y b 0. Así, la n-ésima raíz de a es el número no negativo el cual, al elevarse a la n-ésima potencia, da el número a. Denotamos la n-ésima raíz principal por b a /n. Si n es un entero positivo impar (tal como, o 5) y si a es un número real cualquiera, entonces b es la n-ésima raíz de a si b n a, expresada una vez más como a /n. Es decir b a /n si b n a; b 0 si n es par. Las raíces impares están definidas para todos los números reales a, pero las raíces pares sólo están definidas cuando a no es negativo. EJEMPLO (a) /5 porque 5 (b) (6) / 6 ya que (6) 6 (c) 6 /4 porque 4 6 y 0 (d) (79) /6 ya que 6 79 y > 0 (e) /n para todo entero positivo n, porque n (f) () /n para todo entero positivo impar n,debido a que () n cuando n es impar. (g) (8) /4 no existe, porque los números negativos sólo tienen raíces n-ésimas cuando n es impar. El símbolo n a también se utiliza en lugar de a /n. El símbolo se denomina signo radical y n a a menudo se llama radical. Cuando n, a / se denota simplemente por a más que por a: y se le llama la raíz cuadrada de a. También, a a / es la tercera raíz de a,y por lo regular se le llama raíz cúbica, 4 a a /4 es la raíz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejemplo pueden volverse a formular utilizando esta notación: (a) 5 (b) 6 6 (c) 4 6 (d) 6 79 (e) n para n un entero positivo (f) n para n un entero positivo impar (g) 4 8 no existe 7 Respuesta (a) ; (b) ; (c) ; (d) y (e) no existen; (f). Ahora estamos en posición de definir a m/n para un exponente racional m/n. 4 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

35 DEFINICIÓN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un número real. Entonces. a m/n (a /n ) m Es decir, la (m/n)-ésima potencia de a es la m-ésima potencia de la raíz n-ésima de a. Observación Si n es par, a no debe ser negativo. Si m es negativo, a no debe ser cero. EJEMPLO (a) 9 / (9 / ) 7 (b) 4 / (4 / ) (c) 6 /4 (6 /4 ) 8 De la parte (b) del ejemplo, podemos generalizar el resultado siguiente: Esto se sigue dado que a /n n a a /n (a /n ) a /n TEOREMA Si a m/n existe, entonces a m/n (a m ) /n Es decir, la (m/n)-ésima potencia de a es igual a la raíz n-ésima de la m-ésima potencia de a. Este teorema, el cual no demostraremos, ofrece un método alternativo para calcular cualquier potencia fraccionaria. EJEMPLO 4 (a) 6 /4 (6 /4 ) 8, o 6 /4 (6 ) /4 (4096) /4 8 (b) 6 / (6 / ) 6 6, o 6 / (6 ) / (46,656) / 6 Observación Si m/n no está en su mínima expresión, entonces (a m ) /n puede existir mientras que a m/n no. Por ejemplo, sea m, n 4 y a 9. Entonces, (a m ) /n [(9) ] /4 8 /4 pero a m/n (9) /4 [(9) /4 ] no existe. Según los ejemplos y 4, es claro que cuando evaluamos a m/n, es más fácil primero extraer la raíz n-ésima y después elevar a la m-ésima potencia; de esa manera SECCIÓN -4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 5

36 8. Simplifique (a) / / (b) / ( / ) (c) (x / ) x (d) (x / ) / x 7/6 (e) (8x) /5 4 x /5 trabajamos con números más pequeños. En otras palabras, en la práctica calculamos a m/n usando la definición (a /n ) en lugar de (a m ) /n. Con estas definiciones, es posible demostrar que las leyes de los exponentes, que se establecieron en la sección -, también son válidas para exponentes fraccionarios. Las volvemos a escribir y las ilustramos con algunos ejemplos. Reenunciemos estas leyes, ya que son muy importantes. Leyes de los exponentes:. a m a n a mn. a a mn an m. (a m ) n a mn 4. (ab) m a m b m 5. a b m a b m m Al utilizar estas leyes, debemos recordar que tienen algunas restricciones: en cualquier potencia, si el exponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el exponente contiene una raíz par, la base no debe ser negativa. EJEMPLO 5 (a) 5 5 7/ 5 7/ 5 / (b) 4 4 7/ 4 7/ 4 / 47/ (c) 4 7// 4 6 ( 4) / / (d) 9 9 /() 9 5/ (9 / ) (e) 9/4 x x 9/44 x 7/4 x4 (f) (5 ) 7/6 5 (7/6) 5 7/ (g) ( 4/ ) 6/5 (4/)(6/5) 8/5 (h) a m (a m ) para cualquier número racional m a m (i) (6) / (4 9) / 4 / 9 / 6 (j) (x y) / (x ) / y / x (/) y / xy / (k) (a /5 b 4 ) / / (a /5 ) / (b 4 ) / / a /5 b (l) 4 ab (ab) /4 a /4 b /4 4 a 4 b (m) x/ y x y / x y / / x y Respuesta (a) (b) (c) x (d) x (e) x (n) 8 / 7 8/ ( 8/ ) 7/ ( 7/ ) CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

37 9 EJEMPLO 6 Encuentre m tal que m. 7 Solución Expresamos ambos lados como potencia de. 9 / ( ) / / 9 (/) 7/ 7 Por tanto, m 7. EJEMPLO 7 Evalúe: (a) 64 / 5 Solución (a) 64 5 (b) (b) 64 x / / (/) x x / / 5 x / (por la ley 5) / 4 / 4 / (por la ley ) (por la ley 5) 4 x (4x (por la ley ) /) 9 6x /9 6 x EJEMPLO 8 Simplifique la siguiente expresión Solución En expresiones tales como ésta, por lo general, conviene escribir todas las bases en términos de sus factores primos. 4 p 7 p/ 5 p 6 p 8 p/ 9 p/ 0 p 4 p 7 p/ 5 p 6 p 8 p/ 9 p/ 0 p ( ) p ( ) p/ (5 ) p ( ) p ( ) p/ ( ) p/ ( 5) p p p/ 5 p p p (por las leyes y 5) (p/) (p/) p 5 p ( p p )( p p ) 5 p ( p p )( p ) 5 p 4p p 5 p 4p p 5 p (combinando términos con bases iguales) SECCIÓN -4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 7

38 9. Simplifique (a) 4 6 (b) ( 9) (c) 4 x x (d) x(x x) EJEMPLO 9 Simplifique (7 75)/. Solución Observe que los tres radicales en esta expresión pueden simplificarse factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de los números. Por tanto, () 4 4 EJEMPLO 0 Simplifique: (a) x(x x) (b) x x x Solución Exprese los radicales en términos de exponentes fraccionarios y luego utilice las propiedades distributivas y las leyes de los exponentes. Respuesta (a) 4 (b) (c) x (d) x x (a) x(x x) x / (x / x / ) x / x / x / x / x x 7/6 (b) x x x/ x x x / (x / x)x / x / x / x x / x /6 x / 9 EJERCICIOS -4 (-6) Encuentre m tal que las siguientes proposiciones sean verdaderas.. 8 m. m 8. 8 m 4. m 5. 4 m 6. 4 m (7-6) Evalúe las siguientes expresiones () 4. ( 5 ) 5. (8) /4 6. ( 8 7 ) 4/ 7. (0.6) / 8. (0.6) / / /4. (9 6 / ) /6. 9 /4 /. 6 4/5 8 / / ( 5 )4/ 5. (7) / (6) /4 6. ( 6 ) /8 (6) 5/4 (7-56) Simplifique las siguientes expresiones. 7. (6x 4 ) / x / 9. (x 5 y 0 ) / a b. 4 x / 6x /. (x / x /5 ). (x / x / ) 4. (6x 4 ) / (8x 6 ) / 8 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

39 x 5. x /7 /7 y/ 5 y/ 5 6. a a b b 4/ 9 / 4 / 9 / 50. a / b 5/7 a b 7/8 a b / 4 / p p 0 q q / 5 / 5 / 5 / 5 9. x5/ x/ y/ 4 y/ (x y) /5 (4 xy ) / a / a /4 (a ) /6 (a / ) 5 (x y) / (xy) /4 (xy ) / m m 5 m 6 m 5. 8m 9 m/ 0 m 5. x x a c b x b x c a x x c a b (7) 55. n/ (8) n/6 56. (8) n/ ab 54. x x x b x bc c 57. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas. a. 5 b. 8 c. 7 d. () e. 9 f. a a para todo real a g. a b a b si a 0 y b 0 h. a m a n a mn i. a an a m/n j. a a /6 k. a a si a 0 m (x ab ) (y ab ) (xy) ab x ca x a 8 m 5 m 0 m 8 5m/ 49 m 5 m -5 OPERACIONES ALGEBRAICAS Cantidades del tipo x x 7, 5y y 6y y x /y 4 se denominan expresiones algebraicas. Los bloques de construcción de una expresión algebraica se llaman términos. Por ejemplo, la expresión x x 7 tiene tres términos, x, x y 7. La expresión x y/ y/x tiene dos términos, x y/ y y/x. En el término x, el factor se denomina el coeficiente numérico (o simplemente el coeficiente). El factor x se denomina la parte literal del término. En el término x, el coeficiente es y la parte literal x. En el término x y/, el coeficiente es y la parte literal es x y. El término 7 no tiene parte literal y se llama término constante. El coeficiente es 7. Una expresión algebraica que contiene un solo término se denomina monomio. Una expresión que contiene exactamente dos términos se llama binomio y la que contiene precisamente tres términos se denomina trinomio. Los siguientes son unos cuantos ejemplos de expresiones de estos tipos. Monomios: x, 5y, 7/t,, xy/z Binomios: x, x 5/y, 6x y 5zt Trinomios: 5x 7x, x 4x /x, 6y 5x t En general, una expresión que contiene más de un término se denomina multinomio. SECCIÓN -5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 9

40 Adición y sustracción de expresiones Cuando 4 manzanas se suman a manzanas obtenemos 7 manzanas. En la misma forma, 4x x 7x. Esto es una simple consecuencia de la propiedad distributiva, dado que 4x x (4 )x 7x Si compara lo anterior con la sección - verá que aquí utilizamos la ley distributiva hacia atrás, esto es, de derecha a izquierda. De una manera similar, podemos sumar cualesquiera dos expresiones cuyas partes literales sean iguales. Simplemente sumamos los dos coeficientes numéricos. EJEMPLO (a) x 9x ( 9)x x (b) 4ab ab (4 )ab 7ab (c) x x y y x y x y x y 5 x y 5 x y Dos o más términos de una expresión algebraica se dice que son semejantes si tienen las mismas partes literales. Por ejemplo, x y y 5yx son semejantes dado que sus partes literales, x y y yx, son iguales. De manera similar, los tres términos x yz, 7x z y y z x / son términos semejantes. En general, dos términos semejantes sólo pueden diferir en sus coeficientes numéricos o en el orden en que aparecen las variables. Dos o más términos semejantes pueden sumarse o restarse usando la propiedad distributiva, como se ilustró en el ejemplo. A continuación se presentan ejemplos adicionales. EJEMPLO (a) x 7x ( 7)x 5x (b) 5x y x y yx (5 )x y 4x y 0. Simplifique las siguientes expresiones: (a) ab 4ab a (b) x x (x x) Los términos que no son semejantes no pueden combinarse de la manera que acaba de verse. Así, los términos en la expresión x 5xy no pueden combinarse para dar un término individual. Cuando sumamos dos o más expresiones algebraicas, reagrupamos los términos de tal manera que dos expresiones que sean semejantes aparezcan juntas. 0 EJEMPLO Sume 5x y 7xy x y 6 x 4xy y x. Solución La suma requerida es Respuesta (a) ab (b) x 4x 5x y 7xy x (6 x 4xy y x ) 5x y 7xy x 6 x 4xy x y 0 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

41 Reagrupando los términos, de tal manera que los términos semejantes estén agrupados juntos, obtenemos la suma en la forma siguiente: 5x y x y 7xy 4xy x x 6 (5 )x y (7 4)xy ( )x ( 6) 8x y ()xy x 5 8x y xy x 5 EJEMPLO 4 Reste x 5xy 7y a 7x xy 4y 6 Solución En este caso, buscamos 7x xy 4y 6 (x 5xy 7y ) Después de suprimir los paréntesis, cada término dentro de los paréntesis cambia de signo. En consecuencia, la expresión anterior es equivalente a la siguiente: 7x xy 4y 6 x 5xy 7y dddd 7x x xy 5xy 4y 7y 6 (7 )x ( 5)xy (4 7)y 6 4x xy ()y 6 4x xy y 6 Multiplicación de expresiones La expresión a(x y) denota el producto de a y x y. Para simplificar esta expresión suprimimos los paréntesis y multiplicamos cada término dentro del paréntesis por el número que está afuera; en este caso a: a(x y) ax ay Esto es simplemente por la propiedad distributiva. De manera similar, este método funciona siempre que una expresión algebraica se multiplique por cualquier monomio. EJEMPLO 5. Simplifique las expresiones siguientes eliminando los paréntesis: (a) (x ) x(x ) (b) x x x(x ) (a) (x y 7t ) ()x ()(y) ()(7t ) x 6y 4t (b) x y(x x 5y ) x y x x y x x y 5y x 4 y x y 5x y 4 Cuando multiplicamos dos expresiones algebraicas a la vez, la propiedad distributiva puede usarse más de una vez con el fin de suprimir los paréntesis. Consideremos el producto (x )(y ). Podemos emplear la propiedad distributiva para quitar los primeros paréntesis. Respuesta (a) x 6 (b) x (x )(y ) x(y ) (y ) SECCIÓN -5 OPERACIONES ALGEBRAICAS

42 . Utilice la propiedad distributiva (o método de los arcos) para eliminar los paréntesis: (a) (x )(x ) (b) (x )(x ) Para ver esto, sólo haga que y b. Entonces (x )(y ) (x )b x b b x(y ) (y ) En general, las propiedades distributivas de la sección - funcionan con a, b, c reemplazadas por cualesquiera expresiones (como se hace con las otras propiedades de los números reales). Ahora usamos de nuevo esta propiedad para suprimir los paréntesis restantes. asimismo x(y ) xy x xy x (y ) y y 6 Por tanto (x )(y ) xy x y 6. En la figura los cuatro términos (productos) de la derecha pueden obtenerse multiplicando cada uno de los términos de los primeros paréntesis sucesivamente por cada uno de los términos de los segundos paréntesis. Cada término de los primeros paréntesis está unido por un arco a cada término de los segundos paréntesis, y el producto correspondiente también aparece. Los cuatro productos dan entonces el desarrollo completo de la expresión. FIGURA También pudimos haber hecho lo anterior con el método PIES de multiplicación de dos expresiones binomiales. (PIES se establece por Primeros, Internos, Externos, Segundos ). Eso es equivalente al método de los arcos descrito aquí. Sin embargo, el método de arcos es mucho mejor, ya que puede utilizarlo para multiplicar cualesquiera dos multinomios. Respuesta (a) x 5x 6 (b) x 4 4 EJEMPLO 6 Desarrolle el producto (x 4)(6x 5x ). (Esto significa suprimir los paréntesis). Solución Usamos la propiedad distributiva: (x 4)(6x 5x ) x(6x 5x ) 4(6x 5x ) (x)(6x ) (x)(5x) (x)() (4)(6x ) (4)(5x) (4)() 8x 5x 6x 4x 0x 8 8x 5x 4x 6x 0x 8 (agrupando términos semejantes) 8x (5 4)x (6 0)x 8 8x 9x 6x 8 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

43 FIGURA De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando arcos que conecten cada término en el primer paréntesis con cada término dentro del segundo. En este caso, existen seis de tales arcos, lo que da lugar a seis productos en la expansión en el lado derecho. (Figura ). EJEMPLO 7 Simplifique {5x[ x] 7[ (x 4)]}. Solución Con objeto de simplificar una expresión en la cual intervienen más de un conjunto de paréntesis, siempre empezamos con los paréntesis que están más adentro. {5x[ x] 7[ (x 4)]} {5x[ x] 7[ x 8]} {0x 5x 4x 56} {5x 0x 4x 56} {5x 4x 77} 45x x Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuencia que pueden manejarse como fórmulas estándar. Inicialmente, consideremos el producto (x a)(a b). Por tanto, (x a)(x b) x(x b) a(x b) x bx ax ab x (b a)x ab (x a)(x b) x (a b)x ab () EJEMPLO 8 (a) Tomando a y b 7 en la ecuación (), tenemos que (x )(x 7) x ( 7)x 7 x 9x 4 (b) (x )(x ) (x )(x ()) x [ ()]x () x x 6 SECCIÓN -5 OPERACIONES ALGEBRAICAS

44 En la ecuación (), si reemplazamos b por a, obtenemos o bien (x a)(x a) x (a a)x a a (x a ) x ax a () Este resultado da el desarrollo del cuadrado de un binomio. El cuadrado de la suma de dos términos es igual a la suma de los cuadrados de los dos términos más el doble de su producto. EJEMPLO 9 (a) (x 7) (x) (x)(7) 7 4x 8x 49 (b) x 4 y (x) (x) 4 y 4 y 9x 4 x 6 y y Si reemplazamos a por a en la fórmula (), obtenemos otra fórmula. (x a) x ax a () Esto expresa el cuadrado de la diferencia de dos términos como la suma de los cuadrados de los dos términos menos el doble de su producto. Por último, si reemplazamos b por a en la ecuación (), obtenemos (x a)(x a) x (a a)x a( a) x 0x a En consecuencia, tenemos que (x a)(x a) x a (4) Este resultado establece que el producto de la suma y la diferencia de dos términos es la diferencia de los cuadrados de los dos términos.. Utilice las fórmulas estándar ()-(4) para eliminar los paréntesis: (a) (x )(x ) (b) (x y)(x y) (c) (x x ) EJEMPLO 0 (a) (x )(x ) (x) 4x 9 (b) ( )( ) () () (c) (x 4y)(x 4y) (x) (4y) 9x 6y División de expresiones En el teorema 6 de la sección - vimos que la ley distributiva se extiende a la división y tenemos las expresiones generales siguientes. Respuesta (a) x x 6 (b) x 4 y (c) x x a b a c c b c 4 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

45 Esta propiedad es útil cuando dividimos una expresión algebraica entre un monomio, dado que nos permite dividir cada término por separado entre el monomio. EJEMPLO (a) x 4x x x x 4 x x x Observe que dividimos cada término entre el factor común x. (b) x 5x y 7x x x x 5 x x y 7 x x x x 5y 7 x x 5t (c) t 5t 6 5t t 5t 6 t t t t t 5 t 4t 5 t En una fracción, el número o expresión algebraica del numerador a menudo se denomina el dividendo (lo cual significa que es la cantidad que está siendo dividida) y el número o expresión por la que es dividido se llama divisor. En la parte (b) del ejemplo, x 5x y 7x es el dividendo y x es el divisor, mientras que en la parte (c), 5t t 5t 6 es el dividendo y t el divisor. Cuando queremos dividir una expresión algebraica entre un divisor que contiene más de un término, con frecuencia usamos un procedimiento denominado división larga. Describiremos este procedimiento para expresiones que sólo contienen potencias enteras no negativas de una sola variable. (Tales expresiones se conocen por polinomios). EJEMPLO Divida x x entre x. Solución Aquí x x es el dividendo y x es el divisor. Antes de que empecemos la división, los términos en el dividendo y en el divisor deben arreglarse en orden decreciente de las potencias de x y llenar con coeficientes cero las potencias faltantes. En consecuencia, el dividendo debe escribirse como x x 0x. x 4x 6 Cociente Divisor x x x 0x Dividendo x x 8x 0x 8x x x x 8 5 Residuo SECCIÓN -5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 5

46 4. Por medio de la división larga, simplifique (x x 4) (x ). Los detalles de la división larga se acaban de mostrar y se explican de la manera siguiente: en primer lugar, dividimos x (el primer término en el dividendo) entre x (el primer término en el divisor), obteniendo x /x x. Esto da el primer término del cociente. Multiplicamos el divisor, x, por el primer término del cociente, x, para obtener x x. Restamos esto al dividendo, obtenemos la diferencia 8x 0x. Para obtener el siguiente término del cociente, dividimos el primer término de esta diferencia, 8x, entre x, el primer término del divisor. Esto da 8x /x 4x, el cual se convierte en el segundo término del cociente. Multiplicamos otra vez el divisor por este segundo término, 4x, con lo que obtenemos 8x x; restamos esto a 8x 0x, los cuales nos dan la siguiente diferencia, x. Continuamos este procedimiento hasta que obtengamos una diferencia cuya máxima potencia sea menor que la correspondiente al divisor. Llamamos a esta última diferencia el residuo. La respuesta puede escribirse en la forma Respuesta Cociente x Residuo x x 5 x x 4x 6 4 x En general, tenemos Dividendo Divisor Cociente Residuo Divisor Observación Esta forma de escribir el resultado de la división larga es la misma que usamos en aritmética. Por ejemplo, consideremos la fracción 67/, en la cual el dividendo es 67 y el divisor es. Por división larga ordinaria encontramos que el cociente es 7 y el residuo es 6. 7 Cociente Divisor 67 Dividendo Residuo Por tanto, escribimos Ahora, en lugar de dividir 67 entre, intente dividir 6x x 7 entre x. Cuando x 0 estas cantidades son lo mismo. Debe encontrar un cociente de x 7 y un residuo de 6. La división algebraica larga es un reflejo de la división aritmética. Si multiplicamos ambos lados de este cálculo por, obtenemos el resultado 67 (7 ) 6 6 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

47 5. Verifique si es correcta la siguiente división larga: x x 0 4 x x x Respuesta Debe verificar que x x 0 (x )(x ) 4. Esto no es correcto. (El residuo debe ser 4). Éste es un ejemplo del resultado general Dividendo (Cociente)(Divisor) Residuo Éste es un resultado útil, porque nos permite verificar la respuesta de cualquier división larga. Podemos utilizar este resultado para comprobar el ejemplo. x x (x 4x 6)(x ) 5 Dividendo (Cociente)(Divisor) Residuo 5 EJERCICIOS -5 (-56) En los ejercicios siguientes, efectúe la operación indicada y simplifique.. (5a 7b ) (b a 9). (x 5x 7) ( 6x 7x x ). (a 5b) (a b) 4. (4xy 5x y 6x ) (y 6xy 7xy x x y) 5. (7t 6t ) (t 5t 4 t ) 6. (x xy 4y ) (x xy y 5) 7. (x y) (x y) 8. (5xy ) ( 4xy) 9. 4(x y) (5y x) 0. (x 4y) (x y). (x 7y) (y 5x). (x xy y ) (xy x y ). x(x xy y ) y(5x xy y ) 4. a b(a 5ab b ) ab(a 4 a b b a) 5. (x )(y ) 6. (x 4)(y 5) 7. (x )(y 4) 8. (5x )(y 5) 9. (a )(a 4) 0. (x y)(x y). (x )(x 5x 7). (a b)(a ab b ). (x 4)(x 4) 4. (y )(y ) 5. (t 5x)(t 5x) 6. (a b)(a b) 7. (x y)(x y) 8. (5x y)(5x y) 9. (x y z)(x y z) 0. (x y z)(x y z). (x )(x ). (y y)(y y ). x x (x x) 4. xy x y xy y x 5. (y 6) 6. (x 5) 7. (x y) 8. (4x 5y) 9. (x y) 40. (x y) 4. (x y) (x y) 4. [(x y) (x y) ] SECCIÓN -5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 7

48 4. xy[(x y) (x y) ] 44. (a b) (a b) 45. {x 5[x ( 5x)]} 46. {a a[a 5(a )]} 7a a a{(a )(a ) [a (a )(a )]} 48. (a b)(a ab b ) (a b) (a b) 49. 4x x x 50. 5x5 5x 5x 5. x 7x 5x 4 x y 4 6y 7y 9y y t t 7 t t 54. t t tt 55. 6x y 8xy x y x y xy x y 56. x4 9x y x y 4x 8xy x y (57-64) Simplifique por medio de la división larga: 57. (x 5x 6) (x ) 58. (6x x ) (x ) 59. (t ) (t ) 60. (6x 5x ) (x ) 6. (x x x 5) (x ) 6. x (x ) 6. (x x 4x 6) (x ) 64. (6x x 9x 5) (x ) -6 FACTORIZACIÓN Si el producto de dos enteros a y b es c, es decir, c a b, entonces a y b se llaman factores de c. En otras palabras, un entero a es un factor de otro entero c si a divide exactamente a c. Por ejemplo, y son factores de 6;,, 4 y 6 son factores de ; etcétera. Esta terminología también se emplea para expresiones algebraicas. Si dos (o más) expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dice que son factores de la expresión que se obtuvo como producto. Por ejemplo, la expresión xy se obtuvo multiplicando, x y y, de modo que, x y y son los factores de xy. Más aún, por ejemplo, y es un factor de xy ya que xy puede obtenerse multiplicando y por x. De manera similar, x es un factor de la expresión x x puesto que podemos escribir x x x(x ) y x es un factor de 6x 9x ya que podemos escribir 6x 9x x (6 9x). El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se llama factorización de la expresión. En esta sección, examinaremos ciertos métodos mediante los cuales podemos factorizar expresiones algebraicas. La primera etapa en la factorización de una expresión algebraica es extraer todos los monomios que sean comunes a todos los términos. El siguiente ejemplo ilustra esto. EJEMPLO Factorice todos los monomios comunes de las siguientes expresiones. (a) x xy (b) x y 6xy (c) 6ab c 6a b c 8a bc 8 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

49 6. Saque todos lo factores comunes de (a) ab 8a b (b) 4xyz 6x z xy (c) x(x ) y(x ) Solución (a) Escribamos cada término en la expresión dada en términos de sus factores básicos. x x x xy x y y Si observamos las dos listas de factores básicos, advertimos que x es el único factor común a ambos términos. De modo que escribimos x xy x x x y x(x y ) Notemos cómo la propiedad distributiva se utiliza para extraer el factor común, x. (b) Expresando cada término en términos de sus factores básicos, tenemos x y x x y y 6xy x y y Los factores, x y y, aparecen en ambas listas, por lo que el factor común es xy. Esto da x y 6xy xy x xy y xy(x y) de nuevo, por medio de la propiedad distributiva. (c) Primero factorizamos los términos: 6ab c a b b c c c 6a b c a a b b c c 8a bc a a a b c c El factor común de estos tres términos es a b c c 6abc. Respuesta (a) 4ab( a) (b) x(yz xz 6y ) (c) (x ) (x y) 6ab c 6a b c 8a bc 6abc bc 6abc ab 6abc a 6abc (bc ab a ) 6 Ahora abordaremos el problema de extraer factores que son expresiones binomiales de expresiones algebraicas de diversos tipos. Algunas de las fórmulas establecidas en la sección -5 son útiles en la factorización, en particular la fórmula siguiente. a b (a b) (a b) () Esta fórmula puede usarse para factorizar cualquier expresión que sea reducible a la diferencia de dos cuadrados. EJEMPLO Factorice completamente: (a) x y 4 9 (b) 5x 4 80y 4 Solución (a) La expresión dada puede escribirse como (xy ) SECCIÓN -6 FACTORIZACIÓN 9

50 que es una diferencia de dos cuadrados. Usando la fórmula () con a xy y b, tenemos x y 4 9 (xy ) (xy ) (xy ) Ninguna de las expresiones entre paréntesis en el lado derecho puede factorizarse aún más. (b) Antes que todo, verifiquemos si podemos factorizar algún monomio de 5x 4 80y 4. En este caso, dado que el término es divisible entre 5, sacamos el factor común 5. 5x 4 80y 4 5(x 4 6y 4 ) La expresión x 4 6y 4 es una diferencia de cuadrados. 5x 4 80y 4 5[(x ) (4y ) ] 5[(x 4y )(x 4y )] 5[(x 4y )(x 4y ) La factorización no está completa, porque x 4y x (y) puede factorizarse como (x y)(x y). En consecuencia, nos falta un paso. 7. Utilice la fórmula de la diferencia de cuadrados, para factorizar x 4. 5x 4 80y 4 5(x 4y )(x 4y ) 5(x y)(x y) (x 4y ) 7 Observaciones. La fórmula () nos permite factorizar cualquier expresión que tenga la forma de una diferencia de cuadrados. No existe una fórmula correspondiente para expresar la suma a b como el producto de dos o más factores. Una expresión que contiene la suma de dos cuadrados, tal como a b o4x 9y, no puede factorizarse. Sin embargo, expresiones tales como a b,a 4 b 4, etc., que contienen la suma de dos potencias más altas pueden factorizarse. Esto se examinará después.. Podemos escribir x x () (x )(x ) Por lo regular es aceptable incluir números irracionales (como ) en los factores. Sin embargo, preferimos no usar expresiones que incluyan a x como factores. Por ejemplo, como regla no escribiremos x 4 (x) (x ) (x ) Respuesta (x )(x ) o (x )(x ) Una técnica útil al factorizar expresiones algebraicas que contienen un número par de términos es el método de agrupamiento. En este método, los términos se agrupan en parejas y los monomios comunes se extraen de cada par de términos. Esto a menudo revela un factor binomial común a todas las parejas. Este método es en particular útil para expresiones que contienen cuatro términos. 40 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

51 EJEMPLO Factorice ax by bx ay. Solución Podemos agrupar los términos de la expresión dada en aquellos que tienen a x como factor y en aquellos que tienen a y como factor: (ax bx ) (ay by ) Cada término dentro de los primeros paréntesis es divisible entre x,y cada término en los segundos paréntesis es divisible entre y ; por tanto, podemos escribir esta expresión como x (a b) y (a b) Notemos que (a b) es común a ambos términos. Así, tenemos que x (a b) y (a b) (a b)(x y ) De aquí que la expresión dada tenga los factores (a b) y (x y ). EJEMPLO 4 Factorice la expresión x y 4x y 8xy 6y. Solución Observemos en primer lugar que los términos de esta expresión tienen un monomio como factor común y, y podemos escribir x y 4x y 8xy 6y y(x x y 4x 8y) Dentro de los paréntesis, agrupamos juntos los primeros dos términos y extraemos el factor común x ; también agrupamos los dos últimos términos y sacamos el factor común 4. x x y 4x 8y x (x y) 4(x y) x es común 4 es común (x y) (x 4) Observe que este mismo resultado pudo obtenerse agrupando el primer y el tercer término y el segundo con el cuarto. x 4x x y 8y x(x 4) y(x 4) x es común y es común (x 4) (x y) Regresando a la expresión original tenemos x y 4x y 8xy 6y y(x y)(x 4) 8. Por agrupación, factorice la expresión x x 9x 8. Respuesta (x )(x 9) (x )(x )(x ) No es posible factorizar aún más las expresiones de la derecha, de modo que aquí termina la factorización. 8 Un tipo importante de factorización que aparece con frecuencia requiere hallar los factores de expresiones del tipo x px q SECCIÓN -6 FACTORIZACIÓN 4

52 donde p y q son constantes. A menudo, tales expresiones pueden escribirse como el producto de dos factores (x a) y (x b), donde a y b son dos números reales. Por ejemplo, puede comprobarse de inmediato que x x (en la cual p y q ) es igual al producto de x y x : x x (x )(x ) En este caso, a y b. En general, si p y q están dados, deseamos encontrar a y b tales que Pero vimos en la sección -5 que y, por tanto, x px q (x a )(x b). (x a)(x b) x (a b)x ab x px q x (a b)x ab Estas dos expresiones son iguales con tal que a b p y ab q. De modo que, con el propósito de determinar a y b, debemos encontrar dos números cuya suma sea igual a p y su producto igual a q. En términos de la expresión original x px q, la suma a b es igual al coeficiente de x y el producto ab es igual al término constante. El procedimiento para encontrar a y b consiste en examinar todos los posibles pares de enteros cuyo producto sea igual a q. Seleccionamos entonces el par (si es que existe) cuya suma sea el coeficiente de x. EJEMPLO 5 Factorice x 7x. Solución Aquí p 7 y q. Debemos encontrar dos números a y b tales que el producto de a y b sea y cuya suma sea 7. Consideremos todas las posibles parejas que factorizan a. a b a b a b a b a b 6 a b 8 a b 6 a b 8 a b 4 a b 7 a b 4 a b 7 De la lista anterior, advertimos que la elección adecuada es a y b 4. Por tanto x 7x (x )(x 4) Observación La elección a 4 y b da exactamente la misma pareja de factores. EJEMPLO 6 Factorice (a) x 5x 6 (b) x x 6 4 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

53 Solución (a) La factorización de x 5x 6 se logra si encontramos dos factores de 6 (el término constante) cuya suma sea 5 (el coeficiente de x). Los factores posibles de 6 son ()(6), ()(6), ()() y ()(). Los dos factores de 6 cuya suma es 5 son y. De esta manera, hacemos a y b. x 5x 6 (x a) (x b) [x ()][x ()] (x )(x ) (b) Observemos en primer lugar que un factor común es : x x 6 (x x ) Para factorizar x x, debemos encontrar dos factores de (el término constante) cuya suma sea (el coeficiente de x). Los factores posibles de son ( ) y ()(). Sólo los factores y suman, esto es, (). En consecuencia, x x (x )[x ()] (x )(x ) Por tanto, nuestra expresión original puede factorizarse de la siguiente manera x x 6 (x x ) (x )(x ) 9. Factorice (a) 4x 6x 6 (b) x x EJEMPLO 7 Factorice x 6x 9. Solución Tenemos que p 6 y q 9. Es claro que los dos factores de 9 cuya suma es 6 son y. Así, la expresión dada tiene factores x y x, por tanto, x 6x 9 (x )(x ) (x ) 9 Respuesta (a) 4(x ) (b) (x )(x 4) Consideremos ahora el problema de factorizar una expresión de la forma mx px q en donde m, p y q son constantes distintas de cero y m o. En este caso, el primer paso consiste en encontrar dos factores del producto mq que tengan una suma igual a p, el coeficiente de x. Después expresamos a p como la suma de esos dos factores. Esto transforma la expresión dada en la suma de cuatro términos. Éstos pueden considerarse de dos en dos y factorizarse por el método de agrupamiento. Este método se ilustra en los ejemplos 8 y 9. EJEMPLO 8 Factorice x x 6. Solución En esta expresión, los coeficientes son m, p y q 6. El producto del coeficiente de x y el término constante es mq (6) 8. Debemos encontrar dos factores de este producto 8 que tengan una suma igual a, el coeficiente de x. Es claro que, los dos factores adecuados son 9 y. En consecuencia, en la expresión dada, expresamos el coeficiente de x,, en la forma 9 y escribimos, x x 6 x (9 )x 6 x 9x x 6 SECCIÓN -6 FACTORIZACIÓN 4

54 Podemos sacar a x como factor común de los dos primeros términos y como factor común de los términos restantes. x x 6 x(x ) (x ) (x )(x ) Observe que, en el último paso, se extrajo x como factor común de los dos términos. 0. Factorice (a) 4x 9x (b) 6x x EJEMPLO 9 Factorice 6x 5x 4. Solución El producto del coeficiente de x y del término constante es 6(4) 4. Debemos encontrar dos factores de 4 que sumados den 5, el coeficiente de x. Sin duda, los dos factores de 4 cuya suma es 5 son y 8. Por tanto, escribimos 5 como 8 en la expresión dada. Esto da la factorización siguiente: 6x 5x 4 6x (8 )x 4 6x 8x x 4 x(x 4) (x 4) (x 4)(x ) 0 EJEMPLO 0 Factorice (x y) 5(x y). Solución Sea z x y. Entonces la expresión dada se transforma en z 5z El producto de los coeficientes externos es 6. Dos números cuyo producto es 6 y su suma es 5 son y. De modo que escribimos z 5z z z z z(z ) (z ) (z )(z ) (x y )(x y ) después de reemplazar z con x y en el último paso. Las dos fórmulas siguientes son útiles al factorizar una expresión, la cual puede expresarse como una suma o como una diferencia de dos cubos. a b (a b)(a ab b ) () a b (a b)(a ab b ) () Estas fórmulas pueden comprobarse multiplicando las dos expresiones de la derecha. De forma alterna pueden determinarse por medio de la división larga de (a b ) (a b). (Revise los ejercicios del 57 al 64 en la sección -5). EJEMPLO Factorice 8x 7y. Solución Usamos la fórmula (). Respuesta (a) (x )(4x ) (b) (x )(x 4) 8x 7y (x) (y) (x y)[(x) (x)(y) (y) ] (x y)(4x 6xy 9y ) 44 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

55 . Factorice 4x 4 x Respuesta x(x )(4x x ) Observe que la expresión 4x 6xy 9y no puede factorizarse aún más porque el producto del coeficiente de x y el término constante es 4(9y ) 6y, el cual no puede expresarse como el producto de dos factores cuya suma sea 6y, el coeficiente de x. EJEMPLO Factorice la expresión. Factorice 6(x y) 7/ (x y) 5/4 (x y) 4/ (x y) 9/4 Solución (m n) 4 (m n) (m n) 4 (m n) Primero haz que x m n y y m n. Entonces, la expresión dada es x 4 y y 4 x xy(x y ) xy(x y)(x xy y ) Ahora, x y m n (m n) n y x xy y (m n) (m n)(m n) (m n) (m mn n ) (m n ) (m mn n ) m n Respuesta 4y(x y) 4/ (x y) 5/4 Por tanto, la expresión dada se factoriza como xy(x y)(x xy y ) n(m n)(m n)(m n ) Observación De acuerdo con las fórmulas () y (), la suma y la diferencia de dos cubos siempre puede factorizarse. De hecho, toda expresión del tipo a n b n o a n b n puede factorizarse para todos los enteros n con la única excepción de la suma de dos cuadrados, a b. Por ejemplo, etcétera. a 4 b 4 (a b )(a b ) (a b)(a b)(a b ) a 5 b 5 (a b)(a 4 a b a b ab b 4 ) a 4 b 4 (a ab b )(a ab b ) Resumen de factorización:. El primer paso al factorizar una expresión algebraica es extraer todos los monomios comunes.. Si observa entonces un factor que es la diferencia de dos cuadrados, la diferencia de dos cubos o la suma de dos cubos, utilice las fórmulas (), () o () con el propósito de factorizar aún más.. Para factorizar una expresión con cuatro términos, deberá usar el método de agrupamiento. 4. Un trinomio del tipo mx px q a menudo puede factorizarse como el producto de dos factores del tipo (ax b)(cx d), como ya se esbozó. SECCIÓN -6 FACTORIZACIÓN 45

56 EJERCICIOS -6 (-79) Factorice por completo las siguientes expresiones.. a 6b. x 0xy 4x. 4xy 6yz 4. 5x y 0xy 5. u a au 6. px qy py qx 7. xy 4x y 8 8. pq 6q p 8 9. x py y px 0. px y py 6x. 6xz 6y 4x 4yz. 5ac 9ad 0bc 8bd. x y 5 5. t 08a 6. 5x 0y 7. x y 5xy 8. x 5 4x y 9. x x 0. x 5x 6. x x. x 7x. x x 4. x 8x 5. x 5x x 4x x x 8. x 9x 0 9. x x 0. x 6x. 5y 4 5y 70y. x 7x x. x 5x 4. 6x 0x x 4x 6. 9t t x 7x 6 8. t t x x t 7t 6 4. q 0q 4. 0p p x y 4x y 0xy 44. (x 9x) (45 5x ) 45. x 6xy 5y 46. x 4xy 5y 47. p pq 0q 48. s 7st 0t 49. t tu 6u 50. x 9xy 0y 5. 6a ab 5b 5. 8u 5uv v 5. x t u x x 4 y 7xy x y a y b x a b 59. x y 9y 4x u 0 5u x z 4z x 4 4x 6. ax by bx ay 6. x y x y xy 64. x y 8 8y x 65. (x y) (x y) 4 (x y) 4 (x y) 66. (a b) (a b) 5(a b) (a b) 67. (x y) (x y) 68. (x y) 5(x y) 69. (a b ) 5(a b) 70. (p q) (p q) 7. x n 7x n 7. x 6 y 6 7. x 6 8y x 4 6y (x ) (x )(x ) (x ) (x )(x ) *77. x 4 4y 4 *78. 6a 4 b 4 *79. x 5 y 5-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS Por lo general, el término fracción algebraica se emplea para indicar la razón de dos expresiones que contienen una o más variables, tales como las siguientes: x 7x 5 y x x y x xy y 46 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

57 Con objeto de que una expresión algebraica tenga sentido, se dará por hecho que las variables no tomarán valores que hagan que el denominador de la fracción sea cero. Así, en la fracción de la izquierda, x, pues si x,x ( ) 0, y el denominador sería cero. De manera similar, en la fracción de la derecha, y x. En esta sección, estudiaremos métodos para simplificar fracciones algebraicas y examinaremos la adición, sustracción, multiplicación y división de dos o más de tales fracciones. La factorización desempeña un papel importante en tales operaciones, como se aclarará en los siguientes ejemplos. Los principios básicos involucrados son los mismos que se describieron cuando se simplificaron fracciones en la sección -. Simplificación de fracciones EJEMPLO Simplifique 4 x 0x x 4x Solución En primer lugar, factorizamos por completo las expresiones que aparecen en el numerador y en el denominador. En este caso, tenemos asimismo 4x 0x 4 4(x 5x 6) (x )(x ) 6 0x 4x (x 5x ) (x )(x ) Observe que al factorizar el denominador, primero hicimos que el coeficiente de x fuese positivo, de modo que los términos en x sean positivos tanto en el numerador como en el denominador. Por tanto, 4 x 0x 4 6 0x 4x (x )(x ) (x )(x ) (x ) (x ) (x ) x. Simplifique x 4x. x 4x Indique cualesquiera valores de x en los que la fracción dada no sea igual a su respuesta. Respuesta ( x ), x x Observe que hemos dividido el numerador y el denominador entre los factores y x, los cuales aparecen tanto en el numerador como en el denominador. Esta cancelación de factores se justificó en la sección - (revise la página 0 y el teorema 5). Puede hacerse para factores binomiales como (x ) en este ejemplo así como para factores que son monomios. (Tales factores siempre deben ser diferentes de cero; de otra forma la fracción original no estaría bien definida). Algunas veces encontraremos fracciones que contienen radicales en el denominador, tales como x y x En la primera fracción sólo intervienen números, mientras que la segunda es algebraica. En tales casos, dado que el denominador sólo tiene dos términos, podemos simplificar la fracción por medio de una operación llamada racionalización del SECCIÓN -7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 47

58 denominador. Consideremos la primera de las dos fracciones anteriores como un ejemplo. Multipliquemos el numerador y el denominador por, lo que tiene el efecto de pasar el radical al numerador: ( ) ( )( ) Esto funciona dado que el denominador de esta nueva fracción puede simplificarse por medio de la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, Tomando a y b, tenemos Por tanto, (a b)(a b) a b ( ) ( ) () 9 7 ( ) 7 En general, para racionalizar una fracción que involucra una expresión de la forma A B en el denominador, multiplicamos numerador y denominador por A B. Si A B aparece, multiplicamos numerador y denominador por A B. En general, si un factor del tipo PA Q B aparece en el denominador de una fracción, multiplicamos numerador y denominador por (PA QB). (Observe el cambio de signo en el segundo término). EJEMPLO Racionalice los denominadores de las expresiones siguientes: x (a) (b) 5 x 5 Solución (a) El factor 5 aparece en el denominador por lo que multiplicamos por 5 : 5 (5 ) (5 )(5 ) 5 (5) () (5 ) 7 48 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

59 (b) Multiplicamos por x 5: 4. Racionalice el denominador de 5 5 x x 5 (x )(x 5) (x 5)(x 5) (x )(x 5) (x ) (5) (x )(x 5) x 5 (x )(x 5) x x 5 en donde en el último paso cancelamos el factor común (x ). 4 Adición y sustracción de fracciones Dos o más fracciones que tienen un común denominador pueden sumarse o restarse simplemente al sumar o restar sus numeradores y manteniendo sin cambio el denominador. EJEMPLO (a) x x x (x ) (x ) x x x 5 7 (x 5) 7 x (x ) (b) x x x x x x x x x x Cuando las fracciones que se suman o restan no tienen el mismo denominador, encontramos primero su mínimo común denominador (m.c.d.) y reemplazamos cada una de las fracciones dadas por una equivalente que tenga este m.c.d. como denominador. Este método, en principio, no difiere del que se describió en la sección -. El cálculo del m.c.d. de dos o más fracciones requiere factorizar cada denominador por completo. Después, el m.c.d. se obtiene multiplicando todos los factores distintos que aparecen en los denominadores y elevando cada factor a la máxima potencia con que aparece en los denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de x x y x x 7 es (x )(x 7) Respuesta (7 0) x 5 7 El m.c.d. de, y (x ) (x ) (x ) (x ) es (x ) (x ) (x ) (x ) SECCIÓN -7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 49

60 EJEMPLO 4 Simplifique x x. x x Solución Aquí, los denominadores ya están factorizados por completo. El m.c.d. en este caso es (x )(x ). La sustitución de la primera fracción (x )/(x ) por una equivalente que tenga el m.c.d. (x )(x ) como denominador, se logra multiplicando el numerador y el denominador por la fracción x. En consecuencia, De manera análoga, Por tanto, tenemos la siguiente suma: x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) x ( x ) ( x ) x ( x ) ( x ) x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) (x )(x ) (x )(x ) (x )(x ) (6x x ) (x x ) (x )(x ) 5. Simplifique 4 x x x 7x 4 5 (x )(x ) 5 EJEMPLO 5 Simplifique. x x x x 4x 4 Solución La expresión dada, después de factorizar los denominadores, es 5 (x ) (x ) x (x ) Aquí el m.c.d. es (x )(x ) (x ). 5 (x ) (x ) x (x ) 5(x )(x ) (x )(x ) (x ) (x )(x ) (x )(x )(x ) Respuesta, x x (x )(x ) (x ) (x )(x ) 5(x )(x ) (x )(x ) (x )(x ) (x )(x )(x ) 50 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

61 5(x 4) (x )(x 4x 4) (x x ) (x )(x )(x ) 5x 0 (x 5x 8x 4) x x 6 (x )(x )(x ) x x 5x (x )(x )(x ) x EJEMPLO 6 Simplifique x. x Solución En este caso, escribimos ambos términos como fracciones con un m.c.d. de x. Así, tenemos la siguiente suma: x x x x x x x x x x x x x x x x Multiplicación de fracciones Dos o más fracciones pueden multiplicarse a la vez, simplemente multiplicando sus numeradores y denominadores de la manera que se ilustra en el ejemplo 7. x EJEMPLO 7 (a) x x x x ( x ) ( x) ( x ) ( x ) x (b) 5x 6 4x 6 (x 5x 6)(4x 6) x 5x (6x 8x )(x 6x 8x 5x ) Este producto puede simplificarse factorizando tanto el numerador como el denominador y dividiéndolos entre sus factores comunes: (x )(x h) s (x )(x h) s (x )(x h)(x h)(x ) (x )(x ) (x )(x ) (x ) (x )(x ) SECCIÓN -7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 5

62 6. Simplifique 4 x x x 4x x x División de fracciones Para dividir una fracción a/b entre otra fracción c/d,invertimos c/d y la multiplicamos por la primera. (Revise la página 0 y el teorema 4 de la sección -). Respuesta (x ), x, o a b c a/ b a d c/ d b d c Este método se ilustra para fracciones algebraicas en el ejemplo 8. EJEMPLO 8 (a) x x x x x x x x (x )(x ) (x ) x x x x (b) x x x x x (x ) (x ) x 6 4 x x EJEMPLO 9 Simplifique x 5x 6. x (x ) (x )(x) (x )(x ) 7. Simplifique x x ((x )/(x )) Solución En primer término, simplificamos el numerador. 4 x x 4 (x )(x ) 4 x x x x Respuesta (x )(x ), x x o (x )(x ) 4 x Con este valor del denominador, completamos la división. x x 6 x x x 6 x x x 5x 6 x 5 x x 6 x x 6 x (x x 6) (x ) (x )(x 5x 6) (x h)(x )(x h)(x ) (x h)(x h)(x ) (x )(x ) 7 (x ) 5 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

63 EJERCICIOS -7 (-40) En las siguientes expresiones, efectúe las operaciones indicadas y simplifique. 4x 6. x x x 4. x x x. 5 x 6 x x 4. x x x x 5. x x 6. x x x 7. x x x 8. x x 6 x 9. x x x x 0. x x 4x x. x x x 4. 5x 6 0x. x 5x 6 x x x 4. x x x x x 5. x x x x 6. 9x 6x x x x 7. x 4x x x x 8. x x x x 9. x x x x x 0. x 4x x 6 x 4 x 4. x 4 x x x 6. x 7x x 4x x x x 5x. x x 5x 6 6x 8 4. x 4 x x 5x x x x x x 5. x x 6. x x 7. x x x x 4 x 8. x 6 x 4x x 9x 4 x 7x 9 9 x x x x 4 x 9. x x x 5x x x x 5x x x 4x 0. x 0x 4x 8x SECCIÓN -7 FRACCIONES ALGEBRAICAS 5

64 x x x. x 4 x 5x /t. t /t x y (x y) (x y) 6. (x y 7. x x y 8. x y x x 7 x 6 x p p 4p 7 p 4p ) y x y y x y x yx 9. h x h x 40. h (x h) x (5-56) Racionalice los numeradores de las siguientes expresiones x y x y x y x x x x x x x x 4 x x 5 x 5 (4-5) Racionalice los denominadores de las siguientes expresiones x 4 x x h x h x h x h 54 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

65 REPASO DEL CAPÍTULO Términos, símbolos y conceptos importantes. Número natural, número entero, número racional, número irracional, número real. La recta de los números reales. Propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. Elementos identidad, inverso aditivo de a (el negativo de a, a), inverso multiplicativo de a (el recíproco de a, a ). Diferencia: a b a (b). División: a b a b.. Fracción. Definición: b b ; a a b b Reglas para multiplicar y dividir fracciones. Cancelación de factores comunes. Mínimo común denominador (m.c.d.). Suma y resta de fracciones.. Potencia (exponente), base a n (a elevada al exponente n). Propiedades de los exponentes..4 Raíz n-ésima principal de a: b a /n si b n a. Radical, raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz n-ésima. a, a, a. n Exponentes fraccionarios: a m/n (a /n ) m. Extensión de las cinco propiedades de los exponentes a exponentes fraccionarios y radicales..5 Expresión algebraica, expresiones monomiales, binomiales, multinomiales. Término, parte literal, coeficiente (numérico); término constante. Términos semejantes, suma y resta de términos semejantes. Multiplicación de expresiones por medio de la propiedad distributiva; método de los arcos. Fórmulas para el cuadrado de un binomio. Fórmula de la diferencia de cuadrados. División entre monomio. División larga de expresiones polinomiales. Divisor, dividendo, cociente, residuo..6 Factores. Factores monomiales. Método por agrupación. Factorización por medio de fórmulas para la diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos. Factorización de expresiones del tipo x px q y mx px q con m,..7 Racionalización del denominador. Técnicas para la suma, resta, multiplicación, división y simplificación de fracciones algebraicas. Fórmulas Propiedades de los exponentes a m a n a mn, (ab) m a m b m, a m a mn, (a m ) n a mn, an a b m a b m m Fórmulas para el cuadrado de un binomio: (x a) x ax a. Fórmula de la diferencia de cuadrados: (x a)(x a) x a. Fórmulas para la suma y la diferencia de cubos:. x a (x a)(x ax a ). REPASO DEL CAPÍTULO 55

66 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Reemplace cada proposición falsa por una que sea cierta. a. a m b n (ab) mn b. a m b m (a b) m c. ( 0 ) m d. (a b) a b e. (a b) a b f. (x y) x y g. a b a b as b h. b as i. a 6 a 4 j. a b a b k. a /b a c b c l. (a) 5 a 5 m. a b c a c b d d n. a b c a c b d d o. () n si n es un entero impar. p q. Todo número decimal que termina representa un número racional. r. Todo número racional puede expresarse como un decimal que termina. (-4) En las siguientes expresiones, efectúe las operaciones indicadas y simplifique los resultados.. (5) / (8)/4. () (4) /5 4. (x 5 ) (x ) 5. ( ab ) 4 ( 6a b) (5p q ) (0p q) (6x y ) (x 4 y ) 4 8. p p 4 q q 9. (x ) / (x) / 0. (r /5 ) (r /0 ) (r /5 ) x x. 5/ / y /4 y /5 x a x b. a b. x a c xb x x b b c xc x b c a x xa b 4. x x 5. x c x c c a x a 6. x x x x x 7. x x x 4x x x x y 8. x y p q p q 9. x 4x y 4 9 x 5x 6 y y 6 0. a b a ab b a 4 a 4. a a x 5 b b x 6 x x 6 a b 56 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

67 . x x x x. a a a 9 a 4. x x x x 7 x x (5-4) Factorice las siguientes expresiones por completo. 5. x 75y 6. x 7x x x 5 8. p p 8 9. x x 0. u u. k k 0. 0t tu u. 8x 8x 9 4. x 0x 5 5. y y 0 6. x 7xy y 7. (a 4)(a ) (a )(a ) 8. (x )(x x ) (x )(x x ) 9. 4(x ) (x 5) 40. (p q) (p q) 4 4. x 8 x 4. (x )(x ) (x )(x ) 4. Demuestre que 44. Dado.44 y.7, evalúe sin usar calculadora, tablas o división larga.* *El símbolo significa aproximadamente igual a. Debe usarse siempre que se redondea un número. EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 57

68 CASO DE ESTUDIO CÓMO ELEVAR AL CUADRADO CON RAPIDEZ La base de muchos de los trucos y juegos matemáticos es el álgebra, si uno escribe en lenguaje simbólico las expresiones verbales y realiza algunas sencillas operaciones algebraicas, por lo regular descubrirá el misterio de estos juegos. Un juego para adivinar el mes de nacimiento y la edad de una persona es el siguiente. Pida a la persona que realice las operaciones siguientes, sin verlas. a) Determine el número del mes en que nació (enero, ; febrero, ; marzo, ; etcétera). b) Multiplique el número del mes en que nació por dos. c) Al resultado anterior sume cinco. d) Multiplique por 50 el resultado que obtuvo en el paso anterior. e) A esto, añada el número de años que tiene. f) Y, por último reste 50 al resultado. Pida que le diga el resultado. Los dos dígitos de más a la derecha de este resultado proporcionarán la edad de la persona, mientras que el primero o dos primeros dígitos de la izquierda revelarán el mes en que nació. Hagamos esto con un ejemplo. Supongamos que una persona nació en noviembre y actualmente tiene 44 años, entonces los pasos que seguiría serían: a) Mes en que nació, b) c) 5 7 d) e) f) = 44 Todo lo anterior no se ve, lo único que conoceríamos al final sería el resultado: 44. Con lo cual podríamos adivinar que la persona tiene 44 años y que nació en noviembre. i) Determine por qué este truco sirve para el propósito de adivinar la edad y el mes de nacimiento. ii) Siempre funciona? Existirá algún o algunos casos en que no se lea la edad y mes de nacimiento directamente del resultado? 58 CAPÍTULO REPASO DE ÁLGEBRA

69 CAPÍTULO Ecuaciones de una variable Un excelente matemático griego fue Diofanto de Alejandría; él hizo contribuciones en varias áreas de las matemáticas, tal vez su trabajo más importante lo hizo en lo que ahora se conoce como teoría de números. Se sabe poco de él, pero algunos detalles de su vida se conocen a través del epitafio que, como un homenaje, se inscribió en su tumba. Una traducción libre del original es la siguiente: Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después de la decimosegunda parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de casarse y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad. Utilizando la información en el epitafio de Diofanto podríamos responder las siguientes preguntas: i) A qué edad falleció Diofanto? ii) Cuántos años vivió antes de casarse? iii) Cuántos años vivió su hijo? iv) Qué edad tenía Diofanto cuando nació su hijo? T EMARIO - ECUACIONES LINEALES - APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES - ECUACIONES CUADRÁTICAS -4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS -4 REPASO DEL CAPÍTULO 59

70 - ECUACIONES LINEALES Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad,. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones. x 9 x () y 5y 6 4y () x y 7 () a s (4) r En la ecuación (), la variable es la letra x, mientras que en la ecuación (), es y. En la ecuación () tenemos dos variables, x y y. No permitiremos que las variables de cualquier ecuación tomen valores que hagan que una expresión que ocurra en la ecuación quede indefinida. Por ejemplo, en la ecuación (4), r no puede ser, pues esto produciría una división entre cero. Las expresiones separadas por el símbolo de igualdad se denominan lados (miembros) de la ecuación; por separado se llaman el lado izquierdo (primer miembro) y el lado derecho (segundo miembro). Las ecuaciones que sólo contienen constantes y no tienen variables pueden ser proposiciones verdaderas o falsas. Por ejemplo, 5 y son afirmaciones verdaderas, mientras que 5 6 y son proposiciones falsas. Una ecuación que se refiere a una variable, por lo regular es una proposición válida para algunos valores de la variable, mientras que es falsa para otros valores de la variable. Por ejemplo, consideremos la ecuación x x Si x toma el valor 5, esta ecuación se reduce a (5) 5 o bien 0 5 que es una proposición verdadera. Por otra parte, si x toma el valor 4, obtenemos (4) 4 o bien 5 6 que es una proposición falsa. Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. 60 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

71 Así, por ejemplo, 5 es una raíz de la ecuación x x. De manera similar, es solución de la ecuación y y 6 4y porque cuando sustituye a y en la ecuación obtenemos () () 6 4() o bien que es una proposición verdadera. En forma análoga, 5 no es una raíz de la ecuación t t 6 t, pues cuando 5 reemplaza a t, se obtiene. Cuál de los números siguientes es solución de la ecuación x x 4 0:,, 0,,? (5) (5) 6 (5) o bien que no es una proposición verdadera. A menudo estaremos interesados en encontrar las raíces de alguna ecuación dada (es decir, en determinar todos los valores de la variable que transforman la ecuación en una proposición verdadera). El proceso de encontrar las raíces se denomina resolver la ecuación. Al llevar a cabo este proceso, por lo general efectuamos ciertas operaciones en la ecuación que la transforman en una nueva ecuación más fácil de resolver. Tales simplificaciones deben realizarse en forma tal que la nueva ecuación tenga las mismas raíces que la ecuación original. Las dos operaciones siguientes producen nuevas ecuaciones, al mismo tiempo que cumplen con el requerimiento de no alterar las raíces de la ecuación.. (PRINCIPIO DE ADICIÓN) Podemos sumar o restar cualquier constante o cualquier expresión algebraica que incluya a la variable a ambos lados de la ecuación.. (PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN) Podemos multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por cualquier constante distinta de cero o cualquier expresión no cero que incluya a la variable. (Observación): La multiplicación por una expresión puede producir una ecuación cuyas raíces difieran de la ecuación original si la expresión se hace cero para ciertos valores de la variable, como se ilustrará después. Observe que de acuerdo con estos principios debemos hacer la misma operación en ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, consideremos la ecuación x (5) Sumemos a ambos lados de la ecuación. Por el principio de adición, esta operación no cambia las raíces de la ecuación. Después de simplificar, resulta x x 5. Respuesta y Por tanto, concluimos que si x satisface la ecuación (5) entonces x 5 : 5 es la única raíz de la ecuación (5). SECCIÓN - ECUACIONES LINEALES 6

72 Como un segundo ejemplo, consideremos la ecuación 5x 5 (6) Dividimos ambos lados de la ecuación entre 5. Por el principio de multiplicación, esta operación no cambiará las raíces de la ecuación dado que el número por el que estamos dividiendo no es cero. Obtenemos o bien 5 x x Así, la única solución de la ecuación (6) es x. Dos ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones se dice que son equivalentes. Por tanto, las operaciones y transforman la ecuación dada en una nueva ecuación que es equivalente a la ecuación original. Al resolver una ecuación específica, a veces tenemos que emplear estas operaciones varias veces. EJEMPLO Resuelva la ecuación 5x x 9 (7) En primer lugar, restamos x a ambos lados de la ecuación y simplifi- Solución camos. 5x x x 9 x 5x x x x 9 x 9 (8). Son equivalentes las siguientes parejas de ecuaciones? (a) x y y y x (b) (x ) 0 y x (c) (x )(x ) 0 y x 0 (d) x y x x x Ahora sumemos a ambos miembros de la ecuación y de nuevo simplificamos. x 9 x (9) Por último, dividimos ambos lados entre (el cual no es cero). x x 4 Por tanto, la solución de la ecuación (7) es x 4. Respuesta (a) Sí (b) Sí (c) No (x es una solución de la primera ecuación pero no de la segunda) (d) No (x es una solución de la primera ecuación pero no de la segunda) Observemos que la ecuación (8) pudo obtenerse de la ecuación (7) simplemente pasando el término x del lado derecho al izquierdo y cambiando su signo. Obtendríamos. o bien 5x x 9 x 9 6 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

73 lo cual concuerda con la ecuación (8). Otra vez, obtenemos la ecuación (9) de la ecuación (8), pasando el término del primer miembro al segundo y cambiándole el signo. Obtendríamos o bien x 9 x De esta manera, podemos advertir que el principio de adición antes establecido es equivalente al siguiente: Podemos pasar cualquier término de un lado de una ecuación al otro cambiando su signo sin alterar las raíces de la ecuación. De acuerdo con este principio, la ecuación 5x x es equivalente a 5x x 0 o x 5x. Según el principio de multiplicación, cualquier expresión por la cual se multiplique o divida debe ser distinta de cero; debemos tener cuidado de no multiplicar o dividir la ecuación por una expresión que pueda hacerse igual a cero. Por ejemplo, consideremos la ecuación x 5x Es claro que, x 0 es una raíz de la ecuación. Si dividimos ambos lados entre x, obtenemos x 5 Observemos que x 0 no es una raíz de la ecuación resultante, aunque sí era raíz de la ecuación original. El problema estriba en que dividimos ambos miembros entre x, que puede ser cero, y esto viola el principio de multiplicación. Al dividir entre x perdemos una raíz de la ecuación. Con el objeto de evitar estas trampas, debemos proceder con cautela y no multiplicar o dividir entre una expresión que contenga a la variable, a menos que estemos seguros que esta expresión no pueda hacerse cero. Una clase importante de ecuaciones consta de aquellas denominadas ecuaciones polinomiales. En una ecuación polinomial, los dos lados pueden constar de uno o varios términos sumados algebraicamente, cada término incluye una potencia entera no negativa* de la variable multiplicada por un coeficiente constante. El grado de la ecuación polinomial es la máxima potencia de la variable que aparece en la ecuación. EJEMPLO (a) x x es una ecuación polinomial de º grado. (b) x 4 x 5x 4 es una ecuación polinomial de 4º grado. (c) (x )/(x ) x no es una ecuación polinomial, debido a que la fracción incluye a x en el denominador. *En otras palabras, cada exponente es un número entero. SECCIÓN - ECUACIONES LINEALES 6

74 Una ecuación polinomial de grado se denomina ecuación lineal, mientras que una ecuación polinomial de grado se llama ecuación cuadrática. Las ecuaciones lineales y cuadráticas serán estudiadas en ésta y en las próximas dos secciones del libro. Damos la definición siguiente. DEFINICIÓN La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es ax b 0 (a 0) donde a y b son constantes. EJEMPLO (a) x 4 0 es una ecuación lineal. Pasando 4 al lado derecho y cambiando su signo, obtenemos que x 4. (Observación Esto es equivalente a sumar 4 a ambos lados). Así, el número 4 es la única solución de la ecuación. (b) x 0 es una ecuación lineal. Pasando el al lado derecho, obtenemos x ; dividiendo entre, encontramos que x. En consecuencia, es la única solución de la ecuación dada. (c) En el caso general, ax b 0 podemos pasar la constante b al lado derecho, lo que da ax b Ahora dividimos entre a, obtenemos x b/a. Así, la ecuación lineal ax b 0 tiene una y sólo una solución, es decir x b/a. Observe que al resolver estas ecuaciones, dejamos los términos que incluyen a x en el lado izquierdo de la ecuación y pasamos los términos constantes al segundo miembro. Ésta es una estrategia general al resolver ecuaciones lineales. (La usamos al resolver el ejemplo que consideramos antes). A menudo surgen ecuaciones que a primera vista no parecen lineales, pero que pueden reducirse a ecuaciones lineales mediante simplificaciones apropiadas. Al efectuar tales reducciones, el procedimiento siguiente por pasos con frecuencia es útil. Paso Elimine las fracciones que aparezcan en la ecuación multiplicando ambos miembros por el denominador común de las fracciones involucradas. Paso Pase todos los términos que contengan a la variable al lado izquierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes. Paso Pase todos los términos que contengan a la variable al lado izquierdo y todos los demás al lado derecho; simplifique entonces, si es posible, reduciendo términos semejantes. Este procedimiento se aplica en los siguientes ejemplos. 64 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

75 EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación x 4(6 x) 5 6x. Solución Paso Dado que no hay fracciones en la ecuación, no necesitamos el paso. Paso Al efectuar las operaciones indicadas por los paréntesis obtenemos x 4 4x 5 6x Paso Pasamos todos los términos que contienen la variable al lado izquierdo y los constantes al derecho, sin olvidar cambiar sus signos, y obtenemos o bien x 4x 6x 5 4 x 9 Ahora obtenemos una solución dividiendo ambos lados entre, el coeficiente de x. x 9 EJEMPLO 5 Resuelva la siguiente ecuación: 5 x x 9 4 x x Solución como Después de eliminar los paréntesis, podemos escribir la ecuación dada 5 x x x x 6 Con el objeto de eliminar las fracciones, multiplicamos ambos miembros por, el denominador común, y simplificamos. 5 x x x x 6 4(5x) (x ) (9) 6x (x ) 0x x 6 7 6x 4x. Resuelva las siguientes ecuaciones: (a) x 7 (b) 4 x x 4 (c) (x ) (8 x) (d) ( x) 4 (x 4) Si pasamos los términos con x al lado izquierdo y los constantes al derecho, tenemos que 0x x 6x 4x 7 6 9x 9 Por último, dividimos ambos lados entre 9, para obtener x, la solución requerida. EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación Respuesta (a) (b) (c) (d) 8 (a) Para x; (b) para t. x t (x y) a z SECCIÓN - ECUACIONES LINEALES 65

76 4. Despeje r: a S r Solución Aquí el común denominador es az. Multiplicando ambos lados por az para deshacernos de las fracciones, obtenemos z(x t) a(x y) xz zt ax ay (0) (Observe que ni a ni z puden ser cero, pues de otra forma la ecuación dada tendría una fracción con denominador cero. En consecuencia, está permitido multiplicar por az). (a) Dado que estamos resolviendo para x, todas las demás letras involucradas en la ecuación son manejadas como constantes. Pasando todos los términos que contienen a la variable x al lado izquierdo y todos los términos sin x al derecho, obtenemos xz ax ay zt x(z a) zt ay Dividamos ambos miembros de la ecuación entre z a, suponiendo que este factor no es cero. x zt ay z a (b) Puesto que vamos a despejar t, sólo mantendremos aquellos términos que contengan a la variable t del lado izquierdo y pasaremos los demás términos al derecho. En consecuencia, de la ecuación (0), obtenemos zt ax ay xz Dividiendo ambos lados entre z, el coeficiente de t, el cual, como notamos antes, no puede ser cero, obtenemos Respuesta r a/s 5. Cuál es el error en lo siguiente? Pedimos resolver la ecuación x x x Primero multiplicamos ambos miembros por (x ): Esto es, (x ) (x ) x 4 x x Por tanto, x es una solución Respuesta Cuando x la ecuación original tiene términos no definidos. No hay solución ax ay xz t (ax ay xz) z z que es la solución requerida para la variable t. 4 EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación (x ) 4(x ) x. Solución A primera vista, esta ecuación no tiene la apariencia de una lineal debido a la presencia de los términos x. Sin embargo, veremos que se reduce a una ecuación lineal. Eliminemos los paréntesis y pasemos todos los términos que contengan x al lado izquierdo de la ecuación. Obtenemos 4x 4x 4x 4 x 4x 4x 4x x 4 Observemos que los términos 4x se cancelan entre sí (es decir, 4x 4x 4x x (4 4)x (4 )x 0x x) y nos quedamos con De aquí, la solución es x. 5 x 6 66 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

77 EJERCICIOS - (-0) Compruebe si el (los) número (s) dado (s) es (son) solución (es) de las ecuaciones correspondientes.. x 7 x;. 5t 8 ( t); u. 6 u ; u u 4. y y ; y y 5. x 5x 6;, 5 6. y 7y; 4, 4. 5[ (z )] (z ) 5. [4 (x )] 4(x 5) 6. [x (x )] 4 [ ( x)] 7. x 7 x 8. x 7 5 x 4 9. u 5u u y 6 y y 7. 5 x x ; x ; x x,. (y ) y 5 ( y) 4. 4 (z ) z 5x 9. x x 4 ; 0. 4x 7 ; 0 x (-4) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones polinomiales y declare el grado resultante.. x 7x 5 x(x ) x. (y )(y 5) (y )(y ) 7. y 7 (y ) y 4. (u ) (u )(u ) 5 (5-) Resuelva las siguientes ecuaciones. 5. x x 6. x 7 5x 7. x 5 5 x 8. 7x x 9. 4(x ) 8 x 0. x 5( x) ( x). ( x) 5 7(x ). 6y 5( y) ( y). z 4( z) 5( z) (-40) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones lineales y resuélvalas.. (x 4) (x ) 4. (x )(x ) (x )(x ) 5. x (x ) (x )(x ) 6. (x )(x ) 5x (x )(x ) x 7. (x )(x ) x (x )(x ) 8. (x )(x ) x (x ) 6x 5 9. x(x )(x 4) x (x ) 40. (x ) (x ) x (4-44) Resuelva las siguientes ecuaciones para las variables que se indican. 4. ax by cz: (a) para x; (b) para b. 4. S a rl : (a) para r; (b) para l. r 4. x y : (a) para x; (b) para t. t 44. x : (a) para x; (b) para y. xy SECCIÓN - ECUACIONES LINEALES 67

78 - APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES Los métodos algebraicos a menudo son útiles en la solución de problemas aplicados en diversos campos. En general, tales problemas se establecen en forma verbal; antes de que podamos utilizar nuestras herramientas algebraicas, es necesario cambiar las declaraciones verbales a proposiciones algebraicas correspondientes. El siguiente procedimiento por pasos con frecuencia es útil en la aplicación de este proceso. Paso Represente la cantidad desconocida (es decir, la cantidad que debe determinarse) mediante un símbolo algebraico, tal como x. En algunos problemas, deben determinarse dos o más cantidades; en tales casos denotamos sólo una de ellas con x. Paso Exprese todas las demás cantidades, si las hay, en términos de x. Paso Traduzca las expresiones verbales que aparecen en el problema en expresiones algebraicas en las cuales intervenga x. En este contexto, palabras tales como es o era se traducen al símbolo algebraico. Paso 4 Resuelva la expresión o expresiones algebraicas de acuerdo con los métodos algebraicos. Paso 5 Transforme la solución algebraica en forma verbal. En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. Los siguientes ejemplos ilustran cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos. 6. En el ejemplo (a), Amanda tiene tantos pesos como Juan, Jaime y Samuel juntos. Cuántos tiene? En el ejemplo (c). Si la primera tienda tiene una ganancia de $0 en cada refrigerador y la segunda tienda obtiene una ganancia de $75. En cuánto exceden las ganancias mensuales de la primera tienda a las de la segunda? EJEMPLO (a) Si Juan tiene x pesos y Jaime 5 más que Juan, entonces Jaime tiene (x 5) pesos. Si Samuel tiene menos que Juan entonces Samuel tiene (x ) pesos. (b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble de la edad de Luis, entonces su padre tiene (x 4) años. (c) Si cierto almacén vende x refrigeradores al mes y un segundo almacén vende 5 menos que una tercera parte del anterior, entonces el segundo almacén vende ( x 5) refrigeradores. 6 Empezaremos con algunos ejemplos elementales que ilustran de la manera más sencilla posible la traducción entre las formas verbales y algebraicas. Respuesta (a) x pesos (b) 5x 75 pesos EJEMPLO Determine dos enteros consecutivos cuya suma sea 9. Solución Paso Dado que debemos encontrar dos enteros, debemos decidir a cuál de ellos llamar x. Denotemos con x al entero más pequeño. 68 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

79 Paso Luego, el segundo entero es x, pues son consecutivos. Paso La expresión suma de dos enteros se cambia a la expresión algebraica x (x ). La afirmación de que esta suma es 9, equivale a la ecuación x (x ) 9 Paso 4 Despejamos x. 7. Un triángulo tiene dos lados iguales y el tercero es 8 unidades más largo. Si el perímetro excede al doble de la longitud del lado más corto en 0 unidades, cuáles son las longitudes de los tres lados? 7 x 9 x 9 8 x 8 9 Paso 5 Por tanto, el entero más pequeño es 9. El mayor, x, es 0. EJEMPLO Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 0 años tenía el doble de la edad de ella. Cuántos años tiene él? Solución Denotemos con x la edad actual del hombre. Dado que su esposa es 7 años más joven que él, la edad actual de ella debe ser (x 7) años. Hace 0 años, la edad del hombre era 0 años menos de lo que es ahora, de modo que su edad era entonces x 0. (Por ejemplo, si su edad actual es x 8, hace 0 años tenía x años). De manera similar, hace 0 años la edad de su esposa era de 0 años menos de la que es ahora, por lo que (x 7) 0 o x 7. Nos dicen que al mismo tiempo la edad del hombre, x 0, era el doble de la edad de su esposa, x 7. Así, escribimos Simplificamos y despejamos x. x 0 (x 7) x 0 x 4 x x 0 x 4 x 4 La edad actual del hombre es de 4 años. Su esposa tiene 7. Hace 0 años tenían 4 y 7, respectivamente. Respuesta, y 0. EJEMPLO 4 (Ingresos mensuales) Una vendedora gana un salario base de $600 por mes más una comisión del 0% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma horas realizar ventas por un valor de $00. Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $000? Solución Suponga que trabaja x horas por mes. Cada horas, efectúa ventas por $00, de modo que cada hora promedia dos terceras partes de esto, es decir, $(00/) en ventas. Su comisión es del 0% de esto, de modo que su comisión promedio por hora es 0. Por tanto, en x horas ganará una comisión de 0 x dólares. SECCIÓN - APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 69

80 Si agregamos su salario base, obtenemos un ingreso mensual total de x. Esto debe ser igual a 000, de modo que obtenemos la ecuación x 000 Al resolverla obtenemos las siguientes ecuaciones: 0 x x 0 (400) 0 La vendedora deberá trabajar 0 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivel de ingresos deseado. EJEMPLO 5 (Utilidades) Un comerciante de ganado compró 000 reses a $50 cada una. Vendió 400 de ellas con una ganancia del 5%. A qué precio deberá vender las restantes 600 si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 0%? Solución Su ganancia por cada una de las 400 reses ya vendidas es del 5% del precio de costo, que es el 5% de $50, o bien $7.50. En 400 reses, su ganancia fue de $ $5,000. Sea x dólares el precio de venta de las restantes 600 reses. Entonces su utilidad por res es x 50 y su ganancia por las restantes 600 es 600(x 50) dólares. Por tanto, su ganancia total por la venta completa es 5, (x 50) dólares Esta ganancia deberá ser el 0% del precio que él pagó por las 000 reses, es decir, el 0% de $50,000. Esto es igual a $[ 0 (50,000)], o bien $45,000. Así, obtenemos la ecuación Ahora resolvemos: 5, (x 50) 45,000 5, x 90,000 45, x 45,000 5,000 90,000 0,000 x 0, El comerciantes debe vender las restantes reses a $00 cada una para lograr una ganancia del 0%. Si una cantidad de dinero de P dólares se invierte a un año a una tasa de interés anual de R por ciento, la cantidad de interés anual está dada por I P R 00 dólares Por ejemplo, una suma de $5000 invertida al 6% anual producirá una cantidad de interés cada año dada por I $ $00 70 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

81 8. Cuál es el interés anual sobre (a) $4000 a 9% (b) $0,000 a %? Si este interés es retirado cada año, entonces tanto el capital P como el interés I permanecen sin cambio de año a año. 8 EJEMPLO 6 (Inversiones) La señora Cordero va a invertir $70,000. Ella quiere recibir un ingreso anual de $5000. Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5% de los bonos hipotecarios. Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice los riesgos y obtenga $5000? Solución Sea x pesos la cantidad invertida en bonos del gobierno. Entonces, la cantidad invertida en bonos hipotecarios es (70,000 x) pesos. El ingreso recibido por los bonos gubernamentales al 6% es de 6 00 x pesos. El ingreso percibido por los bonos hipotecarios al 8.5% es (70,000 x) pesos (70,000 x) pesos Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de $5000, 6 00 x 85 (70,000 x) Multiplicamos ambos lados por 000 y despejamos x. 60x 85(70,000 x) 5,000,000 60x 5,950,000 85x 5,000,000 5x 5,000,000 5,950, ,000 x 9 50, 000 8,000 5 En consecuencia, la señora Cordero debería invertir $8,000 en bonos del gobierno y los restantes $,000 en bonos hipotecarios. Ella podría aumentar su ingreso invirtiendo una proporción más grande de su capital en bonos hipotecarios, pero incrementaría su riesgo. EJEMPLO 7 (Problema de mezclas) Una compañía vitivinícola requiere producir 0,000 litros de jerez encabezando vino blanco, el cual tiene un contenido de alcohol del 0%, con brandy, el cual tiene un contenido de alcohol del 5% por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 5%. Determine las cantidades de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener el resultado deseado. Solución Sean x litros de brandy usados en la producción de 0,000 litros de jerez. Luego, el volumen de vino blanco usado deberá ser de (0,000 x) litros. Puesto que el brandy contiene 5% de alcohol, la cantidad de alcohol en x litros de 5 brandy es x. De manera similar, el vino contiene 0% de alcohol, de modo que 00 (0,000 x) litros de vino contienen (0,000 x) litros de alcohol. Por tanto, la 0 cantidad total de alcohol en la mezcla será de Respuesta (a) $60 (b) $ x (0,000 x) litros 0 SECCIÓN - APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 7

82 9. En el ejemplo 7, si 400 litros de brandy se combinan con 600 litros de jerez, cuál será el porcentaje de alcohol en la mezcla? La mezcla debe contener 5% de alcohol, por lo que los 0,000 litros deberían contener (0,000) 500 litros de alcohol. Por tanto, tenemos la ecuación x 0 (0,000 x) 500 Al resolver obtenemos las igualdades siguientes: x x x 0 x Respuesta % 5x 0x. 50,000 5x. 50,000 x. 50, En consecuencia, deben mezclarse 000 litros de brandy y 8000 litros de vino. 9 EJERCICIOS - (-) Si Juan tiene x dólares, cuántos dólares tendrá Julia en cada caso?. Ella tiene $4 más que Juan.. Ella tiene $ menos del doble de lo que tiene Juan.. Ella tiene $ más que la mitad de lo que tiene Juan. (4-7) Si José tiene x años y Julia es 4 años más joven, qué edad tiene Alfredo en cada caso? 4. Alfredo tiene años más que Julia. 5. Alfredo es año mayor que la edad promedio de José y Julia. 6. Alfredo es 0 años menor que la suma de las edades de José y de Julia. 7. Alfredo es años menor que cinco veces la diferencia de las edades de José y de Julia. 8. Bruno y Jaime juntos tienen $75. Si Jaime tiene $5 más que Bruno, cuánto dinero tiene Jaime? 9. En una clase de matemáticas para la administración hay 5 estudiantes. Si el número de chicos es 7 más que el doble de chicas, determine el número de chicas en la clase. 0. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En años, él tendrá el doble de la edad de su vástago. Qué edades tienen el padre y el hijo ahora?. Hace cinco años, María tenía el doble de la edad de su hermano. Encuentre, la edad actual de María, si la suma de sus edades hoy es de 40 años.. Susana tiene monedas más de cinco centavos que de diez centavos, y 5 monedas más de diez centavos que monedas de veinticinco centavos. En total tiene $.0. Cuántas monedas de cada una tiene?. Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bolsillo que de monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4 monedas menos de diez centavos y monedas más de veinticinco centavos, tendría $.60. Cuántas monedas de diez centavos y de veinticinco centavos tengo? 4. (Inversiones) Un hombre invierte al 8% el doble de la cantidad que destina al 5%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de $840. Cuánto invirtió a cada tasa? 5. (Inversiones) Un colegio destina $60,000 a un fondo, a fin de obtener ingresos anuales de $5000 para becas. Parte de esto se destinará a inversiones en fondos del gobierno a un 8% y el resto a depósitos de largo plazo a un 0.5%. Cuánto deberán invertir en cada opción con objeto de obtener el ingreso requerido? 6. (Inversiones) Los miembros de una fundación desean invertir $8,000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del 9 y 6%, respectivamente. Cuánto deberán invertir a cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciría al 8% la inversión total? 7 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

83 7. (Inversión) Una persona invirtió $000 más al 8% que al 0% y recibió un ingreso total por intereses de $700 por un año. Cuánto invirtió a cada tasa? 8. (Inversión) Una compañía invierte $5,000 al 8% y $,000 al 9%. A qué tasa debe invertir $,000 restantes de modo que el ingreso por los intereses anuales de las tres inversiones sea de $4500? 9. (Precio de venta) Durante una venta de liquidación, un artículo tiene marcada una rebaja de 0%. Si su precio de liquidación es $, cuál era su precio original? 0. (Precio de mayoreo) Un artículo se vende por $. Si la ganancia es de 50% del precio de mayoreo, cuál es el precio de mayoreo?. (Porcentaje de descuento) Un comerciante ofrece 0% de descuento sobre el precio marcado de un artículo, y aún así obtiene una ganancia del 0%. Si al comerciante le cuesta $5 el artículo, cuál debe ser el precio marcado?. (Mezclas) Diez libras de cacahuates tienen un precio de 75 por libra y libras de nueces valen 80 por libra; se mezclan con pacana; la cual tiene un valor de $.0 por libra, para producir una mezcla que vale 90 por libra. Cuántas libras de pacana deben utilizarse?. (Mezclas) Qué cantidad de una solución de ácido al 0% debe mezclarse con 0 onzas de una solución de ácido al 5% para obtener un solución de ácido al %? 4. (Mezclas) Qué cantidad de agua debe agregarse a 5 onzas de una solución de ácido al 0% para obtener un solución de ácido al %? 5. (Mezclas) Una muestra de agua de mar tiene un contenido de 0% de sal. Se agrega agua pura para obtener 75 onzas de una solución salina al 8%. Cuánta agua de mar estaba en la muestra? 6. (Mezclas) Cuánta agua debe evaporarse de 00 onzas de una solución salina al % para obtener una solución salina al 5%? 7. (Mezclas) La sustancia A contiene 5 miligramos de niacina por onza, y la sustancia B contiene miligramos de niacina por onza. En qué proporciones deben mezclarse A y B de modo que la mezcla resultante contenga 4 miligramos de niacina por onza? 8. (Agricultura) Una cosecha de papas da un promedio de 6 toneladas métricas de proteína por kilómetro cuadrado de área plantada, mientras que el maíz produce 4 toneladas métricas por kilómetro cuadrado. En qué proporciones deben plantarse las papas y el maíz para obtener toneladas de proteína por kilómetro cuadrado de la cosecha combinada? 9. (Utilidades de fabricantes) A un fabricante le cuesta $000 comprar las herramientas para la manufactura de cierto artículo casero. Si el costo para material y mano de obra es de 60 por artículo producido, y si el fabricante puede vender cada artículo en 90, encuentre cuántos artículos debe producir y vender para obtener una ganancia de $ (Ganancia en revistas) El costo de publicar cada copia de una revista semanal es de 8. El ingreso de las ventas al distribuidor es 4 por copia y de los anuncios es de 0% del ingreso obtenido de las ventas en exceso de 000 copias. Cuántas copias deben publicarse y venderse cada semana para generar una utilidad semanal de $000?. (Venta de automóviles) Un vendedor de autos usados compró dos automóviles por $900. Vendió uno con una ganancia de 0% y otro con una pérdida de 5% y aún obtuvo una ganancia de $85 en la transacción completa. Encuentre el costo de cada automóvil.. (Salario) Un empresario está estableciendo un pequeño negocio. Sus costos fijos son $70 semanales, y planea emplear 48 horas de mano de obra semanales. Él desea asegurar que su ganancia sea igual al costo de la mano de obra y que su producto se venda a sólo 40% sobre el costo total. Qué salario por hora debe pagar? Si fabrica 70 artículos por semana, a qué precio debe venderlos? - ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación del tipo ax bx c 0 (a 0) () donde a, b y c son constantes, se denomina una ecuación cuadrática en la variable x. Existen tres métodos para resolver una ecuación de ese tipo: factorizando, usando la fórmula cuadrática y completando el cuadrado. Cualquiera que sea el mé- SECCIÓN - ECUACIONES CUADRÁTICAS 7

84 todo que se utilice, la primera etapa para resolverla es disponer la ecuación en la forma estándar de la ecuación (). En esta forma, el lado derecho de la ecuación es cero y en el lado izquierdo se encuentran los términos en x, en x y las constantes. Por tanto, el procedimiento para llegar a esta forma estándar es, en primer término, eliminar todas las fracciones que aparezcan, multiplicando toda la ecuación por su denominador común, luego eliminar los paréntesis, enseguida pasar todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y, por último, simplificar los términos semejantes. Los siguientes ejemplos ilustran este procedimiento, junto con el método de factorización. EJEMPLO Resuelva la ecuación (x ) 5( x). Solución No hay fracciones en esta ecuación. Al eliminar los paréntesis, encontramos que x 5 5x Después de que todos los términos de la derecha se pasan al primer miembro, la ecuación se transforma en o bien x 5 5x 0 x 5x 0 Así, tenemos una ecuación cuadrática con coeficientes a, b 5 y c. Al utilizar el método de factorización, factorizamos la expresión de la izquierda. En este ejemplo, tenemos y así, la última ecuación toma la forma x 5x (x )(x ) (x )(x ) 0 El producto de los dos factores (x ) y (x ) es cero. Ahora utilizamos la siguiente propiedad de los números reales: Propiedad del factor cero: Si A y B son números reales y AB 0, entonces A 0 o B 0, o ambos son iguales a cero.* 0. Resuelva cada ecuación: (a) (x )(x 4) 0 (b) (y )(y 5) 0 En consecuencia, x 0 o x 0. En el primer caso, x, de donde x. En el segundo, x 0 implica que x. Así, x o x. Estos números nos dan las dos raíces de la ecuación dada. 0 Respuesta (a) x o 4 (b) y o 5 * El producto de dos factores no puede ser cero a menos que uno de los dos factores sea cero. 74 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

85 Observemos que el punto crucial del método de factorización consiste en escribir la expresión cuadrática ax bx c, que es la forma estándar de la ecuación, como el producto de dos factores lineales. Dado que este producto está igualado a cero, se sigue que alguno de los factores debe ser cero. EJEMPLO Resuelva (x )(x ) 4. Solución Escribimos la ecuación dada con su lado derecho igual a cero y simplificamos. (x )(x ) 4 0 (6x 7x ) 4 0 6x 7x 0 Factorizando, obtenemos (6x )(x ) 0 Por tanto, tenemos las siguientes igualdades:. Resuelva por factorización: x x 0 6x 0 o bien x 0 6x x x 6 Las raíces buscadas son 6 y. Fórmula cuadrática Recordemos que las raíces de la ecuación cuadrática ax bx c 0 (a 0) están dadas por la fórmula cuadrática x b b 4ac a Esta fórmula es utilizada ampliamente y debe memorizarse. (Asimismo se probará al final de esta sección). Para resolver una ecuación cuadrática, podemos usar esta fórmula de la siguiente manera. En primer lugar, reducimos la ecuación a la forma estándar. Luego, identificamos a, b y c, los tres coeficientes que aparecen en la forma estándar, y simplemente sustituimos estos coeficientes en la fórmula cuadrática. EJEMPLO Resuelva la ecuación (x )(x ) 4. Respuesta x o 7 Solución Esta ecuación se resolvió por el método de factorización en el ejemplo ; ahora la resolveremos usando la fórmula cuadrática. SECCIÓN - ECUACIONES CUADRÁTICAS 75

86 La ecuación considerada, al expresarse en la forma estándar (revise el ejemplo ) es 6x 7x 0 Si comparamos ésta con la ecuación general ax bx c 0, tenemos que a 6, b 7 y c. La fórmula cuadrática da las siguientes igualdades: x b b 4ac a (6)() (6) o bien 7 5 o bien o bien 6 De aquí, las raíces son 6 y, las cuales se encontraron en el ejemplo. Observación El método de factorización con frecuencia es un método más rápido para solucionar una ecuación cuadrática que el método de la fórmula, pero en algunas ocasiones es difícil reconocer los factores. Más aún, muchas expresiones cuadráticas no tienen factores racionales; en tales casos es imposible factorizar por inspección. EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación x x 0. Solución Si comparamos la ecuación dada con la forma estándar ax bx c 0, advertimos que los coeficientes son a, b y c. De este modo tenemos las siguientes igualdades: x () () 4()() b b 4ac a CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

87 . Resuelva la ecuación: x x 0 Respuesta x ( 5). Resuelva las ecuaciones: (a) x 6 7x 8 0 (b) x 4 7x 8 0 En consecuencia, las raíces son ( 7).8 y 4 ( 7) 0.78.* 4 EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación x 4 x 7 0. Solución Como aparece, esta ecuación no es una ecuación cuadrática. Sin embargo, si hacemos x z, obtenemos z z 7 0 que es una ecuación cuadrática para z. De la fórmula cuadrática obtenemos las soluciones () () z 4()(7) 7 Éstas son z 4.54 y z.54. Pero, como z x, entonces z no puede ser negativa, de modo que sólo aplica la primera de estas raíces. Tomando su raíz cuadrada entonces obtenemos x ( 7 ) Completar el cuadrado El tercer método para resolver ecuaciones cuadráticas se denomina completar el cuadrado. La propiedad subyacente de los números reales es la siguiente: Propiedad de la raíz cuadrada: Si X A, donde A 0, entonces X A. Por ejemplo, si X, entonces X.7 o X.7. El objetivo de este método es escribir la ecuación cuadrática en la forma X A, donde A es algún número y X es una expresión lineal que incluye a la variable x. Explicaremos este método por medio de la siguiente ecuación cuadrática particular Escribamos esta ecuación en la forma equivalente: De la identidad del cuadrado de un binomio tenemos x 6x 7 0 () x 6x 7 () (x ) x x x 6x 9 (4) Comparando el lado derecho de la ecuación (4) con el izquierdo de la ecuación (), notamos que sólo difieren por la constante 9. De esta manera, si sumamos 9 a ambos miembros de la ecuación (), obtenemos x 6x Respuesta (a) x o (b) x 8 * Revise la nota al pie de la página 57. SECCIÓN - ECUACIONES CUADRÁTICAS 77

88 4. Resuelva las ecuaciones: (a) x 9 0 (b) (x ) 4 (c) (x ) 4 Respuesta (a) x ± (b) x, (c) No hay solución o, en otras palabras, (x ) 6 Ahora esta ecuación se resuelve fácilmente tomando la raíz cuadrada en ambos lados. x 4 o bien x 4 En consecuencia, x 4 o x 4 7. Las dos soluciones son x y x 7. 4 Ahora queda la siguiente pregunta, por qué decidimos, a partir de la ecuación (), considerar la cantidad (x )? En realidad, por qué no consideramos (x ) o (x 57)? La razón es que, después de desarrollar el cuadrado del binomio, querríamos que el resultado coincidiera con el primer miembro de la ecuación (), por lo que a los términos en x y en x se refiere. Por ejemplo, si hubiésemos elegido (x ), tendríamos (x ) x 6x 9; si bien el término en x es el mismo que el del lado izquierdo de la ecuación (), el término en x es diferente. Con el propósito de obtener el mismo coeficiente en x que en la ecuación (), debemos considerar (x k), donde k es la mitad del coeficiente de x que aparece en la ecuación () (es decir, k es igual a la mitad del coeficiente de 6, o sea ). El procedimiento de resolución de una ecuación cuadrática completando el cuadrado se esboza en los siguientes pasos: Paso Divida toda la ecuación entre el coeficiente de x. Paso Pase el término constante al segundo miembro. Paso Sume k a ambos lados de la ecuación, en donde k es la mitad del coeficiente de x que aparece en el primer miembro. Paso 4 Ahora, el lado izquierdo de la ecuación es el cuadrado perfecto (x k), de modo que la solución se obtiene extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados. 5. Complete el cuadrado en cada caso: (a) x 4x (b) x x (c) y 5y 0 Respuesta (a) (x ) 5 (b) (x ) 4 9 (c) (y 5 4 ) 9 6 EJEMPLO 6 Solución Resuelva la ecuación x x 0, completando el cuadrado. Paso Al dividir toda la ecuación entre, obtenemos x x 0. Paso x x. Paso El coeficiente de x es. Debemos tomar k como la mitad de esto, es decir,. 4 Así, debemos sumar k ( 4 ) 6 a ambos lados. x x Paso 4 El primer miembro de esta ecuación ahora es (x k), es decir [x ( 4 )]. De modo que (x 4 ) 7 6 Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados, encontramos que x y por tanto, x 4 7/4. (Esto concuerda con las raíces encontradas en el ejemplo 4) CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

89 Concluimos esta sección deduciendo la fórmula cuadrática para la ecuación cuadrática ax bx c 0, con a 0. La demostración sigue el método de completar el cuadrado. Empezamos pasando el término constante a la derecha: ax bx c Dividiendo ambos lados entre a (esto es posible dado que a 0), obtenemos b c x x (5) a a De acuerdo con el método de completar cuadrados, debemos dividir el coeficiente de x (que es b/a) entre, (con b/a) y el cuadrado del resultado sumarlo a ambos lados. Así, tenemos las siguientes igualdades: x x Pero el primer miembro es (x b/a), como puede comprobar por la fórmula del cuadrado de un binomio. Por tanto, obtenemos Después de extraer raíz cuadrada a ambos lados, encontramos que Por tanto, b a x b a b a b 4ac 4a x como se requería. Una observación final: la cantidad D b 4ac se denomina el discriminante. Si D 0, el término dentro de la raíz cuadrada de la fórmula cuadrática se hace cero. En este caso, las raíces de la ecuación coinciden, de modo que no hay raíces distintas. Por ejemplo, una ecuación de este tipo es la ecuación cuadrática x 0x 5 0, la que sólo tiene la raíz x 5. Si D < 0, la cantidad dentro de la raíz cuadrada es negativa. En este caso, la ecuación cuadrática ax bx c 0 no tiene raíces que sean números reales. Por ejemplo, consideremos la ecuación x x 0 (en la cual a, b y c ). De la fórmula cuadrática, tenemos que x x b b 4ac a 4a () () 4()() () c a b b 4ac a b b 4ac a 4 b a 4ac b 4a b 4ac a SECCIÓN - ECUACIONES CUADRÁTICAS 79

90 Pero la expresión 4 no tiene sentido como número real, por tanto, concluimos que la ecuación dada no tiene raíces reales.* EJERCICIOS - (-) Resuelva las siguientes ecuaciones por factorización.. x 5x 6 0. x x 0. x 9x x 5x x 4x x 6x x 7x 0 8. x x 0 9. x 0 0. x 5 0. x 8x 0. 4x 5x 0. 6x 5 x x 0 x 0 5. x 5x 0 6. x x x x x 4x (x )(x ) x x x 4 0. x 4 5x 4 0. x 4 x 0 (-4) Resuelva las siguientes ecuaciones por la fórmula cuadrática.. x x 0 4. x 4x 0 5. x x x 6x 0 7. x x x x x 0x x 5x 0. 5x (x ) 6. (4x )(x ) 8x 4. (x ) (x ) 4. (x ) (x ) (5-44) Resuelva las siguientes ecuaciones, completando el cuadrado. 5. x 6x 0 6. x x x x 0 8. x 5x x 8x x 4x 0 * Las cantidades que son raíces cuadradas de números negativos se denominan números imaginarios. En particular, se llama unidad imaginaria y se denota mediante i. Por ejemplo, de esta manera podemos escribir 4 (4)( ) i. En forma parecida, todo número imaginario puede escribirse en la forma ib, donde B es algún número real. La solución del último ejemplo puede escribirse en la forma x ( 4 ( i) i Observemos que estas soluciones constan de dos partes, una parte real, la cual es, y una parte imaginaria, que es i o i, que depende de la raíz que tomemos. Cualquier número que puede escribirse como la suma de un número real y un número imaginario se denomina número complejo. En general, un número complejo tiene la forma A ib, donde A y B son números reales. Así, cuando b 4ac 0, las soluciones de una ecuación cuadrática constan de dos números reales distintos. Si b 4ac 0, existe una única solución y es un número real. Y cuando b 4ac 0, existen dos soluciones distintas que son números complejos. Todas las operaciones ordinarias se pueden realizar con números complejos. Sólo debemos recordar que i. 80 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

91 4. 7x (x 5) x 4. x(4x ) 4 x 4. x(x )(x ) (x ) 44. (x ) (x ) 8x (45-68) Resuelva las siguientes ecuaciones por el método apropiado x 46. 5x x x 48. (x ) 5x 49. 5x 40(x ) 50. (x 5)(x ) 8 5. x(x 5) 4x 5. (x ) x 5. x (x )(x ) 54. x(x ) x 55. x 5 x x 56. x x x 57. x x x 7 x x 59. x x x x 0 6. x 5x 6. x 5x 6. (x )(x ) (x )(x ) 64. (x )(x ) (x )(x ) x 4 x x 4 x x / x / x /5 x / Resuelva s ut gt para t. a 70. Resuelva s para a. a 7. Resuelva A R(R H) para R. 7. Resuelva A = x 4xy para x. 7. Si es una raíz de x kx 0, encuentre la otra raíz. 74. Si es una raíz de x 5x k 0, encuentre la otra raíz. 75. Utilice la fórmula cuadrática para resolver la ecuación a. Para x en términos de y b. Para y en términos de x x xy y Utilice la fórmula cuadrática para resolver la ecuación a. Para x en términos de y b. Para y en términos de x x y xy -4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS EJEMPLO Sue es 7 años mayor que Bobby. Si el producto de sus edades es 60, cuál es la edad de Bobby? Solución Asigna a x la edad de Bobby. Entonces Sue tiene x 7 años. Esto significa que el producto (Edad de Bobby) (Edad de Sue) x(x 7) 60 Esto es, x 7x 60 0 Esto se factoriza como (x 5)(x ) 0, de modo que x 5 o x. Pero, x no puede ser negativa, por lo que la edad de Bobby es 5. EJEMPLO Una caja sin tapa se fabricará a partir de una hoja rectangular de hoja de lata, cortando cuadrados de 4 pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si el ancho de la caja es de pulgadas menos que el largo y la caja contiene 80 pulgadas cúbicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata. SECCIÓN -4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 8

92 Solución Si denotamos con x pulgadas el ancho de la caja, entonces su largo es (x ) pulgadas y su altura 4 pulgadas. (Figura ). El volumen de la caja está dado por (Largo)(Ancho)(Altura) (x )(x)(4) 4x(x ). FIGURA Pero la caja contiene 80 pulgadas cúbicas, de modo que Dividiendo ambos lados entre 4, tenemos 4x(x ) 80 x(x ) 70 x x 70 0 (i) Comparando esto con la fórmula cuadrática ax bx c 0 tenemos a, b, c 70. Entonces, por la fórmula cuadrática las raíces de (i) están dadas por x b b 4ac a 9 4()(70) () o 0 o 7 6. Resuelva el ejemplo si el ancho es 4 pulgadas menor que el largo y el volumen es de 40 pulgadas cúbicas. Respuesta 4 8 pulgadas. Pero x 0 no es aceptable, ya que x representa el ancho de la caja, y el ancho no puede ser un número negativo. Así x 7. Las dimensiones de la hoja de lata antes de que le cortemos las esquinas son x 8 y (x ) 8. Ya que x 7, las dimensiones son 5 y 8 pulgadas. 6 EJEMPLO (Renta de departamento) Steve es propietario de un edificio que tiene 60 departamentos. Él puede rentar todos los departamentos si cobra una renta de 8 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

93 $80 mensuales. Con una renta mayor, algunos de los departamentos permanecerán vacíos; en promedio, por cada incremento de $5 en la renta, departamento quedará vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre la renta que debe cobrar por cada departamento para obtener un ingreso total de $,475. Solución Asigne a n el número de incrementos de 5 dólares. Entonces el aumento en la renta por departamento es 5n dólares, lo cual significa que la renta por departamento es (80 5n) dólares. Entonces el número de unidades no rentadas será n, de modo que el número de rentados será 60 n. La renta total que él recibirá está dada por Ingreso por la renta (Renta por depto.) (Número de deptos. rentados) Por tanto,,475 (80 5n)(60 n) o bien,,475 5(6 n)(60 n) Dividiendo ambos miembros entre 5, obtenemos Por tanto, 95 (6 n)(60 n) 60 4n n n 4n 5 0 (n 9)(n 5) 0 7. En el ejemplo, cuál es el ingreso total por rentas, cuando la renta es de $00 mensuales? Respuesta $ Por lo que n 9 o 5. Por consiguiente, la renta debe ser 80 5n, que es $5 o $55. En el primer caso, 9 de los departamentos quedarán vacantes y los 5 departamentos rentados producirán un ingreso de $5 cada uno. En el segundo caso, cuando la renta es $55, 5 departamentos quedarán vacantes y sólo 45 rentados, pero el ingreso total será el mismo. 7 El ingreso de un negocio para un periodo de operación dado es el nombre dado al total de lo que recibe durante ese periodo. La utilidad es igual a este ingreso menos el costo de operación para el periodo en cuestión. Escribimos esto Utilidad Ingreso Costos 8. Una compañía vende su producto a $9 por unidad. Producir x unidades por semana cuesta $(4x 000) Cuáles son los ingresos y ganancias de la compañía, si x unidades se producen y venden por semana? Cuando los ingresos provienen de la venta de un bien particular, también tenemos la ecuación general Ingreso (Precio de venta por unidad) (Número de unidades vendidas) 8 Respuesta Ingreso 9x, utilidad 5x 000. EJEMPLO 4 (Decisión de precio) La cámara de comercio del huevo de Columbia Británica sabe por experiencias pasadas que si cobra p dólares por docena de huevos, el número vendido por semana será x millones de docenas, donde p x. Entonces su ingreso semanal total sería R xp x( x) millones de dólares. El SECCIÓN -4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 8

94 costo para la industria de producir x millones de docenas de huevos por semana está dado por C x millones de dólares. A qué precio se deben vender los huevos para asegurar una utilidad de $0.5 millones? Solución La utilidad está dada por la siguiente ecuación: P R C x( x) ( x) x.5x 0.5 Haciendo ésta igual a 0.5, obtenemos la ecuación: o x.5x x.5x Utilizando la fórmula cuadrática, encontramos las raíces para x. x (.5) (.5) 4()(0.5) ()() b b 4ac a.5.5 (.5 0.5) o 0.5 Ahora p x. De modo que cuando x, tenemos p, y cuando x 0.5, p.5. Así, la cámara de comercio tiene una elección entre dos políticas. Puede cobrar $ por docena, en cuyo caso las ventas serán de millón de docenas, o puede cobrar $.50 por docena, con lo que las ventas serán de 0.5 millones de docenas por semana. En cualquier caso las utilidades para la industria serán de $0.5 millones por semana. 9. Una suma de $00 se invirtió durante años a una tasa de interés de 6% anual. El interés del primer año no se retira y genera interés durante el segundo año. Cuál es el valor final total de la inversión? Respuesta $00(.06) o $4.7 En el ejemplo 6 de la sección - vimos que una suma P invertida a una tasa de interés de R% devenga una cantidad de interés de P(R/0) en un año. Al final del año, el valor total de la inversión es Capital inicial Interés P P R 00 P R 00 9 EJEMPLO 5 (Inversión) Una suma de $400 se invirtió a una tasa de interés R% anual. Al final del año, el capital y el interés se dejan para que generen interés durante el segundo año. Determine R si el valor total de la inversión al final del segundo año es $ CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

95 Solución Al final del primer año, el valor total, como se analizó anteriormente, es P R R 00 P Este nuevo capital total genera interés durante el segundo año, de modo que el valor de la inversión al final del segundo año es P R Así, tenemos la ecuación cuadrática R R 00 que se resolverá para R. No la escribimos en la forma estándar, sólo tomamos las raíces cuadradas de ambos lados: R R. de modo que R no puede ser negativa, de modo que la solución con sentido es R/00. or 0. La tasa de interés es 0%. EJEMPLO 6 (Inversión) Una compañía desea reservar una suma de $ millón para invertirlo a una tasa de interés y utilizarlo en una fecha posterior para liquidar dos emisiones de bonos que deberá pagar. Un año después de que la suma se invirtió por primera vez, se requerirán $50,000 para la primera emisión; un año después, se necesitarán $900,000 más para la segunda emisión. Determine la tasa de interés necesaria para que la inversión sea suficiente para cubrir ambos pagos. Solución Sea R% al año, la tasa de interés. Cuando se invierte a esta tasa, el valor de la inversión después de año es P R 00 ( millón) 00 R R 00 millones de dólares En ese instante, se retiran 0.5 millones; por tanto, al inicio del segundo año, el monto aún invertido es (en millones), P R R 00 Después de un segundo año de interés, el valor de la inversión es P R R 00 R 00 Éste debe ser el monto (0.9 millones) necesario para pagar la emisión del segundo bono. Por tanto, llegamos a la ecuación 0.75 R 00 R SECCIÓN -4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 85

96 Así, R 00 R Multiplicando ambos miembros por 00 para eliminar las fracciones, llegamos a la ecuación R R 9000 o R 75R De la fórmula cuadrática (con a, b 75 y c 500), encontramos el valor siguiente para R. R ()(500) () [75 0, ] [75 6,65] [75 9.4] 8. o bien 8. Es claro que la segunda solución no tiene sentido práctico, una tasa de interés difícilmente sería negativa. La solución que tiene sentido es R 8.. De modo que la inversión debe devengar 8.% anual, a fin de proporcionar suficientes fondos para pagar la emisión de bonos. EJERCICIOS -4. Determine dos números cuya suma sea 5, y la suma de sus cuadrados sea 7.. Determine dos enteros impares consecutivos cuyo producto sea 4.. Encuentre dos enteros consecutivos cuyo producto sea. 4. Encuentre dos enteros pares consecutivos, tal que la suma de sus cuadrados sea La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es centímetros. Determine los otros dos lados del triángulo, si su suma es 7 centímetros. 6. El diámetro de un círculo es 8 centímetros. En cuánto debe aumentar el radio para que el área aumente centímetros cuadrados? 7. El perímetro de un rectángulo es de 0 pulgadas y su área de 4 pulgadas cuadradas. Determine las longitudes de sus lados. 8. El perímetro de un rectángulo es 4 centímetros y su área es centímetros cuadrados. Encuentre las longitudes de sus lados. 9. Se quitan cuadrados iguales de cada esquina de una hoja metálica rectangular cuyas dimensiones son 0 por 6 pulgadas. Después los lados se doblan hacia arriba para formar una caja rectangular. Si la base de la caja tiene un área de 40 pulgadas cuadradas, determine el lado del cuadrado que se quitó de cada esquina. 0. Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye a partir de una pieza cuadrada de metal, cortando cuadrados de pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Encuentre las dimensiones de la hoja metálica, si el volumen de la caja debe ser de 50 pulgadas cúbicas.. Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 80 pies por segundo. La altura h (en pies), recorrida en t segundos, está dada por la fórmula h 80t 6t a. Después de cuántos segundos la pelota alcanzará una altura de 64 pies? b. Cuánto tiempo tardará la pelota en regresar al piso? 86 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

97 c. Determine la altura máxima que la pelota alcanza. (Sugerencia: El tiempo de recorrido hacia arriba es igual a la mitad del tiempo en que regresa al piso).. Se dispara un proyectil verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial de 8 pies por segundo. El proyectil está a una altura h después de t segundos del lanzamiento, en donde h 8t 6t. a. Después de cuánto tiempo el proyectil estará a una altura de 9 pies por encima del suelo? b. En qué momento el proyectil regresará al suelo? Determine la altura máxima que alcanza el proyectil.. (Problema de costo) Un vendedor vendió un reloj en $75. Su porcentaje de ganancia fue igual al precio de costo en dólares. Determine el precio de costo del reloj. 4. (Interés compuesto) Por cada $00 invertidos en préstamos comerciales con garantía, un banco recibe $6.64 después de años. Esta cantidad representa el capital y el interés compuesto anualmente. Cuál es la tasa de interés anual? 5. (Interés compuesto) Dentro de dos años, la compañía XYZ requerirá $,0,500 para retirar algunos de sus bonos. A qué tasa de interés compuesto anualmente deben invertirse $,000,000 durante el periodo de dos años para recibir la cantidad requerida para retirar los bonos? 6. (Renta de apartamentos) Royal Realty ha construido una unidad nueva de 60 apartamentos. Del pasado se sabe que si ellos cobran una renta mensual de $50 por apartamento, todas las viviendas se ocuparán, pero por cada incremento de $ en la renta, es muy probable que un apartamento permanezca vacante. Cuál debe ser la renta que se debe cobrar para generar los mismos $9000 de ingreso total que se obtendrían con una renta de $50, y al mismo tiempo dejar algunos apartamentos vacantes? 7. (Renta de apartamentos) En el ejercicio 6, el mantenimiento, los servicios y otros costos del edificio ascienden a $5000 por mes más $50 por cada apartamento ocupado y $0 por cada apartamento vacante. Qué renta debe cobrarse, si la ganancia será de $5 mensual? (La utilidad es el ingreso por las rentas menos todos los costos). 8. (Decisión de precio) Si un editor pone un precio de $0 a un libro, se venderán 0,000 copias. Por cada dólar que aumente al precio se dejarán de vender 500 libros. Cuál debe ser el costo de cada libro para generar un ingreso total por la ventas de $45,000? 9. (Decisión de precio) En el ejercicio 8, el costo por producir cada copia es $6. Qué precio debe cobrar el editor para tener una utilidad de $00,000? 0. (Decisión de precio) En el ejercicio 9, suponga que además del costo de $6 por copia, el editor debe pagar regalías al autor del libro igual al 0% del precio de venta. Ahora qué precio debe cobrar por copia para obtener una utilidad de $00,000?. (Inversión) Una suma de $00 se invirtió a un interés durante un año; después, junto con los intereses generados, se invierte durante un segundo año al doble de la primera tasa de interés. Si la suma total lograda es $., cuáles son las dos tasas de interés?. (Inversión) En el ejercicio, se retiran $5 después del primer año y el resto se invierte al doble de la tasa de interés. Si el valor de la inversión al final del segundo año es $88, cuáles son las dos tasas de interés?. (Decisión de producción y de precio) Cada semana, una compañía puede vender x unidades de su producto a un precio de p dólares cada uno, en donde p 600 5x. A la compañía le cuesta ( x) dólares producir x unidades. a. Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para generar un ingreso de $7,500? b. Qué precio por unidad debe cobrar la compañía para obtener un ingreso semanal de $8,000? c. Cuántas unidades debe producir y vender cada semana para obtener una utilidad semanal de $5500? d. A qué precio por unidad la compañía generará un utilidad semanal de $5750? 4. (Decisión de producción y de precio) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana a un precio de p dólares por unidad, donde p 00 x. Producir x unidades cuesta (800 45x) dólares. a. Cuántas unidades deben venderse cada semana para generar un ingreso de $9600? b. A qué precio por unidad se generará un ingreso semanal de $9900? c. Cuántas unidades debe producir y vender el fabricante cada semana para obtener una utilidad de $00? d. A qué precio por unidad obtendrá una utilidad semanal de $50? 5. (Política de precios) Una Cámara Estatal del Vino compra whisky a $ una botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas por semana) está dado por x 4 p, cuando el precio es p. Qué valor de p da un ingreso total de $7 millones por semana? Qué valor de p da, a la Cámara del Vino, una utilidad de $4.8 millones semanales? SECCIÓN -4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRÁTICAS 87

98 REPASO DEL CAPÍTULO Términos, símbolos y conceptos importantes. Ecuación, solución o raíz de una ecuación. Ecuaciones equivalentes. Los principios de suma y multiplicación para ecuaciones. Ecuación polinomial, grado, ecuación lineal, ecuación cuadrática. Procedimiento paso a paso para resolver una ecuación lineal.. Procedimiento paso a paso para manipular problemas planteados en palabras. Fórmula de interés anual.. Forma estándar de una ecuación cuadrática. Propiedad del factor cero: solución de una ecuación cuadrática por medio de factorización. Fórmula cuadrática. Propiedad de la raíz cuadrada: completar el cuadrado..4 Ingreso, costos, utilidad. Fórmulas Fórmula del interés anual: I P R 00 Valor después de un año P R 00 Fórmula cuadrática: Si ax bx c 0, entonces x Utilidad Ingreso Costos b b 4ac a Ingreso (Precio de venta por unidad) (Número de unidades vendidas) EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Reemplace cada proposición falsa con una proposición verdadera. a Si ambos lados de una ecuación se multiplican por una constante, las raíces de la ecuación no se alteran. b. Cualquier expresión puede sumarse a ambos lados de una ecuación y las raíces seguirán siendo las mismas. c. Las raíces de una ecuación no se alteran cuando ambos lados se multiplican por una expresión que contiene la variable. d. Es posible elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación sin alterar sus raíces. e. Si px q, se sigue que x q p. f. Una ecuación cuadrática es de la forma ax bx c 0, en donde a, b y c son constantes cualesquiera. g. La solución de la ecuación x 4 está dada por x. h. Las raíces de la ecuación cuadrática ax bx c 0, a 0, están dadas por b x b 4ac a i. Una ecuación lineal siempre tiene exactamente una raíz. j. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces distintas. k. Es posible que una ecuación lineal no tenga raíces. l. Es factible que una ecuación cuadrática no tenga raíces. (-9) Resuelva las siguientes ecuaciones para x.. ( x) x 5(x ). ( 4x) x ( x) 4. 4(x ) (x ) 7x 5. (x ) (x 7) 4(x ) 6. 5x (x ) x ( 5x) 7. (x ) (x ) x 7 8. x x CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

99 9. x x x a c b x x. b c c a x a b c ab. (x ) (x ). (x ) x (x )(x ) 4. (x )(x ) (x 5)(x ) 5. (x )(x ) (x )(x ) 6. (x )(x 5) (x )(x ) 7. (x 4)(x ) (x )(x ) 8. (x )(x ) (x )(x ) 9. (x )(x 5) (x )(x ) 0. 5x x 6 x x x. q pq qr rp p r. x 5. 8 (x 5)(x 7) (x )(x ) 4. x 5 x 5. x 5 x 6. x 5x 7. x x 8. x 4 8x 9. 4 x 8 x (0-) Resuelva las siguientes ecuaciones para las variables indicadas. 0. x y z a. para y b. para z. S a rl r a. para r b. para l. P P 0 ( R/00) a. para P 0 b. para R. (Inversiones) El ganador de la Lotería Nacional quiere invertir su premio de $00,000 en dos inversiones al 8 y 0%. Cuánto debería invertir en cada una de ellas si desea obtener ingresos anuales por $8500? 4. (Embarque de muebles) El Mercado de Muebles de Occidente recibió 55 artículos, entre buroes y mesas para café. La factura fue por $645. Si cada buró cuesta $9 y cada mesa para café tiene un precio de $5, cuántos artículos de cada tipo se recibieron? 5. (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al precio de $0 cada uno. Le cuesta $.50 producir cada artículo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $7000 al mes con el fin de operar la planta. Encuentre el número de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de $5000 al mes. 6. (Decisiones sobre fabricación) Un fabricante de televisores decide producir sus propios cinescopios, ya que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $5.70 cada uno. La fabricación de los cinescopios acarreará costos adicionales de $960 al mes y el costo de mano de obra y materiales será de $4.0 por cada cinescopio. Cuántos cinescopios debería usar al mes con el fin de justificar la decisión de fabricarlos? 7. (Utilidades del productor) El número de unidades de un producto que un fabricante puede vender a la semana depende del precio que les fije. Suponiendo que al precio de p dólares, pueden venderse x artículos a la semana, en donde x 00(6 p). Cada unidad tiene costo de fabricación de $. La utilidad por artículo es, por lo tanto, (p ) dólares y la utilidad semanal es (p )x dólares. Determine el valor de p que producirá una utilidad semanal de $600. EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 89

100 8. (Decisiones sobre producción) Un fabricante puede vender x unidades de un producto a la semana a un precio de p dólares por unidad, en donde x 60(0 p). Producir x unidades a la semana cuesta (4x 400) dólares. Cuántas unidades debería producir y vender para obtener una utilidad semanal de $000? 9. (Utilidades de una empresa) Una tintorería ofrece servicio 8 horas diarias de lunes a viernes y cierra el fin de semana. El establecimiento maneja 5 transacciones (operaciones) por hora, y el promedio de ingresos por transacción es de $6. El costo de mano de obra es de $6 por hora y el alquiler del local y el equipo de $560 semanales. El único costo adicional para el operador es en materias primas: C dólares por transacción. a. Exprese la utilidad semanal U en términos de C. b. Supongamos que la tintorería obtiene actualmente utilidades de $600 a la semana. El costo de materias primas, esto es C, aumentará 0% el próximo mes. Los precios al público, se incrementarán 0%. Suponiendo que ningún otro factor varía y que, en particular, el negocio no decae, cuál será la nueva utilidad por semana? 90 CAPÍTULO ECUACIONES DE UNA VARIABLE

101 CASO DE ESTUDIO LA EDAD DE DIOFANTO Con base en el texto de su epitafio, que aparece al inicio de este capítulo, podemos representar en lenguaje algebraico lo expresado en él. Si denotamos con e la edad en años de Diofanto al morir, entonces la traducción de su epitafio en términos de la variable e es: Años de la niñez de Diofanto: e/6 años. Edad a la que su cara se cubrió de barba: e/6 e/ años. Edad a la que contrajo matrimonio: e/6 e/ e/7. Edad de Diofanto cuando se convirtió en papá: e/6 e/ e/7 5. Edad de Diofanto cuando falleció su hijo: e/6 e/ e/7 5 e/. Edad de Diofanto cuando murió: e/6 e/ e/7 5 e/ 4. Por tanto, podemos plantear la siguiente ecuación: e/6 e/ e/7 5 e/ 4 e en donde el miembro del lado izquierdo representa cada una de las partes de la vida de Diofanto descritas en el epitafio, y el miembro derecho (e) es la edad de Diofanto. A partir de esta ecuación es fácil determinar su edad. Resuelva esta ecuación y responda las preguntas realizadas al inicio del capítulo. CASO DE ESTUDIO 9

102 CAPÍTULO Desigualdades Como vimos en el capítulo anterior, para modelar situaciones de la vida real es necesario plantear ecuaciones, pero quizá con mayor frecuencia de lo que uno cree, se necesita expresar con un modelo matemático situaciones que incluyen restricciones debidas a la materia prima, a un mínimo de producción, a un nivel mínimo de ganancia o a un máximo poder adquisitivo, etcétera. Por ejemplo: una compañía debe proporcionar a sus representantes de ventas un automóvil para uso oficial. Con el fin de simplificar el problema suponga que sólo se tiene un representante de ventas. Entonces la compañía debe decidir entre comprar, o bien, rentar un automóvil. Después de analizar diferentes propuestas de empresas automotrices, tiene las dos opciones siguientes. a) Comprar un automóvil con un desembolso inicial de $60,600, más 4 mensualidades fijas de $4700, incluye el pago de un seguro para automóvil. Al término de los 4 meses, el automóvil se puede vender en $70,000, lo que se conoce como valor de rescate. b) Rentar un automóvil, por $000 mensuales, más $0.60 por kilómetro recorrido y un pago único de $5000 por concepto de seguro para automóvil con vigencia de dos años. La empresa considera que en promedio su representante viaja 000 kilómetros al mes, y esto no cambiará en los próximos dos años. Aquí lo único que debe hacer la empresa es calcular el costo en ambos planes. Al final de los dos años, 4 meses, el plan A implica un gasto de $0,400, mientras que en el plan B el gasto asciende a $05,800. Por lo que se debería elegir el plan A. Pero, si el precio por kilómetro aún se puede negociar, a partir de qué precio por kilómetro es mejor el plan B que el plan A? En este capítulo se estudiarán métodos para la resolución de problemas como éste. Y la solución aparece al final del capítulo. T EMARIO - CONJUNTOS E INTERVALOS - DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE - DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE -4 VALORES ABSOLUTOS REPASO DEL CAPÍTULO 9

103 - CONJUNTOS E INTERVALOS Empecemos recordando las definiciones de los símbolos,, y, denominados símbolos de desigualdad. Los números reales distintos de cero se dividen en dos clases, los números positivos y los números negativos. Escribimos a 0 (a es mayor que cero) para indicar que a es positivo y a 0 (a es menor que cero) para señalar que a es negativo. La suma a b y el producto a b de dos números reales positivos son ambos positivos. Si a es positivo, entonces a es negativo. Si a y b son dos números reales distintos, escribimos a b si la diferencia a b es positiva y a b si a b es negativa. Por ejemplo, 5 porque 5 es positivo y 8 dado que 8 6 es negativo. Geométricamente, a b significa que el punto sobre la recta numérica que representa a a está a la derecha del punto que representa al número b, y a b significa que el punto que representa a a está a la izquierda del punto que representa a b. (Figura ). FIGURA. Las siguientes proposiciones son falsas o verdaderas? (a) 5 7 (b) 4 (c) Si x 5 entonces 5 x (d) Existe x tal que x 4 Definimos a b (a es mayor o igual que b) para indicar que a b o que a b. De manera similar, a b (a es menor o igual que b) se usa para señalar que a b o a b. Por ejemplo, 5 7 es cierto y 5 5 porque 5 5 se cumple. Proposiciones tales como a b, a b, a b o a b se llaman desigualdades. En particular, a b y a b son desigualdades estrictas. La desigualdad a b puede escribirse en forma equivalente en la dirección opuesta como b a. Así, 5 es lo mismo que 5. Cuando un número b está entre dos números a y c con a c, escribimos a b c. La doble desigualdad se utiliza para indicar que a b y que b c. Conjuntos El conocimiento de los conjuntos y de las operaciones entre conjuntos es básico en todas las matemáticas modernas. Una gran cantidad de largas proposiciones matemáticas pueden escribirse clara y concisamente en términos de conjuntos y de operaciones entre ellos. Respuesta (a) Falsa (b) Verdadera (c) Verdadera (d) Falsa DEFINICIÓN Toda colección de objetos bien definida se llama conjunto. Los objetos de que consta un conjunto se denominan miembros o elementos de un conjunto. SECCIÓN - CONJUNTOS E INTERVALOS 9

104 Por una colección bien definida, entendemos que dado cualquier objeto, podemos decidir sin ambigüedad alguna si pertenece o no a la colección. Un conjunto puede especificarse en dos formas, haciendo una lista de todos sus elementos o estableciendo una regla que caracterice a los elementos del conjunto. Examinemos estos dos métodos, uno por uno. MÉTODO DEL LISTADO Si es posible especificar todos los elementos de un conjunto, éste puede describirse listando todos los elementos y encerrando la lista entre llaves. Por ejemplo, {,, 5} denota al conjunto que consta de los tres números, y 5 y {p, q} simboliza el conjunto cuyos únicos elementos son las letras p y q. En casos en que el conjunto contiene un gran número de elementos, es posible emplear a menudo lo que llamaremos una lista parcial. Por ejemplo, {, 4, 6,..., 00} denota al conjunto de todos los enteros pares desde hasta 00. Tres puntos suspensivos,...,se usan para señalar que la sucesión de elementos continúa de manera tal que es clara con base en los primeros elementos listados. La sucesión termina en 00. Por medio de los puntos suspensivos, el método de la lista puede emplearse en casos en los cuales el conjunto en cuestión contiene un número infinito de elementos. Por ejemplo, {,, 5,...} denota al conjunto de todos los números naturales impares. La ausencia de números después de los puntos suspensivos indica que la sucesión no termina, sino que continúa indefinidamente. MÉTODO DE LA REGLA Existen muchos ejemplos en los que no es posible o que no sería conveniente listar todos los elementos de un conjunto determinado. En tales casos el conjunto puede especificarse estableciendo una regla de pertenencia. Por ejemplo, consideremos el conjunto de todas las personas que viven en México en este momento. Especificar este conjunto listando todos sus elementos por nombres sería una tarea prodigiosa. En lugar de ello lo podemos denotar de la siguiente manera. {x x es una persona que actualmente vive en México} El símbolo significa tal que, de modo que esta expresión se lee: el conjunto de todas las x tales que x es una persona que actualmente vive en México. La afirmación que sigue a la barra vertical dentro de las llaves es la regla que especifica la pertenencia al conjunto. Como un segundo ejemplo, consideremos el conjunto. {x x es un punto de esta página} el cual denota el conjunto de todos los puntos de esta página. Éste es un ejemplo de un conjunto que no puede especificarse mediante el método del listado, aun si deseáramos hacerlo así. Una gran cantidad de conjuntos puede especificarse por el listado o estableciendo una regla, y podemos elegir el método que más nos agrade. Daremos varios ejemplos de conjuntos, algunos de los cuales pueden especificarse usando ambos métodos. 94 CAPÍTULO DESIGUALDADES

105 EJEMPLO (a) Si N denota el conjunto de todos los números naturales, entonces podemos escribir N {,,,...} {k k es un número natural} (b) Si P denota el conjunto de los enteros de a, entonces P {,, 0,,, } {x x es un entero x } Observe que la regla de pertenencia consta de dos condiciones separadas por una coma. Cualquier elemento del conjunto debe satisfacer ambas condiciones. (c) Q {, 4, 7,..., 7} {x x k, k es un entero, 0 k } (d) El conjunto de todos los estudiantes actualmente inscritos en la Facultad de Contaduría y Administración puede escribirse formalmente como S {x x es un estudiante inscrito actualmente en la Facultad de Contaduría y Administración}. Liste los elementos que pertenecen a los conjuntos: (a) {x x es un número natural, x 5} (b) {x x (k 4), k es un entero, k } Respuesta (a) {,,, 4} (b) {,, 4, 5, 6 } Este conjunto podría especificarse también listando los nombres de todos los estudiantes involucrados. (e) El conjunto de todos los números reales mayores que y menores que puede especificarse mediante el método de la regla como T {x x es un número real, x } Se dice que un conjunto es finito si su número de elementos es finito; es decir, si pueden contarse. Si el número de elementos de un conjunto no es finito, se dice que es un conjunto infinito. En el ejemplo, todos los conjuntos de las partes (b), (c) y (d) son finitos, pero los correspondientes a las partes (a) y (e) son infinitos. Se acostumbra usar letras mayúsculas para denotar los conjuntos y letras minúsculas para sus elementos. Observe que seguimos esta convención en el ejemplo. Si A es un conjunto arbitrario y x cualquier objeto, la notación x A se utiliza para indicar el hecho de que x es un elemento de A. La afirmación x A se lee x pertenece a A o x es un elemento de A. La afirmación negativa x no es un elemento de A se indica escribiendo x A. En la parte (b) del ejemplo, P pero 6 P. En el caso del conjunto de la parte (e), T y T, pero T y T. DEFINICIÓN Un conjunto que no contiene elementos se denomina un conjunto vacío. También se utiliza el término conjunto nulo. Con el símbolo se denota un conjunto que es vacío y la proposición A significa que el conjunto A no contiene elementos. Entre los ejemplos de conjuntos vacíos están los siguientes: {x x es un entero y x } SECCIÓN - CONJUNTOS E INTERVALOS 95

106 . Las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas? (a) {x 0 < x } (b) {x x k, k es un número natural} (c) 0 {x x es un número real y x 0}. El conjunto de todos los dragones vivientes. El conjunto de todos los imanes que sólo tienen un polo. DEFINICIÓN Se dice que un conjunto A es un subconjunto de otro conjunto B si cada elemento de A también es un elemento de B. En tal caso, escribimos A B. Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B si todo elemento de A está en B pero existe al menos un elemento de B que no está en A. En este caso escribimos A B. Respuesta (b) Falsa (c) Falsa (a) Falsa EJEMPLO (a) Sea A {, 4, 6} y B {,,, 4, 5, 6, 7, 8}. Entonces A B. (b) Si N es el conjunto de todos los números naturales, I es el conjunto de todos los enteros, Q es el conjunto de todos los números racionales y R es el conjunto de todos los números reales, entonces N I Q R (c) El conjunto de todas las estudiantes de la Universidad Nacional Autónoma es un subconjunto del conjunto de todos los estudiantes de esa universidad. (d) Todo conjunto es un subconjunto de sí mismo; es decir, 4. Liste todos los subconjuntos de {,, } A A para cualquier conjunto A Sin embargo, la afirmación A A no es verdadera. (e) Un conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto A: para cualquier conjunto A Respuesta {,, }, {, }, {, }, {, }, {}, {}, {}, Con el propósito de explicar esta última afirmación con más detalle, reformulemos la definición de subconjunto: B es un subconjunto de A si y sólo si no hay elementos en B que no pertenezcan a A. Es claro que no existen elementos que pertenezcan a y no pertenezcan a A por la simple razón de que no tiene elementos. En consecuencia, A. 4 Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. En forma más precisa, tenemos la siguiente definición. DEFINICIÓN Se dice que dos conjuntos, A y B, son iguales si A B y B A. En tal caso, escribimos A B. 96 CAPÍTULO DESIGUALDADES

107 5. Las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas? (a) {x x } {x x 4} (b) {0,,, 4} {x x 4} (c) {0, } {x x x} En consecuencia A B si no existen objetos que pertenezcan a A y que no pertenezcan a B, o que pertenezcan a B y no pertenezcan a A. EJEMPLO (a) Si A {x x } y B {, }, entonces A B. (b) Si A {y y y 0} y B {, }, entonces A B. 5 Intervalos DEFINICIÓN Sean a y b dos números reales tales que a b. Entonces el intervalo abierto de a a b, denotado por (a, b), es el conjunto de todos los números reales x situados entre a y b. Así, (a, b) {x x es un número real y a x b} Respuesta (a) Verdadera (b) Verdadera (c) Verdadera De manera similar, el intervalo cerrado de a a b, denotado por [a, b] es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b pero que también incluye a éstos. Por tanto, [a, b] {x x es un número real y a x b} Los intervalos semicerrados, o semiabiertos, se definen de la siguiente manera: 6. Las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas? (a) [, ) (b) (, ] (c) (4, q) (a, b] {x a x b} [a, b) {x a x b} Observación La afirmación de que x es un número real se ha omitido de las reglas que definen estos conjuntos. Esto por lo regular se hace para evitar repeticiones cuando se trabaja con conjuntos de números reales. 6 Para todos estos intervalos, (a, b), [a, b], [a, b) y (a, b], a y b se denominan los extremos del intervalo. Un intervalo abierto no contiene a sus extremos, mientras que un intervalo cerrado contiene a ambos extremos. Un intervalo semicerrado contiene sólo uno de sus extremos. Los métodos de representar tales intervalos se muestran en la figura. Respuesta (a) Falsa (b) Verdadera (c) Verdadera FIGURA SECCIÓN - CONJUNTOS E INTERVALOS 97

108 Para describir intervalos no acotados usamos los símbolos q (infinito) y q (menos infinito). (Revise la figura ). Observe que q y q no son números reales. (a) (a, q) {x x a} (b) (a, q) {x x a} (c) (q, a) {x x a} (d) (q, a) {x x a} FIGURA EJERCICIOS - (-8) Utilice del método de listado para describir los siguientes conjuntos.. El conjunto de todos los enteros menores que 5 y mayores que.. El conjunto de todos los naturales menores que 50.. El conjunto de todos los enteros menores que El conjunto de todos los números pares mayores que El conjunto de todos los primos menores que y y, h es un número natural h 7. {x x es un factor primo de 6} 8. p p n, n es un número primo menor que 0 (9-6) Utilice el método de la regla para describir los siguientes conjuntos. 9. El conjunto de todos los números pares menores que El conjunto de todos los números primos menores que 0.. {,, 5, 7, 9,..., 9}. {..., 4,, 0,, 4, 6,...}. {, 6, 9,...} 4. {,,,,...} 4 5. El intervalo [, ]. 6. El intervalo (, q). (7-0) Escriba los siguientes conjuntos de números en forma de intervalos. 7. x 8 8. y 7 9. t 7 0. t 5 (-4) Escriba los siguientes intervalos como desigualdades.. [, 5). (, 7). (q, ) 4. (, q) 5. Establezca si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si son falsas, explique por qué. a. {,, } b. {,,, 4} c. 4 {,, 5, 7} d. {a, b} {a, b, c} e. 0 f. {0} g. 0 h. {0} i. {0} j. {,,, 4} {4,,, } k. x (x x ) 0 {x x 0} l. Si A B y B C, entonces A C 98 CAPÍTULO DESIGUALDADES

109 m. Si A B y B A, entonces A B. n. El conjunto de todos los rectángulos del plano es un subconjunto del conjunto de todos los cuadrados del plano. o. El conjunto de todos los triángulos equiláteros es un subconjunto del conjunto de todos los triángulos. p. El intervalo abierto (a, b) es un subconjunto del intervalo cerrado [a, b]. q. {x x } {y y 5} r. {x x } {y y } 6. Si A es el conjunto de todos los cuadrados del plano, B el conjunto de todos los rectángulos del plano y C es el conjunto de todos los cuadriláteros del plano, entonces, cuál de estos conjuntos es un subconjunto de otro (o de qué otros)? 7. Demuestre que el conjunto {x x x 0} no es un subconjunto del intervalo [0, q). 8. El conjunto {x x (x ) 0} es un subconjunto del intervalo (0, q)? 9. El conjunto {x x x 6 0} es un subconjunto de los números naturales? 0. El conjunto {x x x 0} es un subconjunto de los enteros? De los números racionales? - DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE En esta sección, consideraremos desigualdades que requieren una sola variable. El ejemplo siguiente se refiere a un sencillo problema de negocios que conduce a una de tales desigualdades. El costo total (en dólares) de producción de x unidades de cierto artículo está dado por C 00 5x y cada unidad se vende a $7. El fabricante quiere saber cuántas unidades deberá producir y vender para obtener una utilidad de al menos $000. Supongamos que se producen y venden x unidades. El ingreso I obtenido por vender x unidades en $7 cada una es I 7x dólares. La utilidad U (en dólares) obtenida por producir y vender x unidades está dada entonces por las siguientes ecuaciones: Utilidad Ingresos Costos U 7x (00 5x) x 00 Dado que la utilidad requerida debe ser al menos de $000, es decir, debería ser de $000 o más, debemos hacer que o bien P 000 x () Ésta es una desigualdad en la variable x. Observemos que los términos que aparecen son de dos tipos: términos constantes o términos que son múltiplos constantes de la variable x. Cualquier desigualdad que sólo tiene estos dos tipos de términos se denomina desigualdad lineal. Si el símbolo de desigualdades es o la desigualdad es estricta; si el símbolo es o, se dice que es débil. SECCIÓN - DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 99

110 EJEMPLO (a) x x 4 es una desigualdad lineal débil en la variable x. (b) 4 z 5 z es una desigualdad lineal estricta en la variable z. Cualquier desigualdad puede escribirse en una forma equivalente, intercambiando los dos lados e invirtiendo el sentido del signo de la desigualdad. Por ejemplo, x es equivalente a x; el ejemplo (a) es equivalente a x 4 x. DEFINICIÓN La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera. Por ejemplo, la solución de la desigualdad () es el conjunto de todos los valores x (el número de unidades vendidas) que producen una utilidad de al menos $000. A semejanza de las ecuaciones, la solución de una desigualdad se encuentra efectuando ciertas operaciones sobre la desigualdad, con el propósito de transformarla en alguna forma estándar. Hay dos operaciones básicas que se utilizan en el manejo de las desigualdades; ahora estableceremos las reglas que gobiernan estas operaciones. Regla Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera. 7. Sume 5 a ambos miembros de las siguientes desigualdades: (a) x 5 5 (b) x 5 En símbolos, si a b y c es cualquier número real, entonces EJEMPLO a c b c y a c b c (a) Es claro que 8 5 es una proposición verdadera. Si sumamos 4 a ambos lados, obtenemos o 9, que sigue siendo cierta. Si restamos 7 a ambos lados obtenemos o, que de nuevo es válida. o bien (b) Sea x. Sumando a ambos lados, obtenemos x x 4 El conjunto de valores de x para los cuales x es el mismo conjunto para el cual x 4. 7 Respuesta (a) x 0 (b) x 0 En el ejemplo observamos que la igualdad x 4 puede obtenerse de la desigualdad original x, pasando el término del lado izquierdo al derecho y cambiando su signo. En general, la regla anterior nos permite efectuar este tipo de operación: cualquier término puede pasarse de un lado al otro de una desigualdad 00 CAPÍTULO DESIGUALDADES

111 después de cambiar su signo sin alterar el sentido de la desigualdad. En símbolos, si a b c, entonces a b c y a c b. EJEMPLO (a) Si 8 5, entonces 8 5. (b) De x x 4 se sigue que x x 4. Tanto x como se pasaron de un lado a otro. Entonces, al simplificar obtenemos x 5. Regla El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo. En símbolos, si a b y c es cualquier número positivo, entonces ac bc y a c b c mientras que si c es un número negativo arbitrario, entonces ac bc y a c b c EJEMPLO 4 (a) Sabemos que 4 es una proposición verdadera. Multiplicando ambos lados por, obtenemos 8 que aún es válida. Pero si la multiplicamos por (), debemos invertir el sentido de la desigualdad. Obtenemos ()(4) ()() o bien 8 8. Multiplique ambos miembros de las siguientes desigualdades por : (a) x (b) x x que otra vez es válida. (b) Si x 4, entonces podemos dividir ambos lados entre y obtener la desigualdad equivalente x/ 4/ o x. (c) Si x, podemos dividir entre, que es negativo, de modo que debemos invertir el sentido de la desigualdad: x o bien x 4 8 Antes de considerar más ejemplos, deduciremos estas dos reglas básicas. Respuesta (a) 4x 6 (b) x 6 x DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA Supongamos que a b, y sea c cualquier número real. Si a b, entonces por definición a b 0. Consideremos ahora la diferencia entre (a c) y (b c): (a c) (b c) a c b c a b 0 SECCIÓN - DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 0

112 Pero, dado que (a c) (b c) es positivo, esto significa que que es lo que deseamos encontrar. a c b c DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA De nuevo, supongamos que a b, y sea c cualquier número real positivo. Entonces, como antes, a b 0. Así a b y c son números positivos, de modo que su producto también es positivo: Es decir, (a b) c 0 ac bc 0 Se sigue, por tanto, que ac bc, como se requería. Si, por otro lado, c fuera negativo, el producto (a b)c sería negativo, puesto que un factor sería positivo y el otro negativo. Se sigue que y de aquí, ac bc, como se requería. ac bc 0 EJEMPLO 5 Encuentre todos los números reales que satisfacen la desigualdad x 7 5x Solución Pasamos todos los términos en x a un lado de la desigualdad y todos los términos constantes al otro. Al pasar 5x al lado izquierdo y 7 al lado derecho, cambiando sus signos y simplificando obtenemos las siguientes desigualdades: x 5x 7 (Regla ) x 8 Enseguida, dividimos ambos lados entre y cambiamos el sentido de la desigualdad (puesto que es negativo). x 8 (Regla ) x 4 Por tanto, la solución consta del conjunto de números reales en el intervalo (q, 4). Esto se ilustra en la figura 4. FIGURA 4 EJEMPLO 6 Resuelva la desigualdad y 4 5y 0 CAPÍTULO DESIGUALDADES

113 Solución Antes que nada, debemos eliminar las fracciones de la desigualdad. Aquí, el denominador común es, de modo que multiplicamos ambos lados por. y 4 5y y 9 4(5y ) y 9 0y 8 y 9 0y 4 Pasando los términos en y a la izquierda y los términos constantes a la derecha, obtenemos y 0y 4 9 8y 5 Enseguida, dividimos ambos lados entre 8 e invertimos el sentido de la desigualdad (porque 8 es negativo). 9. Determine las soluciones en la notación de intervalos: (a) x x (b) x 4 4x Respuesta (a) (q, ) (b) (q, ] y 5 o bien y De aquí, la solución consta del conjunto de números reales mayores o iguales que 5 8, es decir, de los números reales incluidos en el intervalo [ 5 8, q). Este conjunto se ilustra en la figura 5. 9 FIGURA 5 EJEMPLO 7 Resuelva la doble desigualdad en x. 8 x x 7 x Solución De la sección -, recuerde que la doble desigualdad a b c significa que a b y al mismo tiempo b c. La doble desigualdad considerada es equivalente a las dos desigualdades siguientes: 8 x x 7 y x 7 x Resolvemos estas dos desigualdades por separado por los métodos antes descritos. Y tenemos x y x 6 0. Determine la solución y dibújela en la recta numérica: x x x 6 Respuesta x ( Ambas desigualdades deben ser satisfechas por x. Pero es imposible que tanto x como x 6 puedan satisfacer a la vez. Por lo que no hay solución; ningún número real satisface la doble desigualdad. 0 EJEMPLO 8 Determine la solución de la doble desigualdad 7 5 x SECCIÓN - DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 0

114 Solución En este caso, como x aparece sólo en la expresión de en medio, podemos manipular juntas las tres partes de la desigualdad. Primero restamos 5 de las tres partes: x 5 5 o x Ahora, dividimos todo entre, invirtiendo ambos signos de desigualdad: x La solución consiste en el intervalo semicerrado (, ]. EJEMPLO 9 (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de 60 dólares cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $000 a la semana. Solución Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total de producir x unidades es de $000 más $40 por artículo, lo cual es (40x 000) dólares El ingreso obtenido por vender x unidades a $60 cada una será de 60x dólares. Por tanto, Utilidad Ingresos Costos 60x (40x 000) 0x 000 Puesto que deseamos obtener una ganancia de al menos $000 al mes, tenemos las siguientes desigualdades:. Un rectángulo tiene perímetro de 4 unidades. Si la diferencia entre los dos lados es menor que 6 unidades, determine el intervalo de valores para la longitud del lado más largo. Respuesta [6, 9). Utilidad 000 0x x 4000 x 00 En consecuencia, el fabricante deberá producir y vender al menos 00 unidades cada semana. EJEMPLO 0 (Decisiones de fabricación) El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $.0 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de 60 por cada empaque. Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques? 04 CAPÍTULO DESIGUALDADES

115 Solución Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces, el costo de adquirir x empaques a $.0 cada uno es de.0x dólares. El costo de fabricar x empaques es de $0.60 por empaque más costos generales de $800 al mes, de modo que el costo total es (0.60x 800) dólares Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente: Costo de adquisición Costo de fabricación.0x 0.60x 800.0x 0.60x x 800 x 600 En consecuencia, la empresa debe usar al menos 60 empaques al mes para justificar el fabricarlos. EJERCICIOS - (-0) Resuelva las siguientes desigualdades.. 5 x. y 7. u 5u x 7 x 5. (x ) 4 5(x ) 6. x 4 x (x ) x x 6 8. (x 4) ( 5 4x) 9. y y y t. 0.5(t )..(t ).(t ). (.5x.).7 (.4x.5). 5 x x 4 5. (x ) (x ) 6. (x )(x ) (6x )(x ) 7. (x )(x ) (x )(x ) 8. (x )(x ) (x )(x 4) 9. x x x x x x 4. x 7 5 x 6x. x x x. x 5 x x 4. 5x 7 x 6x 5. (Inversión) Un hombre tiene $7000 para invertir. Quiere invertir una parte al 8% y el resto al 0%. Cuál es el monto máximo que debe invertir al 8% si desea un ingreso anual por interés de al menos $600 anuales? 6. (Inversión) La señora K tiene $5000 que quiere invertir, una parte a 6% y el resto a 8%. Si ella desea un ingreso anual por intereses de al menos $70, cuál es la cantidad mínima que debe invertir al 8%? 7. (Decisión de producción) Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $0 cada una. Tiene costos fijos de $,000 al mes; y además, le cuesta $ producir cada artículo. Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades? 8. (Utilidades del fabricante) Un fabricante de aparatos de alta fidelidad puede vender todas las unidades producidas al precio de $50 cada una. Tiene costos fijos a la semana de $5,000 y costos por unidad de $00 en materiales y SECCIÓN - DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE 05

116 mano de obra. Determine el número de aparatos de alta fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito de obtener utilidades semanales de al menos $ (Decisiones de fabricación) Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $.50 cada unidad. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $500 al mes, pero sólo le costará $.70 fabricar cada correa. Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas? 0. (Decisiones sobre contratación de maquiladores) Una empresa puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su producto a un costo de $.75. Por otra parte, la empresa puede empacar sus productos instalando una máquina empacadora. Su instalación incrementará los costos fijos de la empresa en $000 al mes y el costo de empaquetamiento sería de $.50 por unidad. Cuántas unidades tendría que producir al mes para que la instalación de la máquina empacadora fuera rentable?. (Publicación de revistas) El costo de publicación de cada ejemplar de la revista semanal Compre y venda es de 5. Los ingresos por ventas de distribución son de 0 por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 0% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 000 ejemplares. Cuántos ejemplares deberá publicar y vender cada semana para obtener ingresos semanales de al menos $000?. (Publicación de revistas) El editor de una revista mensual tiene costos de edición de 60.5 por ejemplar. El ingreso por ventas de distribución es de 70 por ejemplar, y los ingresos por publicidad del 5% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de los 0,000 ejemplares. Cuántos ejemplares deberá publicar y vender al mes para asegurar utilidades que sobrepasen los $4000? - DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE Una desigualdad cuadrática de una variable, tal como x, es una desigualdad que tiene términos proporcionales a x y a x y términos constantes. Las formas estándares de una desigualdad cuadrática son. Exprese en la forma estándar: (x )(x ) (x ) ax bx c 0 (o bien 0), o bien ax bx c 0 (o bien 0) en donde a, b y c son constantes determinadas (a 0). Otra vez estamos interesados en resolver una desigualdad dada, esto es, en determinar el conjunto de x para el cual la desigualdad se cumple. Podemos hacer esto reemplazando la desigualdad con un signo y buscando las soluciones de la ecuación cuadrática resultante. Estas soluciones dividen a la recta numérica en intervalos. En cada intervalo seleccionamos un punto y probamos si la desigualdad es cierta o falsa en ese punto. Si es verdadera en ese punto, entonces será verdadera en todos los puntos del intervalo, y recíprocamente, si es falsa en un punto en el intervalo, entonces será falsa en todos los puntos de ese intervalo. EJEMPLO Resuelva la desigualdad x x 4. Solución Primero reescribimos la desigualdad en la forma estándar restando 4 de ambos miembros: x x 4 0 Respuesta 7x 5x 7 0 Al reemplazar el signo por, obtenemos la ecuación cuadrática x x 4 0. Ésta puede resolverse por medio de factorización. Se convierte en (x )(x 4) 0, de modo que las raíces son x y x 4. Al graficar estos puntos en la recta numérica, obtenemos la figura 6. Los dos puntos dividen la recta numérica en tres 06 CAPÍTULO DESIGUALDADES

117 intervalos, x 4, 4 x y x. En cada uno de estos intervalos la expresión siempre conserva el mismo signo, ya que sólo cambia de signo cuando pasa por el cero, y esto sucede sólo cuando x = 4 o. FIGURA 6. Resuelva las desigualdades: (a) (x )(x ) 0 (b) (x )(x 4) 0 (c) (x ) 0 Tomemos cualquier punto en el primer intervalo x 4: seleccionamos x 5. Entonces x x 4 (5) (5) La desigualdad es falsa, de modo que es falsa para todos los puntos en el intervalo x 4. En 4 x seleccionamos el punto x 0. Entonces x x 4 (0) (0) La desigualdad es verdadera, por lo que es cierta para todas las x que satisfagan 4 x. En x seleccionamos x. Entonces x x 4 () () La desigualdad es falsa, de modo que es falsa para toda x. Por tanto el conjunto solución es el intervalo (4, ). Esto se ilustra en la figura 7. FIGURA 7 EJEMPLO Resuelva la desigualdad 5x (x 6). Solución Pasando todos los términos a la izquierda, la desigualdad dada se transforma en 5x x 0 Siempre conviene tener el término cuadrático con signo positivo, porque entonces, la factorización es más fácil. Así, multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por y cambiamos el sentido de la desigualdad. Respuesta (a) x (b) x 4 o x (c) No hay solución 5x x 0 x 5x 0 Al reemplazar el signo por el signo obtenemos la ecuación cuadrática x 5x 0, y por medio de la factorización obtenemos (x )(x 4) 0 Las raíces son x y x 4, que dividen la recta numérica en los tres intervalos (q, ), (, 4) y (4, q) como muestra la figura 8. Seleccionar cualquier SECCIÓN - DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE 07

118 / 0 4 FIGURA 8 punto en cada intervalo y probar la desigualdad. En (q, ) elegimos x, en (, 4) seleccionamos x 0; y en (4, q) escogemos x 5. Es conveniente colocar los cálculos como muestra la tabla. Por tanto, la desigualdad dada es verdadera en los intervalos (q, ) y (4, q) y es falsa en el intervalo (, 4). TABLA Intervalo (q, ) (,4) (4, q) Puntos de prueba 0 5 x 5x () 5() 6 0 (0) 5(0) 0 (5) 5(5) 0 Signo Positivo Negativo Positivo En este caso tenemos una desigualdad no estricta, de modo que también se satisface en donde la expresión cuadrática sea cero, es decir en x y x 4. Esta vez, los puntos extremos del intervalo se incluyen en el conjunto solución. La solución consiste en los dos intervalos semiinfinitos (q, ] y [4, q). Este conjunto solución se ilustra en la siguiente figura. / 0 4 FIGURA 9 Resumen del método de solución de las desigualdades cuadráticas:. Escribir la desigualdad en la forma estándar.. Reemplazar el signo de desigualdad por un signo y resolver la ecuación cuadrática resultante. Las raíces dividen la recta numérica en intervalos.. En cada intervalo elegir un punto y probar la desigualdad dada en ese punto. Si es verdadera (falsa) en ese punto, entonces es verdadera (falsa) en todos los puntos de ese intervalo. 4. Para una desigualdad estricta, en el conjunto solución no se incluyen los puntos extremos de los intervalos. Para una desigualdad no estricta, sí se incluyen esos puntos extremos. Algunas veces no podremos factorizar la expresión cuadrática y podría ser necesario utilizar la fórmula cuadrática para determinar los puntos de división de los intervalos. EJEMPLO Resuelva la desigualdad x 6x 6 0. Solución La desigualdad ya está en forma estándar. La ecuación cuadrática correspondiente es x 6x 6 0, que no tiene raíces racionales. Con base en la fórmu- 08 CAPÍTULO DESIGUALDADES

119 la cuadrática, tenemos las raíces b b x 4ac (6) (6) 4()(6) (6 ) a Son aproximadamente.7 y 4.7 y, como es usual, dividen la recta de los números reales en tres intervalos. Seleccionamos un punto de prueba en cada uno. (Revise la tabla para los detalles). La conclusión es que la desigualdad es falsa en (q, ) y (, q) y es verdadera en (, ). TABLA Intervalo (q, ) (, ) (, q) Punto de prueba 0 5 f (x) x 6x Signo Positivo Negativo Positivo 4. Resuelva las desigualdades: (a) x x 0 (b) x x 0 (c) x x 0 Como tenemos una desigualdad no estricta incluimos los puntos extremos, de modo que el conjunto solución es el intervalo cerrado [, ], o aproximadamente [.7, 4.7]. Esto se ilustra en la figura 0. 4 FIGURA 0 EJEMPLO 4 Resuelva la desigualdad x x. Solución En la forma estándar tenemos x x 0. La ecuación cuadrática correspondiente es x x 0, y de la fórmula cuadrática, las raíces son () () x 4()() ( 4) De modo que, en este caso no existen raíces reales. Esto significa que la expresión x x es positiva para toda x o bien negativa para toda x, ya que si cambiase de signo tendría que ser cero en algún punto. Entonces todo lo que tenemos que hacer es seleccionar cualquier punto como punto de prueba. El más sencillo es x 0, y tenemos La desigualdad dada se satisface; por tanto se satisface para toda x. Respuesta (a) x (b) q x q (c) x EJEMPLO 5 (Producción y utilidades) Las ventas mensuales x de cierto artículo, cuando su precio es p dólares, están dadas por p 00 x. El costo de producir x unidades al mes del artículo es C (650 5x) dólares. Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 00 dólares? SECCIÓN - DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE 09

120 Solución El ingreso I (en dólares) obtenido por vender x unidades al precio de p dólares por unidad es I (Unidades vendidas) (Precio por unidad) xp x(00 x) 00x x El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es C (650 5x). La utilidad U (mensual) obtenida por producir y vender x unidades está dada por U I C (00x x ) (650 5x) 95x x 650 Dado que la utilidad U debe ser al menos de $00, tenemos que U 00. En consecuencia, 95x x Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre (observe que el signo de la desigualdad se invierte), obtenemos la desigualdad x 65x Las raíces deben determinarse por medio de la fórmula cuadrática: x b b 4ac a (65) (65) 4()(950) (65 45) 5. En el ejemplo 5, para qué intervalo de x la ganancia mensual excede a $500? Respuesta 0 x 5 o aproximadamente. y 4.8. En los tres intervalos x.,. x 4.8 y x 4.8 seleccionamos los tres puntos x 0, 40 y 00, respectivamente. Encontramos que x 65x cuando x 0 y 00, pero x 65x cuando x 40. Por lo tanto se sigue que x 65x para toda x en el intervalo. x 4.8. Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo cerrado [., 4.8]. 5 De modo que, para alcanzar la meta requerida, el número de unidades producidas y vendidas por mes debe estar entre. y 4.8, inclusive. EJEMPLO 6 (Decisión de precios) Un peluquero tiene un promedio de 0 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75 en el precio, el peluquero perderá 0 clientes. Cuál es el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales? Solución Sea x el número de incrementos de 75 por encima de $8. Entonces el precio por corte de cabello es (8 0.75x) dólares, y el número de clientes será de 0 CAPÍTULO DESIGUALDADES

121 (0 0x) por semana. Entonces, Ingresos totales semanales Número de clientes Precio por corte (0 0x) (8 0.75x) Los ingresos por los 0 clientes actuales son 0 $8 $960. Por tanto, los nuevos ingresos deben ser al menos $960: Simplificamos: (0 0x)(8 0.75x) x 7.5x 960 0x 0.75x 0 La ecuación correspondiente es 0x 7.5x 0, cuyas soluciones son x 0 y 4. En los tres intervalos x 0, 0 x 4 y x 4 seleccionamos los puntos de prueba, y, respectivamente. Encontramos que 0x 7.5x 0 cuando x o, pero 0x 7.5x 0 cuando x. Por tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo 0 x 4. Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $( ) $9.00. El precio máximo que puede cobrarse es $9.00. EJERCICIOS - (-) Resuelva las siguientes desigualdades.. (x )(x 5) 0. (x )(x ) 0. (x 5)(x ) 0 4. (x )(x ) 0 5. x 7x x x 4 7. x(x ) 8. x(x ) 9. y(y ) 6 0. y 4 y. (x )(x ) x. (x )(x ) 9 (x )(x 4). x x 6 5. x 0 6. x 0 7. x 6x x 4 4x 9. x x 0 0. x 9 6x. x 6x. x 7 4x. (x ) x x (x )(x ) (x )(x ) 6. ( x)(x ) ( x)(x ) 7. (Ingresos del fabricante) Al precio de p por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mer- cado, con p 600 5x. Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener ingresos por lo menos de $8,000? 8. (Ingresos del fabricante) Un fabricante puede vender x unidades de un producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p 00 x. Qué número de unidades deberá venderse a la semana para obtener ingresos mínimos por $9900? 9. (Decisiones de producción) En el ejercicio 7, si producir x unidades cuesta (800 75x) dólares, cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con objeto de obtener una utilidad de al menos $5500? 0. (Decisiones sobre fijación de precios) En el ejercicio 8, si producir x unidades cuesta (800 45x) dólares, a qué precio p deberá venderse cada unidad para generar una utilidad semanal de por lo menos $00?. (Utilidades) Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $5 cada una. El costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por C 000 0x 0.x. Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener alguna utilidad?. (Ingresos del editor) Un editor puede vender,000 ejemplares de un libro al precio de $5 cada uno. Por cada dó- SECCIÓN - DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE

122 lar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. Qué precio máximo deberá fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr ingresos por lo menos de $00,000?. (Agricultura) Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 00 yardas de cerca disponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 00 yardas cuadradas. 4. Un lado de un campo rectangular está limitado por un río. Un granjero tiene 00 yardas de cerca y quiere cubrir los otros tres lados del campo. Si quiere encerrar un área de al menos 800 yardas cuadradas, cuáles son los posibles valores para la longitud del campo a lo largo del río? 5. Una caja abierta se fabrica de una hoja rectangular metálica de 6 por 4 pies, cortando cuadrados iguales de cada esquina y doblando hacia arriba los lados. Si el área de la base de la caja es al menos de 80 pies cuadrados, cuál es la máxima altura posible de la caja? 6. Una hoja rectangular de cartón es de 6 por 0 pulgadas. Se cortan cuadrados iguales de cada esquina y los lados se doblan hacia arriba para formar una caja abierta. Cuál es la altura máxima de esta caja si la base tiene un área de al menos 7 pulgadas cuadradas? 7. (Conservación) En cierto estanque se crían peces. Si se introducen n de ellos allí, se sabe que la ganancia por peso promedio de cada pez es de (600 n) gramos. Determine las restricciones de n si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 8,800 gramos. 8. (Inversiones) Un accionista invierte $00 a un interés anual del R% y otros $00 al R% anual. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $4.80 después de años, qué restricciones deben establecerse sobre R? 9. (Política de fijación de precios) Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra, venderá x libras, con x 000 0p. Qué precio deberá fijar con el fin de obtener ingresos por lo menos de $0? 40. (Decisiones sobre fijación de precios) Un peluquero atiende en promedio a 0 clientes a la semana cobrándoles $4 por corte. Por cada incremento de 50 en el precio, el peluquero pierde 8 clientes. Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $50? -4 VALORES ABSOLUTOS Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por x, se define por 6. Evalúe (a) 5 (b) 4 (c) 4 x si x 0 x x si x 0 Por ejemplo, 5 5, () y De la definición, es claro que el valor absoluto de un número siempre es un número real no negativo; es decir, x 0 El valor absoluto de x es una medida del tamaño de x sin tener en cuenta que x sea negativo o positivo. EJEMPLO Resuelva para x. Respuesta (a) 5 (b) 5 (c) x 5 CAPÍTULO DESIGUALDADES

123 Solución De acuerdo con la definición de valor absoluto, la ecuación dada es satisfecha si x 5 o bien x 5 porque en cualquier caso el valor absoluto de x es 5. Si x 5, entonces x 5 8 y así, x 4. De manera similar, si x 5, entonces x. En consecuencia, hay dos valores de x, x 4 y x, que satisfacen la ecuación dada. EJEMPLO Resuelva para x. x x 7 7. Resuelva para x: (a) x (b) x x (c) x ( x) Solución La ecuación se satisface si x x 7 o bien x (x 7) Resolviendo estas dos ecuaciones por separado, obtenemos x 9 y x. 7 De los ejemplos y, es claro que tenemos las siguientes reglas generales para resolver ecuaciones en que aparecen valores absolutos. Si a b, donde b 0, entonces a b o bien a b Si a b, entonces a b o bien a b Observación El símbolo a denota la raíz cuadrada no negativa del número real a (a 0). Por ejemplo, 9. La raíz cuadrada negativa de 9 se denota mediante 9. Usando el símbolo de radical, podemos dar la siguiente definición alternativa de valor absoluto. x x Por ejemplo, 9, (5) y (x ) x. Podemos interpretar x geométricamente. (Revise la figura ). Los números y 8 sobre la recta numérica están separados 5 unidades. También y En consecuencia, 8 8 da la distancia entre los puntos y 8 de la recta numérica. En general, podemos interpretar x c c x como la distancia entre los puntos x y c situados sobre la recta numérica, sin prestar atención a la dirección. Por ejemplo, la ecuación x Respuesta (a) o (b) 4 o (c) 4 (si x, el lado derecho es negativo) FIGURA SECCIÓN -4 VALORES ABSOLUTOS

124 5 establece que la distancia entre x y sobre la recta numérica es 5 unidades, sin importar la dirección. Por tanto, x puede ser 5 7 o 5, como se aprecia en la figura. FIGURA Dado que x x 0, x representa la distancia del punto x sobre el eje real al origen O, sin importar la dirección. (Figura ). También, dado que la distancia entre O y x es igual a la distancia entre O y x, se sigue que x x Por ejemplo, FIGURA En el ejemplo varios enunciados se reexpresan en términos de valores absolutos. 8. Exprese lo siguiente, utilizando valores absolutos: (a) x está a lo más a 4 unidades del. (b) 5 x está 4 unidades alejado de x. Respuesta (a) x 4 (b) 5 x 4 EJEMPLO (a) x está a una distancia de unidades del 5: x 5 (b) x está a menos de 7 unidades del 4: x 4 7 (c) x está al menos a 7 unidades del : x () 7 o x 7 (d) x se encuentra estrictamente dentro de un radio de unidades del 7: x 7 (e) x está dentro de c unidades de a: x a c 8 Consideremos ahora algunas desigualdades que incluyen valores absolutos. La desigualdad x 5 implica que la distancia entre x y el origen es menor que 5 unidades. Dado que x puede estar a la derecha o a la izquierda del origen, x está entre 5 y 5 o 5 x 5. (Revise la figura ). De manera similar, x 5 implica que x está a más de 5 unidades del origen (a la derecha o a la izquierda); es decir, x 5 o x 5. (Figura 4). Este resultado se generaliza en el siguiente teorema: 4 CAPÍTULO DESIGUALDADES

125 FIGURA 4 FIGURA 5 TEOREMA Si a 0, entonces x a si y sólo si a x a () x a si y sólo si x a o bien x a () Las figuras 5 y 6 se refieren al teorema. FIGURA 6 FIGURA 7 EJEMPLO 4 Resuelva x 5 para x y exprese el resultado en términos de intervalos. Solución Usando la proposición () del teorema, la desigualdad dada implica que 5 x 5 Sumando a cada lado de la doble desigualdad y simplificando, obtenemos Enseguida dividimos todo entre. 5 x 5 x 8 x 4 En consecuencia, la solución consta de todos los números reales x situados en el intervalo abierto (, 4). (Revise la figura 8). FIGURA 8 EJEMPLO 5 Resuelva x 7 para x y exprese el resultado en notación de intervalos. SECCIÓN -4 VALORES ABSOLUTOS 5

126 Solución Utilizando la proposición () del teorema, la desigualdad dada implica que x 7 o bien x 7 Considerando la primera desigualdad, tenemos que x 7 Restando a ambos lados y dividiendo entre (y cambiando el sentido de la desigualdad) obtenemos x 5 De manera similar, resolviendo la segunda desigualdad, Así, x 7 es equivalente a x x 5 o bien x Por tanto, la solución consta de todos los números reales que no están en el intervalo cerrado [ 5, ]. (Figura 9). FIGURA 9 EJEMPLO 6 Resuelva x 5 0 para x. Solución La desigualdad dada se puede reescribir como 9. Resuelva las desigualdades: (a) x 4 (b) 7 4x (c) x x 0 x 5 Pero x nunca puede ser negativo, de modo que no existen valores de x para los cuales sea verdadera la desigualdad dada. Así, no existe solución. 9 EJEMPLO 7 Resuelva la desigualdad x 5 x. Solución Si (x ) 0, allí claramente no habría solución, ya que el valor absoluto del lado izquierdo no puede ser menor que un número negativo. Así, el conjunto solución está restringido de inmediato a x. Si x 0, podemos utilizar el teorema para expresar la desigualdad dada en la forma (x ) x 5 (x ) Respuesta (a) x 5 (b) x o x 5 (c) No hay solución La mitad izquierda de esta desigualdad doble, (x ) x 5, conduce a x. La mitad derecha, x 5 x, lleva a x. Deben satisfacerse las tres condiciones, x, x y x. Así, el conjunto solución es x o el intervalo cerrado [, ]. Concluimos esta sección estableciendo dos propiedades básicas del valor absoluto: si a y b son dos números reales, entonces 6 CAPÍTULO DESIGUALDADES

127 ab a b () a b a (b 0) (4) b EJEMPLO 8 (a) ()(5) 5 ()(5) 5 x x x x (b) (x ) (c) x 7 x 7 x 7 Las ecuaciones () y (4) se deducen con facilidad del hecho que para cualquier número real x, x x. Por ejemplo, la ecuación () se deduce como sigue: ab (ab) a b a b (usando una propiedad de los radicales) a b EJERCICIOS -4 (-4) Evalúe (5-8) Resuelva las siguientes ecuaciones para x. 5. 7x 4 6. x x x 8. x 7 9. x 4 x 0. x 5 x. x x 5. x x 4. x x x 0 x x 5 x 5x x x x (9-6) Resuelva las siguientes desigualdades y exprese si es posible la solución en forma de intervalos. 9. x x 6. 5x. 4x. 5 x x 5. 7 x x x x 0 8. x x x 5x x 5 0. x 7x 0 *. x x 4 *4. x x *5. x x *6. x x SECCIÓN -4 VALORES ABSOLUTOS 7

128 (7-8) Exprese las siguientes afirmaciones en términos de la notación de intervalos. 7. a. x está a menos de 5 unidades de. b. y está a lo más a 4 unidades de 7. c. t está a una distancia de unidades de 5. d. z está estrictamente a menos de (sigma) unidades de (mu). e. x difiere de 4 en más de unidades. f. x difiere de por más de unidades. 8. a. x está al menos a 4 unidades de 5. b. y está a lo más a 7 unidades de. c. x está a menos de unidades de 9. d. x es menor que 4 y mayor que 4. e. x es mayor que o menor que. f. x excede a en más de unidades. g. y es menor que 7 por más de unidades. h. x difiere de y por más de 5 unidades. 9. (Acciones) De acuerdo con una predicción de una revista financiera, el precio p de las acciones de la Bell Co., no cambiará su precio actual, $, por más de $5. Utilice la notación de valor absoluto para expresar esta predicción como una desigualdad. 40. (Mercado de viviendas) De acuerdo con una encuesta de bienes raíces, el precio (en dólares) de una casa promedio en Vancouver el próximo año estará dado por x 0,000 0,000 Determine el precio más alto y el más bajo de la casa para el año próximo. REPASO DEL CAPÍTULO Términos, símbolos y conceptos importantes. Los símbolos de desigualdad,,,. Desigualdad estricta. Desigualdad doble. Conjunto, miembro o elemento de un conjunto. Conjunto finito, conjunto infinito. Conjunto vacío. Método de enumeración, enumeración parcial. Método por comprensión o método de la regla; la notación {x x satisface la regla}. Subconjunto, subconjunto propio. Igualdad de dos conjuntos. Intervalos, puntos extremos. Intervalos cerrados, abiertos y semiabiertos. Intervalos infinitos y semiinfinitos. Notaciones equivalentes, tales como: {x a x b}, (a, b], o bien sobre la recta numérica,. Desigualdad lineal, conjunto solución de una desigualdad. Las reglas de suma y multiplicación para la manipulación de desigualdades. Procedimiento para la resolución de una desigualdad lineal o una desigualdad lineal doble.. Desigualdad cuadrática. Procedimiento paso a paso para la resolución de una desigualdad cuadrática..4 Valor absoluto de un número real y su interpretación geométrica. Fórmulas Si a b y b 0, entonces a b o a b. Si a b, entonces a b o a b. Si a b y b 0, entonces b a b. Si a b, entonces a b o bien a b. a a ; ab a b ; a b a, (b 0). b 8 CAPÍTULO DESIGUALDADES

129 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO. Establezca la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. Reemplace cada proposición falsa por una proposición correspondiente que sea verdadera. a. Una desigualdad lineal en una variable tiene un número infinito de soluciones. b. Cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante diferente de cero, se preserva el sentido de la desigualdad. c. Una desigualdad cuadrática tiene dos soluciones, una solución o no tiene soluciones. d. Si un número negativo se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad debe alterarse. e. Si x a, entonces x a o x a, para todos los valores de la constante a. f. x y implica que x y o que x y. g. La ecuación x x 0 no tiene solución. h. x y = x + y si y sólo si x y y tienen el mismo signo. i. Si x es cualquier número real, entonces x x y x x. j. x y implica que x y. k. Si x y entonces x y. l. x y si y sólo si x y. (-9) Resuelva las siguientes desigualdades.. ( x) 5 x (x ). 4x x ( x) 4. (x )(x ) ( x) 5. x (x ) (x )(x ) x 5 x x 6. 4 x x x (x 4 ) 9(x ) 9. (x ) 4(x ) 0. (x )(x ) (x )(x ). (x 5)(x 7) (x 9)(x ). x 7x 6 0. x x x (x ) 5. x 7x 6. (x ) 0x 7. 9x 5 x 8. x x 9. 5 x x 0. x 9 4x. x 6x. (x )(x ) (x )(x ). (x )(x ) (x )(x ) *4. x x 7x *5. x x 5x 6. x 5 x x 7 7. x x x 8. x( x) 9 9. (x )(x 5) 0. 4x EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 9

130 x 7.. x 7. 4x 7 4. x x x x x 7 x 0 9. x 5 x 0 (40-45) Resuelva las siguientes ecuaciones: 40. x x x 4. x x 0 4. x 4 x 0 *44. x 5x 4 *45. x x 46. (Producción y utilidades) Un fabricante puede vender todo lo que produce al precio de $5 por unidad. Los costos de materiales y mano de obra por unidad son de $8 y, además, existen costos fijos de $4000 por semana. Cuántas unidades deberá producir si desea obtener utilidades semanales de al menos $000? 47. (Utilidades del editor) La producción y venta de cada ejemplar de un periódico tiene un costo de 5. El editor recibe 0 por ejemplar por concepto de ventas y, si además, recibe ingresos por publicidad equivalentes al 0% de los ingresos sobre ventas más allá de las 0,000 copias. Cuántos ejemplares deberá vender el editor si: a. Al menos no desea tener pérdidas? b. Desea por lo menos una ganancia de $000 por edición del periódico? 48. (Determinación del precio de alquiler de apartamentos) El propietario de un edificio de apartamentos puede alquilar las 50 habitaciones si el alquiler es de $50 al mes por habitación. Por cada incremento de $5 en la mensualidad del alquiler, un apartamento quedará vacante sin posibilidad alguna de alquilarse. Qué alquiler máximo deberá fijarse para obtener un ingreso mensual de al menos $8000? 49. (Política de fijación de precios) Un distribuidor de licores compra whisky a $ la botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x (en cientos de miles de botellas a la semana) está dado por x 4 p cuando el precio es p. Qué valor de p arroja un ingreso total de $7 millones por semana? Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana? 50. (Recaudación fiscal proveniente de los impuestos a las ventas) Cierto artículo de lujo se vende a $000; a través de todo un estado, la cantidad de ventas es de 0,000 artículos al año. El gobierno del estado está considerando imponer un impuesto a las ventas de tales artículos. Si el nivel del impuesto se fija en un R%, las ventas caerán en 500R artículos al año. Qué valor de R dará un ingreso total al gobierno de $.68 millones al año por concepto de este impuesto? Qué valores de R darán al gobierno un ingreso de al menos $.9 millones al año? 5. (Decisiones sobre inversiones) La señora Ruiz quiere invertir $60,000. Ella puede escoger los bonos emitidos por el gobierno que ofrecen un interés del 8% o con un mayor riesgo, los bonos hipotecarios con un 0% de interés. Qué cantidad mínima deberá invertir en bonos hipotecarios de modo que reciba un ingreso anual de al menos $5500? 5. (Alquiler de automóviles) Una empresa alquila automóviles a sus clientes de acuerdo con dos planes. En el primero puede alquilar un auto en $60 a la semana con kilometraje ilimitado, mientras que en el segundo plan renta el mismo vehículo por $00 a la semana más 5 por cada kilómetro recorrido. Encuentre los valores de kilometraje semanal para los cuales es más barato alquilar un automóvil con el segundo plan. 5. Si x unidades pueden venderse diariamente al precio de $p cada una, donde p 60 x, cuántas unidades deben venderse para obtener un ingreso diario de al menos $800? 54. Si x unidades pueden venderse al precio de $p cada una, en donde p x 00, qué precio por unidad debe fijarse con el propósito de obtener un ingreso de al menos $600? 0 CAPÍTULO DESIGUALDADES

131 55. En el ejercicio 5, tiene un costo de (60 x) dólares producir x unidades. Cuántas unidades deben producirse y venderse diariamente para obtener una utilidad de al menos $00? 56. En el ejercicio 54, el producir x unidades tiene un costo de (800 7x) dólares. Cuántas unidades deben producirse y venderse con el fin de obtener una utilidad de al menos $640? 57. (Fijación de precios y utilidades) En el ejercicio 5, tiene un costo de (60 8x) dólares producir x unidades. Qué precio p (en dólares) por unidad debe fijarse para obtener una utilidad de al menos 400 dólares? 58. (Fijación de precios y utilidades) En el ejercicio 54, si cuesta (750 0x) dólares producir x unidades, qué precio (en dólares) debe fijarse por unidad a fin de obtener una ganancia de al menos $450? EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO

132 CASO DE ESTUDIO COMPRAR O RENTAR? Retomemos el problema que aparece al inicio del capítulo, en el que tenemos que determinar el precio por kilómetro que la empresa estaría dispuesta a pagar para adoptar el plan B (renta de un automóvil), en lugar del plan A (compra de un automóvil). Denotemos con p al precio por kilómetro recorrido. Entonces cada mes el costo de rentar el automóvil sería de: p Puesto que son 4 meses, el costo total de rentar el automóvil sería (Costo del seguro) (Costo de renta y uso del automóvil durante 4 meses) es decir, ( p) El costo en el plan A era: (Pago inicial) + (4 mensualidades de $4700 cada una) (Valor de rescate) por lo que el costo del plan A sería de: 60,600 (4 4700) 70,000 $0,400 Lo que necesitamos es determinar el precio p para el cual el costo del plan B sea menor o igual al costo con el plan A, es decir, ( p) 0,400 Con los métodos estudiados en este capítulo es fácil determinar que la solución es p Quiere decir que un precio de $0.55 por kilómetro hace que los dos planes tengan el mismo costo, pero con un precio por kilómetro inferior a $0.55, el plan B es superior al plan A. Responda a las siguientes preguntas, tome como base el planteamiento original y sólo cambie lo que se indica en cada caso: i) Cuál es el número de kilómetros promedio mensuales que debe viajar a lo más el representante de ventas para que sea mejor el plan B que el plan A? ii) Si el pago mensual para la compra del automóvil se reduce a $4500 mensuales cada mes, a lo más cuántos kilómetros debe recorrer el representante de ventas para que sea mejor el plan B que el plan A? ANEXO CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA DESIGUALDAD CUADRÁTICA Otro método para encontrar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática es el de la tabla de variaciones. Si queremos encontrar el conjunto solución de: (x a) (x b) 0 a 0 y b 0. Se dibuja un cuadrado 4 4, es decir de cuatro columnas y cuatro filas, de la siguiente manera: CAPÍTULO DESIGUALDADES

133 . En la primera y segunda filas de la primera columna se colocan los factores de la desigualdad; en la tercera fila se escribe la multiplicación de los factores, así: x a x a. Los números que hacen cero a los factores (a y b) se colocan sobre la línea que divide la segunda y la tercera columnas, y la tercera columna con la cuarta columna. La línea superior de la cuadrícula hará las veces de recta numérica; los números positivos están colocados del lado derecho y los números negativos del lado izquierdo. x a x b a b como a 0 y b 0 a 0 y a b 4. De acuerdo con el factor se coloca cero, en este caso no incluido ya que la desigualdad es mayor que. Si hubiera sido mayor o igual que, se rellena el cero. Anotamos el número 0 en el cruce de la línea y la fila que corresponden al coeficiente que hace 0 al factor correspondiente. Como es una desigualdad mayor que el 0 hará las veces de punto, por lo que dejamos el 0 sin rellenar. Lo mismo para una desigualdad menor que. El cero se rellena si la desigualdad incluye el igual. x a x b a b Si Si x a entonces x a a a 0 x b entonces x b b b 0 ANEXO

134 5. Si el factor se hace positivo o negativo según nos movamos sobre la recta superior en el intervalo escribimos el signo o el signo ; en las filas. Anotamos signo menos en los cuadrados que queden a la izquierda de los ceros y el signo más en los cuadrados que queden a la derecha, entre los ceros. a b x a x b 6. Utilizando la regla de los signos multiplicamos de manera vertical los signos anotando el signo correspondiente en la parte inferior. a b x a x b 7. Si la desigualdad es mayor (), mayor o igual () que cero, el conjunto solución está donde tenemos el signo, y si es menor (), menor o igual () que cero, el conjunto solución está donde tenemos el signo (). Se sombrea el área de la solución. a b x a x b 8. Ahora se escribe la solución de la siguiente manera en notación de conjuntos: Intervalos: ], a [ U ] b, [ Se ponen para adentro los corchetes si es a b Gráfica: Se llenan los círculos si es Conjunto: {x/x a o x b} Se coloca en el conjunto el signo de igualdad si es Si la solución hubiera sido de una desigualdad menor que, entonces, en notación de: Intervalos: ] a, b [ Se ponen hacia adentro los corchetes si es a b Gráfica: 4 CAPÍTULO DESIGUALDADES

135 Se llenan los círculos si es Conjunto: {a x b} Se coloca el signo de igualdad si es EJEMPLOS En los siguientes ejemplos, encuentre el conjunto solución de lo que se pide:. (x ) (x ) 0 x Conjunto solución ], [ U ], [ x. x 0 Recomendación: Si el coeficiente principal es negativo, hágalo positivo multiplicando por en ambos lados de la desigualdad y esto cambia en el sentido. En este caso rellenamos los ceros porque utilizamos el signo Conjunto solución [.] La solución se encuentra abajo del signo menos porque la desigualdad es menor que o igual a cero x 0 (x ) (x ) 0 x x. 6x x 6x x 0 (x ) (x ) 0 x Conjunto solución x ], / [ U ] [ CASO DE ESTUDIO 5

136 4. x x 0 x x 0 (x ) (x ) 0 En ambos lados se multiplica por. x x Conjunto solución ], ] U [, [ 5. ( 5x) ( x) 0 5 5x Conjunto solución ] /5, [ x EJERCICIOS DEL ANEXO. 8 x 0x. ( x) ( 4x) 0. (x ) x x 5. (4 x) ( x) 6. 9x x x x 5x 6 9. ( x) (4 x) 0 0. x 8x 6 6 CAPÍTULO DESIGUALDADES

137 CAPÍTULO 4 Lógica matemática La Teoría de los Conjuntos fue rigurosamente desarrollada en los siglos XIX y XX, con el objeto de dar a la matemática una mejor fundamentación y tener una mayor precisión en el lenguaje en ella utilizado. En este capítulo se dan los rudimentos de tal teoría. Se introducen las nociones de conjunto, pertenencia a un conjunto y subconjunto. Además, se dan distintas formas de operar con los conjuntos para obtener otros. En particular, estudiaremos las operaciones de unión, intersección y complemento de un conjunto respecto a otro (también llamada diferencia de conjuntos). Son dadas las propiedades fundamentales de estas operaciones, entre las que destacan las llamadas leyes de De Morgan, que establecen fórmulas en las que esas tres operaciones quedan relacionadas. Presentaremos los diagramas de Venn que son gráficos concretos que sirven de apoyo en el estudio de algunas de las propiedades generales de los conjuntos. También se introduce el producto cartesiano de conjuntos que sirve, por ejemplo, para tener modelos numéricos del plano y el espacio. En la segunda parte del capítulo haremos una breve presentación de la lógica matemática elemental. Se introduce la noción de proposición o enunciado y son presentados los llamados conectivos lógicos que permiten formar proposiciones complejas a partir de otras que pasan a ser llamadas sus proposiciones componentes. Son también consideradas las proposiciones llamadas condicionales, que tienen un interés especial para el estudio de las matemáticas, pues muchos de los resultados que en ella se encuentran son enunciados de este tipo. Las proposiciones tienen asociado un valor de verdad. Mediante las llamadas tablas de verdad se determina el valor de verdad de proposiciones complejas de acuerdo con los valores que tienen sus componentes. El capítulo se cierra dando algunas de las formas de demostración de condicionales. T EMARIO 4- CONJUNTOS 4- UNIÓN DE CONJUNTOS 4- INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 4-4 PRODUCTO CARTESIANO 4-5 LÓGICA MATEMÁTICA REPASO DEL CAPÍTULO 7

138 4- CONJUNTOS Encuentre todos los divisores positivos de 8. Solución Los divisores de 8 son: {,, 4, 7, 4, 8} En general, un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman elementos. Un conjunto debe ser descrito de tal manera que dado un objeto sea posible decidir si es o no elemento del conjunto. Si x es un elemento y A un conjunto, escribimos x A para decir que x pertenece a A. Para señalar que un objeto x no es elemento del conjunto A, escribimos x A. En ocasiones, como en el ejemplo anterior, para especificar a un conjunto particular, se hace una lista de todos los elementos y se escriben entre llaves. Otra manera es escribir, también entre llaves, una regla que caracteriza plenamente a los elementos; en el ejemplo anterior escribimos {n n divide a 8}, que se lee el conjunto de los números naturales n tales que n divide 8. (Recuerde que un divisor positivo de un número es un natural que divide a dicho número.) Usamos letras mayúsculas para denotar a los conjuntos y minúsculas para denotar a sus elementos. Cuando escribimos la lista de los elementos de un conjunto, no repetimos los elementos, por ejemplo, escribimos {a, b} en lugar de {a, b, a}. El orden en que escribimos los elementos de un conjunto no es importante, así, {a, b, c} y {b, a, c} representan al mismo conjunto. EJEMPLO Indique si el número 5 pertenece o no al conjunto { p q p, q y q 0}. Solución Observamos que 5 puede escribirse como: 5 5 el cual es un elemento del conjunto, entonces: 5 p q p, q y q 0 El conjunto p q p, q y q 0} se conoce como el conjunto de los números racionales y se denota por. EJEMPLO Describa al conjunto de los números pares entre 7 y 9. Solución El conjunto es: {6, 4,, 0,, 4, 6, 8} 8 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

139 EJEMPLO Pruebe que el cero no pertenece al conjunto cuyos elementos son los números reales cuyo cuadrado es mayor que cero. Solución Puesto que 0 0, tenemos que 0 {x x 0}. EJEMPLO 4 Diga si pertenece al conjunto B {x x es mayor que y menor que 7}. Solución Los elementos de B son aquellos reales x tales que: x 7 y como entonces B. La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Si el número de elementos del conjunto es un entero positivo, se dice que el conjunto es finito. Cuando un conjunto no es finito, se dice que es infinito. Cuando dos conjuntos finitos A y B tienen la misma cardinalidad, decimos que los conjuntos son equivalentes y escribimos A B. En este caso también decimos que entre los dos conjuntos existe una correspondencia biunívoca, en ocasiones llamada también uno a uno. Es decir, puesto que los conjuntos tienen el mismo número de elementos, entre ellos se puede establecer una relación que asocie a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B, agotando los elementos de B. EJEMPLO 5 Encuentre la cardinalidad del conjunto que consta de los números enteros mayores que y menores que. Solución El conjunto es: {, 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. La cardinalidad del conjunto es. EJEMPLO 6 Diga si los conjuntos A {5,,, 7} y B {x, c, d, y, z} son equivalentes. Solución La cardinalidad de A es cuatro y la de B es cinco, entonces los conjuntos no son equivalentes. SECCIÓN 4. CONJUNTOS 9

140 EJEMPLO 7 Encuentre una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A {x, y, z} y B {w,,5} Solución Escribimos x w para denotar que al elemento x del conjunto A le asociamos el elemento w del conjunto B. Entonces establecemos la relación: x w y 5 z, puesto que hemos agotado todos los elementos de B y a cada elemento de A le asociamos un único elemento de B, la correspondencia es uno a uno. Observación {, } {a, b} pero {, } {a, b} Subconjuntos Si y A {x x, 0 x 0 y x es un número primo} B {x x y 0 x 0}, es decir, B es el conjunto de números enteros entre cero y 0, debemos analizar qué relación hay entre A y B. Solución Observamos que: y A {,, 5, 7,,, 7, 9} B {0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}, Notamos que cada elemento de A es elemento de B, entonces decimos que A es un subconjunto de B, y escribimos A B. En general, para dos conjuntos A y B, escribimos A B si todo elemento del conjunto A es elemento del conjunto B y decimos que A es subconjunto de B. Cuando no se cumple que A B, es decir, cuando al menos un elemento de A no pertenece a B, escribimos A B. Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos y escribimos A B. Decimos que A es un subconjunto propio de B o que está propiamente en B si A B y hay por lo menos un elemento de B que no está en A. En este caso escribimos A B. 0 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

141 Observaciones Si A B y A B entonces A B. Si A B y B A entonces A B. Si A B entonces A B y B A. EJEMPLO Si A {, 4.5, 5, 7 8 } y B, 5, 4.5}. Demuestre que B A. Solución Los elementos de B son, 5, 4.5 y todos ellos son también elementos de A. EJEMPLO Si A {, 5, 0, 7} y B {, 5, 0, 7, }. Pruebe que B A. Solución es elemento de B, pero no es elemento de A, entonces B A. EJEMPLO Determine si los conjuntos A {, 5, 8} y B {8,, 5} son iguales. Solución Como cada elemento de A es elemento de B entonces A B. De la misma manera, cada elemento de B es elemento de A; entonces B A. Por lo tanto, A B. EJEMPLO 4 Si A {x x 9 } y B {x 5 x 8}. Demuestre que A B. Solución Si x A entonces: x 9. De donde es decir, x B. Por lo tanto, A B. 5 x 9 8, Complemento En un internado se encuentran 98 niños de los cuales 7 son recogidos a las cinco de la tarde por sus padres, los restantes únicamente van a casa el fin de semana. Cuántos niños duermen en el internado? Solución Llamamos A al conjunto de niños que salen diariamente y B al conjunto de todos los niños que se encuentran en el internado. Debemos saber cuántos ele- SECCIÓN 4. CONJUNTOS

142 mentos tiene el conjunto de niños que están en el internado pero no salen diariamente, es decir, el conjunto de elementos que pertenecen a B pero no están en A; denotamos a dicho conjunto por B\A, entonces: B\A {x B x A} {niños que duermen en el internado}, entonces B\A tiene elementos. Hay 7 niños que duermen en el internado. En general podemos hablar de los elementos que pertenecen a un conjunto B pero no a A, en ese caso escribimos: B\A {x B x A} y decimos que B\A es el complemento del conjunto A con respecto al conjunto B, o simplemente el complemento de A con respecto a B. Otro nombre con el que se conoce a B\A es diferencia de B y A. Para tener una representación gráfica de los conjuntos utilizamos los diagramas de Venn. FIGURA En cada caso es conveniente tener claro en qué contexto estamos trabajando, de esta manera, es posible simplificar incluso la notación. En cada caso debemos determinar el conjunto que tomaremos como referencia durante la explicación, es decir, uno que contendrá a todos los subconjuntos que intervengan en dicha explicación, a ese conjunto se le llama conjunto universal. Así, por ejemplo, si tomamos a como el conjunto universal y llamamos P al conjunto de los números pares, denotamos por P c al complemento de P con respecto a, en lugar de escribir \P. Claramente, el conjunto universal cambia, dependiendo de la situación de que se trate. FIGURA CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

143 EJEMPLO Si tomamos como conjunto universal al conjunto de los números reales, encuentre A c si A es el conjunto de números tales que su cuadrado es mayor que cero. Solución Puesto que para cualquier número real tenemos que su cuadrado es positivo o cero, tenemos que los números tales que su cuadrado es mayor que cero son los que satisfacen: es decir: de donde: x 0 o x 0, A {x x 0}, A c \A {0}. EJEMPLO Si A {,,, } y B {,,, 4,, 5, }. Encuentre B\A. Solución Los elementos que están en B y no están en A son: B\A, 4, 5, EJERCICIOS 4- (-0) En cada caso escriba el conjunto exhibiendo todos sus elementos.. {números enteros pares entre 5 y }. {números enteros cuyo cuadrado sea menor que 47}. {números primos entre 4 y 60} 4. {números enteros negativos mayores que 8} 5. {números naturales impares menores que 6} 6. { n n es un número natural entre y } 7. {n 5 n es un número entero entre y 6} 8. {n n es un número entero mayor que 5 y menor que 7} 9. {x x 0} 0. {x x 0} (-5) En cada caso describa el conjunto que se indica.. El conjunto de los números enteros que satisfacen (x ) 0.. El conjunto de números reales que satisfacen x 5.. El conjunto de números reales que satisfacen la ecuación x 5 x. 4. El conjunto de números reales que satisfacen la ecuación x x 4x. 5. El conjunto de números racionales que satisfacen la ecuación x x 0. (6-) Coloque o en cada espacio en blanco de manera que la proposición sea cierta {0, 9, 6,, 0, 5} 7. {,,,, 6} {.,.75, 9.,,.7, 0} 9. 0 {6,,, 0, 8, } 0. 5 {, 4, 5, 6 5, 7 4 } SECCIÓN 4. CONJUNTOS

144 . {, 4, 8, 6, (-9) Coloque o en cada espacio en blanco de manera que la proposición sea cierta.. {5, 0, } {5, 0, 5, 0, 5}. {, 0} {0,,,, } 4. {, 4, 6, 8} {, 4, 6, 8, 0, } 5. {7,, 6} {, 7,, 4, 6} 6. {,,, 4} 7. {4, 4} {5,, 9} {números enteros impares} (0-5) En cada caso encuentre A\B. Si A {5, 4,,,, 0,,,, 4, 5} y 0. B {0,,,, 4, 5}. B {,, 5}. B {0, 4} }. B {,,, 0,,, } 4. B {5, 4,,, } 5. B {} 6. Si A es el conjunto formado por todos los triángulos, B es el conjunto de los triángulos rectángulos y C el de los triángulos escalenos. Diga si cada uno de los conjuntos anteriores es subconjunto de alguno de los otros o no. Analice todas las posibilidades. (7-4) Si el conjunto universal es el conjunto {,,, 4, 4 5, 5 6, 7 8, 9 0,,, 0, 8 7, 8 9, 6 5,, a, b, 8}. Encuentre A c si: 7. A {,, 4, 4 5, 8 9,, 0, 6 5,, b, 8} 8. A {,, 4, 4 5, 5 6, 7 8, 9 0,, 0, 8 7, 6 5,, a, 8} 9. A {,,, 4, 4 5, 7 8, 8 9, 9 0,,, 0, 8 7, 6 5,, a, 8} 40. A {,, 4 6, 4, 4 5, 7 8, 9 0,,, 8 7, 6 5,, a, 8} 4. Luis ha comprado tres platos para servir el alimento a sus perros, un plato es azul, otro rojo y el tercero blanco. Los nombres de sus perros son: Boby, Tiny y Romy. Establezca una correspondencia uno a uno entre los platos y los perros. 4- UNIÓN DE CONJUNTOS Juan, José, Luis, Mario, Alfredo, Rubén, Roberto, Bruno, Adrián, Fernando, Daniel y Andrés estudian en el mismo grupo. De ellos, Juan, Luis, Mario, Rubén y Roberto practican la natación. José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno y Andrés juegan fútbol. Cuáles niños hacen deporte? Solución Llamamos A al conjunto de niños que nadan, es decir: y B al de los niños que juegan fútbol: A {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto} B {José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés} Ahora formamos la colección de los niños que practican algún deporte: {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto, José, Mario, Alfredo, Roberto, Bruno, Andrés} Sin embargo, notamos que hay niños que pertenecen tanto a A como a B, es decir, Mario y Roberto practican ambos deportes, por tal motivo aparecen dos veces en la lista, los borramos una vez de acuerdo con lo dicho al inicio del capítulo y obtenemos el conjunto: A B {Juan, Luis, Mario, Rubén, Roberto, José, Alfredo, Bruno, Andrés}. Los elementos de este conjunto son los niños que practican algún deporte. 4 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

145 Cuando deseamos, como en el problema anterior, reunir los elementos de dos conjuntos A y B, escribimos: C A B en este caso decimos que C es la unión de los conjuntos A y B, y para describir sus elementos: A B {x x A o x B} y se lee A unión B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a alguno de los dos conjuntos, es decir, x pertenece a A, o x pertenece a B. Observe que en la unión se encuentran todos los elementos de A y todos los elementos de B. Es decir: A A B y B A B. FIGURA Observaciones Si A B entonces A B B. Si A B entonces A B A B. Si x A B entonces x pertenece a A, x pertenece a B o x pertenece a ambos. EJEMPLO Si A {,,,.75} y B {0, 8,, }, encuentre A B. Solución A B {,,,.75, 0, 8, } EJEMPLO Si A {, 4, 5, 6} y B {, 6} encuentre A B. Solución A B {, 4, 5, 6} EJEMPLO Si A {x x 7} y B {x x } encuentre A B. Solución Puesto que: y 7, SECCIÓN 4. UNIÓN DE CONJUNTOS 5

146 entonces: A B x x. EJEMPLO 4 Si A {x 4 x 4}, B {4, 0, } y C {x x 5}. Encuentre (A B) C. Solución Observemos primero que 0 A y A. Entonces, como 4 B, tenemos: A B {x 4 x 4}, tomando ahora la unión de este conjunto con C, como 4 y 4 5, tenemos: (A B) C {x 4 x 5}. EJERCICIOS 4- Si A {x, y, z}, B {y, z} y C {z}. Encuentre:. A B. A C. B C 4. (A B) C 5. A (B C) 6. (A\B) C 7. (A\C) B 8. (A B)\C 9. (A C)\B 0. A (B\C). A\ (B C). (A\B) (A\C). Si A {x 5 x 9}, B {x 8 x } y C {x x 8}. Encuentre (A\B) (A\C). 4. Si A {x.5 x 8 }, B {x x 8} y C {x x 7 6 }. Verifique A (B C) (A B) C. 5. Si A es un conjunto de 7 elementos y B es un conjunto de 5 elementos, cuántos elementos tiene A\ B? Observe que los conjuntos A y B pueden o no, tener elementos en común. 6. Julieta y Ramón contrajeron matrimonio. Julio y Salvador, hijos del primer matrimonio de Julieta, llegaron a vivir con la pareja. Asimismo, Jaime y Anita, hijos de Ramón, se incorporaron a la familia. a) Escriba el conjunto que consta de los miembros de la nueva familia. b) Exprese el conjunto anterior como la unión de los dos conjuntos que formaba cada pareja de hijos con su respectivo papá, antes de la boda. 7. Si A {a} y B es un conjunto tal que A B {a}, quién es B? 4- INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Los miembros del Consejo de Seguridad de la ONU durante 997 fueron Japón, Kenia, Polonia, Portugal, República de Corea, Federación Rusa, Suecia, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, Chile, China, Costa Rica, Egipto, Francia y Guinea-Bissau. De ellos, Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Nor- 6 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

147 teamérica, China y Francia son miembros permanentes. Por otra parte, Portugal, Chile, Costa Rica, Francia y Guinea-Bissau tienen por idioma oficial una lengua romance. Qué países son miembros permanentes y tienen una lengua romance por idioma? Solución Llamamos A al conjunto de miembros permanentes del Consejo de Seguridad de la ONU, es decir: A {Federación Rusa, Reino Unido, Estados Unidos de Norteamérica, China, Francia} y B al conjunto de países cuyo idioma es una lengua romance, o sea: B {Portugal, Chile, Costa Rica, Francia, Guinea-Bissau} Los países que son miembros permanentes y cuyo idioma es una lengua romance son los que están en ambos conjuntos, llamemos C a dicho conjunto, entonces: C {Francia} El único país que es miembro permanente y tiene como idioma una lengua romance es Francia; es decir: C A B. En general, cuando deseamos considerar los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B, escribimos: C A B, en este caso decimos que C es la intersección de los conjuntos A y B, o sea: A B {x x A y x B} y se lee A intersección B es el conjunto de elementos x tales que x pertenece a A y x pertenece a B. De acuerdo con la definición, cualquier elemento de A B es un elemento de A y también de B, es decir: A B A y A B B. FIGURA 4 Cuando no hay elementos que pertenezcan a ambos conjuntos A y B, decimos que la intersección es vacía o que el conjunto obtenido es el conjunto vacío, el cual denotamos por. En este caso decimos que los conjuntos son ajenos. Convenimos que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto A, es decir, A. SECCIÓN 4. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 7

148 EJEMPLO En una granja saldrán a la venta los pollitos que serán destinados a la engorda, para ello son seleccionados colocando en un lado las pollas y en otro a los pollos. Al inicio había 04 animales, de los cuales 8 resultaron ser pollos y el resto pollas. Determine las cardinalidades de los conjuntos que resultaron después de hacer la selección. Solución Para saber cuántos pollos hubo en total, efectuamos la operación: , 8 como: Entonces, hay un conjunto, llamémoslo A, que contiene a los 789 pollos: A {pollos} otro, al que llamaremos B, que contiene a las 5 pollas: B {pollas} Notamos que A B. EJEMPLO Si A {x x 4} y B {x 7 < x < 6}, encuentre A B. Solución Observamos que los números reales que satisfacen x 7 son elementos del conjunto A, pero no del conjunto B. De la misma manera, los que cumplen 4 x 6 son elementos del conjunto B pero no están en A. Así: A B x 7 x 4. Observaciones Si A B entonces A B A. Si A B entonces A B A B. Leyes de De Morgan Las igualdades (A B) c A c B c y (A B) c A c B c se conocen como las leyes de De Morgan y son válidas para cualesquiera de los dos conjuntos A y B. EJEMPLO Si A {x x }, B {x x 0} y es el conjunto universal, verifique que (A B) c A c B c. 8 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

149 Solución (A B) c ({x x } {x x 0}) c \({x x } {x x 0}) {x x } {x x } {x x 0} Por otra parte, A c B c {x x } c {x x 0} c (\{x x }) (\{x x 0}) ({x x } {x x}) ({x x } {x 0 x}) {x x } {x x } {x x 0} Entonces (A B) c A c B c. EJEMPLO Si A {x 0 x }, B {x x 6} y es el conjunto universal, verifique que (A B) c A c B c. Solución (A B) c ({x 0 x } {x x 6} c Por otra parte, \({x 0 x } {x x 6}) \{x x } {x x } {x x } A c B c {x 0 x } c {x x 6} c (\({x 0 x }) (\{x x 6}) ({x x 0} {x x}) ({x x } {x 6 x}) {x x } {x x } Entonces, (A B) c A c B c. EJERCICIOS 4- (-6) En cada caso, conteste cierto o falso:. b {b}. 0. {0} 4. Si A B y x B, entonces x A Si A B A B entonces A B (7-0) Si A {,0,}, B {0,, } y C {,0, }, encuentre: 7. A B 8. B C 9. A C 0. (A B) C SECCIÓN 4. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS 9

150 (-4) Si A {, 5, 9}, B {a, b, c, 5} y C {,, a, 9}, encuentre:. A B. B C. A B 4. A C 5. A C 6. B C 7. A B C 8. (A B) C 9. (A B) C 0. A B C. (A C) B. (B C ) A. (A B) (A C) 4. (A B) (A C) 5. Si A {x x }, B {x x 4} y C {x x }. Verifique que: (A B) C (A C) (B C) 6. Si A {x x }, B {x 0 x } y C {x x 5 5 }. Verifique que: (A B) C (A C) (B C) 7. Ilustre (A B) C utilizando diagramas de Venn, en el caso en que A B A C, pero B C 8. Por medio de diagramas de Venn, verifique que (A B) C (A C) (B C), suponiendo que A B, A C y B C. 4-4 PRODUCTO CARTESIANO En una lonchería, el menú del día consta de sopa, a elegir entre las siguientes opciones: Un guisado, a elegir entre: lentejas o fideos. pollo a la naranja, ternera con ensalada o milanesa con papas. Cualquier opción está acompañada con frijoles y postre. Cuáles son los menús posibles que se pueden formar? Solución Llamamos A al conjunto de sopas y B al de los guisados, es decir: A {lentejas, fideos} B {pollo a la naranja, ternera con ensalada, milanesa con papas}. Para formar todos los menúes posibles tomamos una sopa y combinamos con todos los guisados, posteriormente hacemos lo mismo con la otra sopa. Todas las posibilidades de elegir una sopa y un guisado son: lentejas y pollo a la naranja lentejas y ternera con ensalada lentejas y milanesa con papas fideos y pollo a la naranja fideos y ternera con ensalada fideos y milanesa con papas Puesto que estamos tomando parejas, conviene escribir: {(lentejas, pollo a la naranja), (lentejas, ternera con ensalada), (lentejas, milanesa con papas), (fideos, pollo a la naranja), (fideos, ternera con ensalada), (fideos, milanesa con papas)}. Este conjunto lo denotamos como A B. Observe que escribimos las parejas de forma ordenada, es decir siempre primero la sopa y después el guisado. 40 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

151 En general, cuando a partir de dos conjuntos A y B deseamos formar parejas de elementos de manera que en cada una haya un miembro de cada uno de los conjuntos dados, formamos el conjunto que llamamos el producto cartesiano de A y B, que denotamos A B. Es decir: A B {(a, b) a A y b B} y se lee el conjunto de parejas a coma b tales que a está en A y b está en B. Es importante notar que las parejas son parejas ordenadas, es decir, (a, b) (c, d) sólo en el caso en el que a c y b d, así, en general (a, b) (b, a). Las parejas ordenadas, en ocasiones también se llaman pares ordenados. Observación A. EJEMPLO Si A {, 6, } y B {4, }, dibuje en el plano cartesiano los elementos del producto A B. Solución A B {(, 4), (, ), (6, 4), (6, ), (, 4), (, )}. EJEMPLO FIGURA 5 Si A {, 6, } y B {4, }, dibuje en el plano cartesiano los elementos del producto B A. Solución B A {(4, ), (4, 6), (4, ), (, ), (, 6), (, )}. FIGURA 6 SECCIÓN 4.4 PRODUCTO CARTESIANO 4

152 EJEMPLO Si A {n n 5} y B {x, y, z}, encuentre A B. Solución Observamos primero que A {, 4}, entonces: A B {(, x), (, y), (, z), (4, x), (4, y), (4, z)}. EJEMPLO 4 Si A {x, y, z} y B {x, y}, encuentre (A B) (B A). Solución Entonces: A B {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y), (z, x), (z, y)} B A {(x, x), (x, y), (x, z), (y, x), (y, y), (y, z)} (A B) (B A) {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)} Observación A B B A EJERCICIOS 4-4 (-4) Si A {,, 0} y B {,, }, encuentre:. A B. B A. (A B) (B A) 4. (A B) (B A) (5-) Si A {a, b} y B {a, b, c} y C {a, c} encuentre: 5. A B 6. A C 7. B A 8. C A 9. A (B\C) 0. (A B)\(A C). A (B C). B (C A). Si A {, a, z}, B {a, b} y C {, b} verifique que: A (B C) (A B) (A C), (4-7) Si A {,, } y B {,, }, dibuje en el plano los elementos de los conjuntos: 4. A B 5. B A 6. A A 7. B B 8. Si A {a, b, c, d, e, f, g, h, i} y B {,, }. Cuál es la cardinalidad de A B? 9. Considere los conjuntos A {a}, B {b}, C {c}, D {a, b}, E {a, c}, F {b, c}, G {a, b, c}. Encuentre: (G G)\((A F) (B E) (C D)). 0. Si A, B y A B B A, qué se puede decir de los conjuntos A y B? 4-5 LÓGICA MATEMÁTICA Proposiciones Si digo Hoy por la noche voy a leer un libro, qué podré decir mañana por la mañana? Solución Si dije la verdad, entonces mañana podré decir que leí un libro De otra manera, diré que mentí. 4 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

153 Una proposición o enunciado es una expresión que afirma o niega algo. En ocasiones, en una proposición se distinguen a su vez dos o más proposiciones, las cuales se estudian para analizar la original. Aristóteles, filósofo griego (84 a.c.) con el objeto de analizar los esquemas de razonamiento, inició el estudio de la lógica, escribiendo a lo largo de su vida cinco libros sobre el tema, a los que llamó Organon. EJEMPLO Me comí todo el pastel. EJEMPLO Todos los enteros positivos son primos. EJEMPLO Con mi sueldo puedo comprar lo que se me antoje. EJEMPLO 4 El agua es indispensable para los seres humanos. EJEMPLO 5 Haré tres pasteles y los venderé todos. Observación Negación Una proposición puede ser verdadera o falsa. Más adelante nos ocuparemos de este tema. Lucrecia llegó a la oficina de telégrafos con la intención de enviar un mensaje a su hijo Andrés y le dictó a la empleada: El jueves no estaré en casa. La empleada no entendió y transmitió a Andrés la negación de lo que Lucrecia le dijo. Cuál fue el mensaje que Andrés recibió? Solución El telegrama que Andrés recibió decía: El jueves estaré en casa. En general, negar alguna proposición es algo común en el lenguaje cotidiano, una muestra es el ejemplo anterior. De la misma manera, en matemáticas, escribimos usualmente negaciones de proposiciones, por ello, es necesario tener una notación sencilla y cómoda para indicarlo. Así, si P denota cierta proposición, escribimos P para señalar que estamos considerando la negación de P. Al símbolo lo llamamos negación y decimos que es un conectivo lógico. Más adelante hablaremos de otros conectivos lógicos. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 4

154 EJEMPLO Escriba le negación de la proposición Todos los mamíferos son vivíparos. Solución La negación es: No todos los mamíferos son vivíparos ; es decir: Algún mamífero no es vivíparo. EJEMPLO Escriba la negación de la proposición Hay mamíferos que son vivíparos. Solución La negación es: Ningún mamífero es vivíparo. EJEMPLO Escriba la negación de la proposición Algunos mamíferos no son vivíparos. Solución La negación es: Todos los mamíferos son vivíparos. EJEMPLO 4 Escriba la negación de la proposición Ningún mamífero es vivíparo. Solución La negación es: Algún mamífero es vivíparo. EJEMPLO 5 Escriba la negación de la proposición Todos los lunes sirven mole poblano en el comedor de la Universidad Solución La negación es: No todos los lunes sirven mole poblano en el comedor de la Universidad, es decir: Algunos lunes no sirven mole poblano en el comedor de la Universidad. Observaciones Al negar una proposición, es frecuente que se haga alguna de las siguientes traducciones. Si una proposición establece: Todos, entonces la negación dirá: Alguno no Si una proposición establece: Algún, entonces la negación dirá: Ningún Si una proposición establece: Alguno no, entonces la negación dirá: Todos sí Si una proposición establece: Ningún, entonces la negación dirá: Algún Conjunción y disyunción Juan recibió una nota que decía: Busca a tu prima durante el recreo y ven a mi casa al salir del colegio. Atte. tu tía Lupe 44 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

155 Solución En la nota que Juan recibió, distinguimos dos proposiciones más sencillas: Busca a tu prima durante el recreo Ven a mi casa al salir del colegio Observamos que se plantea a Juan la posibilidad de hacer alguna de las dos cosas, sin embargo no queda excluida la posibilidad de realizar las dos acciones. Si en el problema anterior llamamos P a la proposición Busca a tu prima durante el recreo y Q a la proposición ven a la casa al salir del colegio, entonces la nota que Juan recibió, se lee como P o Q. En general, para escribir lo anterior, usamos un conectivo lógico que llamamos disyunción, que denotamos por y tiene el significado del planteamiento anterior, por ello P Q se lee P o Q. Si una proposición es de la forma P y Q, usamos otro conectivo, llamado conjunción, al cual denotamos por. Así P Q se lee P y Q EJEMPLO Juan recibió una nota que decía: Busca a tu prima durante el recreo y ven a mi casa al salir del colegio. Atte. tu tía Lupe Qué debe entender Juan? Solución Juan debe buscar a su prima durante el recreo y además dirigirse al salir, a casa de su tía. EJEMPLO Escriba, usando conectivos, la proposición Había tres mandarinas o desayunamos manzanas. Solución Si llamamos: entonces escribimos P Q. P a la proposición había tres mandarinas Q a la proposición desayunamos manzanas EJEMPLO Escriba, usando los conectivos, e, la proposición Tiró los boletos o los perdió y no asistió al concierto. Solución Si llamamos: P a la proposición tiró los boletos Q a la proposición los perdió R a la proposición asistió al concierto SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 45

156 entonces la proposición se escribe como: (P Q) (R). EJEMPLO 4 Si P es la proposición Olvidé la tarea en casa y Q es la proposición El maestro la revisó, escriba usando conectivos, la proposición Olvidé la tarea en casa y el maestro no la revisó Solución Puesto que Q significa El maestro no la revisó. Entonces la proposición Olvidé la tarea en casa y el maestro no la revisó se escribe como: P Q. Condicionales y bicondicionales El domingo por la mañana, el dueño de un establecimiento le dice a su empleado. Si no hay clientes por la tarde, entonces cerraremos a las seis. Al llegar la tarde, a pesar de haber clientes, el dueño decidió cerrar a las seis, contradice este hecho la afirmación que hizo por la mañana? Solución El dueño del establecimiento expresó lo que haría en caso de no haber clientes, pero no en caso contrario, por consiguiente no hay contradicción. La proposición del problema anterior, puede escribirse de la forma: Si P entonces Q, esta forma se llama condicional. En este caso llamamos a P la hipótesis y a Q la tesis o conclusión. Otras formas de expresar condicionales de este tipo son: P implica Q Q si P P es suficiente para Q P sólo si Q Q es necesario para P Q cuando P P Q. Las condicionales P Q y Q P son una el recíproco de la otra. Cuando decimos que P implica Q y también Q implica P, es decir, P Q y Q P. entonces establecemos una bicondicional y podemos decir en forma resumida: P si y sólo si Q. Otras formas de expresar una bicondicional son: P es equivalente a Q Para Q es necesario y suficiente que P Si P entonces Q y recíprocamente P Q 46 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

157 EJEMPLO Escriba la proposición si estudias, podrás efectuar el viaje, y solamente en ese caso, usando condicionales. Solución La primera parte de la afirmación, es decir, si estudias, podrás efectuar el viaje, es una condicional. En realidad dice: La segunda parte: si estudias, entonces podrás efectuar el viaje. y solamente en ese caso es también una condicional, pues dice sólo si estudias podrás efectuar el viaje, lo cual se escribe como: si puedes efectuar el viaje entonces estudiaste. Así, la proposición si estudias, podrás efectuar el viaje, y solamente en ese caso es una bicondicional que podemos escribir como: podrás efectuar el viaje si y sólo si estudias. EJERCICIOS 4-5- (-9) En cada caso, escriba la negación de la proposición correspondiente.. El gato rasguñó al perro.. Todo el grupo reprobó el examen.. Todos los alacranes se alimentan de ratones. 4. Todos los números enteros son primos. 5. Algunos números elevados al cuadrado no son enteros. 6. Compramos un coche o armamos un rompecabezas. 7. Ningún sueño se convierte en realidad. 8. Todos los días hay nuevas oportunidades. 9. El jueves pasado, pusieron en la puerta del colegio un letrero que decía: El próximo lunes no habrá clases y la ceremonia será el martes. Pero un chistoso que estudiaba lógica agregó antes un símbolo de negación y el letrero quedó: ( El próximo lunes no habrá clases y la ceremonia será el martes ). Qué debe entenderse entonces? (0-) Si P, Q y R representan las proposiciones: P: Me acosté temprano Q: Leí 60 páginas del libro R: Cené demasiado. Escriba, en términos de su significado, cada una de las siguientes proposiciones. 0. P R (Q). (P Q). ( R) P. (P (Q)) 4. Si P es la proposición Yo no me comí el pastel, qué es (P)? (5-6) Si P, Q y R representan las proposiciones: P: Te quiero Q: Te lo digo R : No entiendes Escriba, usando conectivos, cada una de las proposiciones siguientes: 5. Te quiero y no te lo digo, o te lo digo y no entiendes. 6. Ni te quiero, ni te lo digo, ni entiendes. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 47

158 TABLAS DE VERDAD Escriba la negación de la proposición Hoy es domingo e indique si la proposición es verdadera o falsa. Solución La negación de la proposición es: Hoy no es domingo. En cuanto a la veracidad o falsedad de la afirmación, observamos que depende del día en el que se lea la proposición. Si se lee en domingo, diremos que es verdadera, en caso contrario diremos que es falsa. Para representar esta situación, utilizamos el siguiente esquema: Hoy es domingo Hoy no es domingo Estamos leyendo en domingo: V F No estamos leyendo en domingo: F V en el que observamos que cuando la proposición es verdadera, la negación es falsa y viceversa. En general, puede ocurrir que una proposición ni siquiera tenga sentido en el lenguaje cotidiano o no podamos decir si es cierta o falsa. Sin embargo, cuando una proposición está escrita en el lenguaje cotidiano, es común cuestionarnos acerca de la veracidad. Cuando en una proposición aparecen varios conectivos, esta cuestión puede no tener una respuesta tan sencilla, por ello y para auxiliarnos introducimos las llamadas tablas de verdad. La tabla de verdad correspondiente a una proposición P y su negación es: P V F (P) F V Notamos que cuando P es verdadera (P) es falsa y viceversa. La tabla de verdad de la disyunción es: P Q P Q V V V V F V F V V F F F Observamos que para que P Q sea verdadera, basta con que al menos una, P o Q, sea verdadera. Es decir, si P es verdadera, si Q es verdadera o si ambas lo son. 48 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

159 La tabla de verdad de la conjunción es: P Q P Q V V V V F F F V F F F F Para que P Q sea verdadera, tanto P como Q deben ser verdaderas. Cuando en una tabla de verdad en todos los renglones aparece V, decimos que la proposición es una tautología, si por el contrario, aparece F en cada uno de los renglones, decimos que la proposición es una contradicción. Observación En la tabla correspondiente a la negación, la proposición P, es verdadera o falsa dependiendo sólo de si P lo es, razón por la cual la tabla tiene sólo dos renglones. En el de la conjunción y la disyunción aparecen dos proposiciones, P y Q, cada una de ellas puede ser verdadera o falsa, por tanto, para la veracidad de la conjunción o disyunción, debemos considerar todas las combinaciones posibles; por ello hay cuatro renglones en la tabla correspondiente. EJEMPLO Indique si la siguiente proposición es verdadera o falsa: El mango es una fruta o El aguacate es una verdura. Solución La proposición es de la forma P Q. Donde P es El mango es una fruta, que es verdadera, y Q es El aguacate es una verdura, que es falsa. Entonces por el segundo renglón de la tabla de verdad de la disyunción, tenemos que P Q es verdadera. EJEMPLO Si P es verdadera y Q es falsa, qué se puede decir de (P Q) R? Solución Utilizando las tablas de verdad de la negación, la conjunción y la disyunción, tenemos: Q es falsa entonces Q es verdadera P es verdadera entonces P Q es verdadera. Entonces: (P Q) R es verdadera. EJEMPLO Escriba la tabla de verdad ( P) Q. Solución P Q P (P) Q V V F V V F F F F V V V F F V V SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 49

160 EJEMPLO 4 Escriba la tabla de verdad de P (Q R). Solución Como tenemos proposiciones P, Q, R, hay exactamente 8 ternas distintas de valores de verdad. P Q R Q R P (Q R) V V V V V V V F V V V F V V V V F F F F F V V V F F V F V F F F V V F F F F F F Veracidad de las condicionales y bicondicionales Pili le dice a Martha: Si Julián me invita al baile, entonces voy. El día del baile, Martha encuentra a Pili en el baile pero a Julián no. Puede decirse que Pili mintió? Solución Pili no mintió pues dijo que iría al baile en caso de ser invitada por Julián, pero no afirmó que ésa era su única posibilidad para ir al baile. La proposición que aparece en el ejemplo anterior es de la forma P Q. En general, una proposición de este tipo es verdadera si en el caso en que P es verdadera, puede concluirse que Q es verdadera. Al igual que en el caso de las proposiciones compuestas en las que aparecen los conectivos, o, cuando nos preguntamos acerca de la validez de una condicional, también debemos considerar todas las posibilidades en cuanto a la veracidad de P y Q. Hagamos la tabla de verdad para P Q P Q P Q V V V V F F F V V F F V Observamos que la implicación es falsa únicamente en el caso en el que, siendo verdadera la hipótesis, la conclusión es falsa. Asimismo, notamos que en general, para que P Q sea verdadera, basta con que Q sea verdadera siempre que P lo sea. En el ejemplo, la conclusión es verdadera y la hipótesis es falsa, por ello la condicional resulta verdadera. 50 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

161 EJEMPLO Indique si la condicional: Si 0 a entonces a es verdadera o falsa. Solución La implicación es verdadera, puesto que: {a 0 a }. EJEMPLO Indique si la condicional: Si hace frío entonces es invierno es verdadera o falsa. Solución La implicación es falsa, pues no únicamente durante el invierno hace frío; es decir, es posible que haga frío y sin embargo no sea invierno. EJEMPLO Escriba la tabla de verdad de una proposición bicondicional. Solución Una proposición bicondicional es de la forma P Q; es decir, P Q y Q P, entonces: P Q P Q Q P P Q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Observamos que P Q es verdadera si P Q y Q P son verdaderas, y solamente en ese caso; es decir, cuando P y Q tienen el mismo valor de verdad. EJEMPLO 4 Demuestre por medio de tablas de verdad que P y X son proposiciones, entonces la condicional P X X es verdadera en el caso en que P es falsa y solamente en ese caso. Solución La tabla de verdad de P X X es: P X X X X P X X V V F F F V F V F F F V F F V F F V F V Observamos que X X es siempre falso, pues nunca algo y su negación pueden ser verdaderas simultáneamente. Asimismo, los renglones en los que P X X es verdadero son aquellos en los que P es falso. SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 5

162 Decimos que dos proposiciones P y Q son equivalentes si la bicondicional P Q es verdadera. en cuyo caso escribimos: P Q. Observación Recordamos que un bicondicional es verdadera cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es el mismo, y únicamente en ese caso. Para verificar que dos proposiciones son equivalentes, suelen utilizarse tablas de verdad, como puede ver en el siguiente ejemplo. EJEMPLO Demuestre que (P Q) P Q. Solución Escribimos las tablas de verdad de (P Q) yp Q: P Q Q P Q (P Q) P Q V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F Puesto que los valores de verdad de (P Q) yp Q son idénticos, en todos los casos posibles, entonces la bicondicional y (P Q) (P Q) es verdadera. Conectivos lógicos y conjuntos Escriba la negación de la proposición: El elemento a pertenece al conjunto B. Solución La negación de la proposición es: El elemento a no pertenece al conjunto B. En el lenguaje de conjuntos lo anterior es equivalente a decir: a B. La situación anterior sugiere establecer la relación entre el conectivo lógico y el complemento en el sentido de los conjuntos. De la misma manera, si recordamos que un objeto es elemento de la unión de dos conjuntos si pertenece a alguno de los dos o a ambos, entonces el conectivo se relaciona con el símbolo. Igualmente se relaciona con. Todo lo anterior lo resumimos en la siguiente tabla. ( ) c 5 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

163 Una vez establecida la analogía observamos que: y (P Q) P Q que en la teoría de conjuntos equivale a: (A B) c A c B c (P Q) P Q que en la teoría de conjuntos equivale a: (A B) c A c B c Éstas son las leyes de De Morgan que conocíamos. Por esta razón, cuando se escriben en términos de conectivos, se les llama de la misma manera. EJEMPLO Escriba en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos A A A Solución En términos de conectivos, escribimos: P P P EJEMPLO Escriba, en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos (A B) C (A C) (B C) Solución En términos de conectivos, escribimos: (P Q) R (P R) (Q R) EJERCICIOS Demuestre que la proposición P ( P) es una tautología.. Demuestre que P P es una contradición.. Usando tablas de verdad, muestre que si P Q y Q R son verdaderas, entonces P R es verdadera. 4. Muestre que las tablas de verdad de P Q y (P Q) (Q P) son iguales. 5. Muestre que las tablas de verdad de ( P Q) y P Q son iguales. 6. Muestre que las tablas de verdad de (P Q) y ( P) ( Q) son iguales. 7. Demueste que la proposición ( (P Q)) (( P) ( Q)) es una tautología. 8. Demuestre usando tablas de verdad, que la proposición ( P Q) (P Q) es verdadera. 9. Si P es la proposición n es un número entero mayor que 6, y Q es la proposición n no es un número primo. Escriba, usando estas proposiciones, una condicional verdadera. 0. Escriba la negación de la proposición Si comes dulces entonces se te picarán los dientes. (-4) Si P, Q, R y S representan las proposiciones: P: Todo cuadrado es un rectángulo. Q: Todo réctangulo es un paralelogramo. R: Todo cuadrilátero es un cuadrado. S: Todo paralelogramo es un cuadrilátero. Diga, en cada caso, si la condicional es verdadera o falsa:. P Q. Q R. R S 4. P S 5. En una fiesta de disfraces, Pepe dice a su acompañante: Si aquel hombre de antifaz rojo es Julián, entonces el que está vestido de arlequín es Paco. Pero el hombre de antifaz rojo era Roberto. Es verdadera o falsa la condicional planteada por Pepe? SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 5

164 6. Rubén, Luis y Jorge afiman que son muy listos pues se van turnando las tareas. Quién hizo la tarea de hoy? si: Rubén dijo: La tarea no la hizo Luis. Luis dijo: Yo no hice la tarea. Jorge dijo: Yo hice la tarea. y se sabe que al menos uno dijo la verdad y al menos uno miente? (7-0) En cada caso, escriba en términos de proposiciones y conectivos, el análogo a la igualdad de conjuntos. 7. A A A 8. (A c ) c A 9. A (B C) (A B) C 0. (A B) C (A C) (B C) FORMAS DE DEMOSTRACIÓN Luisa se compromete con su hija diciéndole: Si me pagan las horas extras que me deben, te compraré la máquina de escribir que necesitas. Sin embargo, aun cuando Luisa siempre cumple su palabra, el tiempo pasó y no compró la máquina de escribir, qué fue lo que sucedió? Solución Puesto que si a Luisa le hubieran pagado, ésta hubiese comprado la máquina de escribir, entonces podemos concluir que no le pagaron. Observamos que la proposición expresada por Luisa es una implicación de la forma: P Q y como Luisa siempre cumple su palabra, dicha proposición es verdadera, entonces al asegurar que Q no se cumplió, dedujimos que entonces P tampoco se cumple, es decir, afirmamos: Q P. En el ejemplo anterior mostramos que si P Q, entonces podemos deducir que Q P. Elaboremos ahora las tablas de verdad de P Q y de Q P: P Q P Q P Q Q P V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Observamos que en las tablas de verdad, las columnas correspondientes a P Q y Q P son iguales, es decir (P Q) (Q P). En matemáticas, muchos de los resultados que se quieren demostrar tienen la forma P Q. Utilizando la equivalencia anterior, encontramos una manera alternativa; basta con probar Q P. Esta forma de demostración se llama contrapuesta. 54 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

165 EJEMPLO Demuestre que si n es par entonces n es par. Solución Recordemos primero que los números pares son aquellos que se pueden escribir de la forma m para algún entero m,y los impares son los que se pueden escribir de la forma m para algún número entero m. La proposición es de la forma P Q, entonces utilizaremos la contrapuesta y probaremos Q P, es decir, probaremos que: Si n no es par, entonces n no es par. Supongamos que n no es par, entonces n es impar. Por lo que n m para algún entero m n (m ) n 4m 4m n (m m) De donde n es impar, es decir, n no es par. Hemos probado entonces que: si n es par, entonces n es par. Reducción al absurdo Demuestre que si a 0, entonces 0. a Solución Supongamos que a 0 y que 0. a Recordemos que cuando se multiplican ambos lados de una igualdad por un 0 por a, obtene- número positivo, la desigualdad no se altera. Entonces, multiplicando ambos lados de la desigualdad a mos: a (a) 0 (a) 0. Lo cual no es posible, pues sabemos que 0. Concluimos que nuestra suposición a 0 es falsa, de donde: Si a 0, entonces 0. a Otra manera de demostrar una condicional P Q es la llamada reducción al absurdo, que consiste en suponer P Q y deducir a partir de ello que las condicionales P Q X P Q X son verdaderas. Es decir, es verdadera. P Q X X SECCIÓN 4.5 LÓGICA MATEMÁTICA 55

166 Ahora bien, en la sección Veracidad de las condicionales y bicondicionales (ejemplo 4), vimos que una implicación como la que tenemos, es verdadera cuando la hipótesis es falsa y sólo en ese caso. Así, P Q es falsa, por lo que si P es verdadera Q es verdadera; es decir, P Q. EJEMPLO Demuestre que no es un número racional. Solución Haremos la demostración por reducción al absurdo. Supongamos que es un número racional. Entonces, p p, q q 0. q Donde p es su mínima expresión, o sea p y q no tienen factores en común. Entonces, q p (.) q q p, elevando al cuadrado tenemos: q p, lo cual indica que p es par, donde p es par (ejemplo de la sección Formas de demostración ). Así, p debe ser de la forma: p n para algún entero n. Sustituyendo este valor en la segunda igualdad de (.) tenemos: q (n) q 4n q n. De aquí tenemos que también q es par, es decir, tanto p como q son pares o sea, tienen el como factor común. Pero sabíamos que p y q no tienen factores en común. Por lo tanto, hemos deducido una proposición y su negación, entonces la hipótesis es falsa. Como la hipótesis fue es un número racional, concluimos no es un número racional. 56 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

167 EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4. De cuántas maneras se puede establecer una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A {,, } y B {x, y, z}? Escríbalas todas. (-9) En cada caso, escriba el conjunto exhibiendo todos los elementos.. El conjunto de los estados de la república mexicana que empieza con la letra S.. El conjunto de números enteros entre 0 y 00 que tienen exactamente dos unos. 4. Si A {x 0 x }, B {x x 5} y es el conjunto universal, verifique que (A B) c A c B c. 5. Si A es un conjunto de 4 elementos y B es un conjunto de elementos, cuál es la cardinalidad de A B? Observe que algunos elementos pueden pertenecer a ambos conjuntos. 6. Si la cardinalidad de A B es igual a la cardinalidad de A más la cardinalidad de B, qué se puede decir de los conjuntos A y B? 7. Si la cardinalidad de A es m y la de B es n, cuál es la cardinalidad del producto A B? 8. Cuál es la cardinalidad del conjunto de números naturales mayores que y menores que 999,999,999? 9. Si A B y C D, demuestre que A C B D. (0-5) Si A {{}, } y B {}. En cada caso, indique si la afirmación es falsa o verdadera. 0. B A. A. B. {} A 4. B A 5. B A (6-8) Si A {x 5 x } y B {x x 7}. Verifique cada una de las siguientes igualdades: 6. A (A B) A 7. A (A B) A 8. Si A B y C D, demuestre que A C B D. 9. Utilice diagramas de Venn para ilustrar la igualdad B\A B A c, en el caso en que B no sea subconjunto de A pero A B. 0. Utilice diagramas de Venn para ilustrar la igualdad (A B) c A c B c.. Suponiendo que B A, C A y B C, utilice diagramas de Venn para ilustrar la igualdad A\(B C) (A\B) (A\C).. Qué diferencia hay entre y {}?. Trate de justificar que (A\B) \A. Sugerencia: Empiece suponiendo que hay un elemento en (A\B)\A y observe cuáles son las condiciones que debe cumplir, puesto que ello no es posible, concluya que (A\B)\A no tiene elementos, entonces el conjunto debe ser igual al conjunto vacío. 4. Demuestre que (P) P es una tautología. 5. Demuestre que (P P) (P P) es una contradicción. 6. A la salida de una universidad una señorita y un joven comentan: El joven dice: Yo ya no vivo con mis papás. La señorita afirma: Yo sí, me siento más segura. Sabiendo que al menos uno miente y que sólo uno de ellos continúa viviendo en casa de sus padres: a) Cuál de los dos vive con sus papás? b) Quién dijo la verdad? 7. Si P y Q son falsas y R es verdadera, cuál es el valor de verdad de la proposición (P Q) (R Q)? 8. Si P y Q son falsas, cuál es el valor de verdad de la proposición (R ( Q P)) S? 9. Cuántos renglones deberá tener la tabla de verdad correspondiente a la proposición (P Q) ((R S) P)? 0. Escriba la contrapuesta de la condicional (P Q) (P Q), y simplifíquela de manera que no aparezcan dobles negaciones. (-4) En cada caso, escriba la tabla de verdad de la proposición indicada.. R (Q P). P (Q R). ((P Q) R) P 4. ((P) Q) (Q P) 5. Demuestre, usando reducción al absurdo, que si a 0 entonces 0. a (6-9) En cada caso, diga si la bicondicional es verdadera o falsa si y sólo si si y sólo si EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 57

168 si y sólo si si y sólo si Usando tablas de verdad, diga si la proposición (((P Q) (Q P)) P) (P Q) es verdadera o falsa. 4. Por la mañana, papá buscó las llaves que había dejado sobre la mesa del comedor la noche anterior. En casa estaban Juan, Rosa, Paco y María. Cuando papá preguntó: Quién tomó mis llaves?, Juan dijo: Las tomó Paco. Rosa dijo: Yo no las tomé. Paco dijo: Rosa miente. María dijo: Paco no dijo la verdad. Si sólo uno dijo la verdad: a) Quién tomó las llaves? b) Quién dijo la verdad? 58 CAPÍTULO 4 LÓGICA MATEMÁTICA

169 CAPÍTULO 5 Temas selectos Antes de que se usaran signos para describir conceptos matemáticos, ya se empleaban las palabras raíz, o lado, para referirse a la raíz cuadrada de un número. Como los matemáticos árabes pensaban que el cuadrado de un número provenía de una raíz, las traducciones del árabe utilizaban la palabra radix (raíz). En trabajos posteriores, los escritores medievales representaban radix con el signo R x que se utilizó durante casi un siglo. En 484 apareció el signo R x para raíz cuadrada. El signo se presentó por primera vez, impreso, en 55 y en el siglo XVII ya era ampliamente aceptado. En la sección 5-4 estudiaremos aplicaciones de las ecuaciones con radicales. T EMARIO 5- RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS 5- DIVISIÓN SINTÉTICA 5- ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 5-5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES 5-7 DESPEJE DE FÓRMULAS 5-8 PORCENTAJES 59

170 5- RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS Tal vez se acuerde de haber usado radicales en el pasado, cuando trabajó con raíces cuadradas. Por ejemplo, la expresión 5 se llama radical y denota al número positivo cuyo cuadrado es 5. Ahora bien, esto se cumple con 5 5 y con (5) 5, pero el signo del radical implica al número positivo, que es la raíz cuadrada principal de un número. Por eso decimos: 5 5. Designamos la raíz cuadrada negativa así: 5 5. En general, la raíz n-ésima principal de un número real a se denota por medio de n a, como en estos ejemplos: 64 4 porque x 6 x porque (x ) 8x 6 5 porque 5 La expresión n a no siempre tiene significado. Por ejemplo, tratemos de evaluar 4 6: 4 6 () 4 6 Según vemos, no existe ningún número real x tal que x 4 6. En general, no existe ningún número real que sea la raíz par de un número negativo. Sin embargo, una propiedad fundamental de los números reales consiste en que cada número real positivo a tiene precisamente una raíz n-ésima positiva. Además, cada número real negativo tiene una raíz n-ésima positiva, siempre que n sea un número non. DEFINICIÓN DE n a; La n-ésima RAÍZ PRINCIPAL de a Sea a un número real y n un entero positivo, n. (i) Si a 0, n a es el número positivo x tal que x n a. (ii) n 0 0. (iii) Si a 0 y n es un número non, n a es el número negativo x tal que x n a. (iv) Si a 0 y n es par, n a no es un número real. Se dice que el símbolo n a es un radical; es el signo radical, n es el índice o raíz, y a recibe el nombre de radicando. Observe que, cuando n a x, tenemos x n a que también se puede escribir como: ( n a) n a EJEMPLO Evalúe los radicales que son números reales y verifíquelo. Si una expresión no constituye un número real, explique el motivo. (a) 5 (b) 9 (c) (d) x 4 (e) 5 (f) ( 7a) 0 x 60 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

171 Solución a) 5 5 Comprobación: (5) 5 b) 9 no es un número real por ser la raíz de un número negativo. c) Comprobación: d) x 4 x Comprobación: (x ) x 4 y x 0 Comprobación: x 5 x 0 x 0 f) ( 7a) 7a Comprobación: Sea 7a x. Entonces: x 7a, o ( 7a) 7a. e) 5 x Para multiplicar o dividir radicales, el índice debe ser el mismo. He aquí algunos ejemplos que dan lugar a las reglas y, que aparecen abajo. 8 7 ()() 6 (8)(7) (8)(7) En las siguientes reglas se supone que todos los radicales existen de acuerdo con la definición n a y, como siempre, ninguno de los denominadores es cero. REGLAS DE LOS RADICALES Si todos los radicales indicados son números reales,. n a n b n ab (Multiplicación de radicales) n a n b. n a a (División de radicales; b 0). m n a mn a EJEMPLO positivos. Simplifique. Suponga que todas las variables representan números a) 6x 7y b) 50 8x 7 c) d) 64 x e) 5 6x 5 x 4 SECCIÓN 5- RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS 6

172 Solución Identifique la regla de los radicales que se está aplicando en cada caso. a) 6x 7y 6x 7y 4xy b) c) 8x 7 8x 7x 6 x x 7 x (Nota: (x ) 7x 6 ) d) (Nota: 6 64.) e) 5 6x 5 x 4 5 (6x) (x) 4 5 x 5 x (Nota: (x) 5 x 5 ) EJEMPLO Evalúe el producto 5 4 hasta tres cifras decimales. Solución Por la regla de los radicales: Utilizando una calculadora debe encontrar que, aproximada hasta millonésimos (6 cifras decimales), ; si redondeamos este número a tres cifras decimales, nos da la raíz cuadrada igual a Advertencia: He aquí un error común que debe evitar. Explique por qué no es posible este paso: (4)( 4) 44 Al aplicar las reglas de los radicales, debe tener el cuidado de evitar el tipo de error que resulta de la falsa suposición de la existencia de una raíz n-ésima. Por ejemplo 4 no es un número real; pero, si no hace hincapié en esto, obtendrá resultados falsos, como el siguiente: 4 6 (4)(4) 4 4 (4) 4 VERIFIQUE SU COMPRENSIÓN representan números positivos. Simplifique. Suponga que todas las variables x ( 4 x) 4 8. (000)(4) (9)(44)(5). )( 5) (8 7. 8x 7x x 5 8x x 6 Ya estamos listos para llevar a cabo la extensión del concepto exponencial para incluir exponentes fraccionarios. Nuevamente, nuestra guía será preservar las reglas dadas anteriomente para los exponentes enteros. Primero, tomemos en consideración exponentes de la forma n, donde n es un entero positivo. (Supongamos que n, dado que es trivial el caso n ). Se trata 6 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

173 de darle significado a la expresión b /n. Si debe cumplirse la regla de los exponentes, tenemos: (b /n ) n b (/n)(n) b Por lo tanto, b /n es la n-ésima raíz de b (siempre y cuando exista esa raíz). Esto nos conduce a la siguiente definición de b /n. Como no es un número real, () / no se define. En general, b /n no se define dentro del conjunto de los números reales, cuando b 0 y n es par. DEFINICIÓN DE b /n Para un número real b y un entero positivo n (n ), siempre y cuando n b exista. b /n n b EJEMPLOS 5 5 / 6 (6) / 9 / 9 / 9 (7)/ 7 (6) /4 no se define, ya que 4 6 no es un número real. Ahora que se ha definido b /n, tenemos la posibilidad de definir b m/n, donde m n es cualquier número racional. Una vez más, queremos que se apliquen las reglas de los exponentes. Observe, por ejemplo, las dos maneras de evaluar 8 /, con base en la suposición de que se aplica la regla. 8 / 8 (/) (8 / ) ( 8) 4 c Regla T 8 / 8 (/) (8 ) / Estas observaciones nos conducen a una definición: Observe que siempre es posible expresar un número racional con el denominador positivo; por ejemplo, DEFINICIÓN DE b m/n Sea m un número racional con n. Si b es un número n real tal que n b está definida, entonces b m/n ( n b) m n b m Usando nada más exponentes fraccionarios, también podemos escribir: b m/n (b /n ) m (b m ) /m EJEMPLO 4 Evalúe: (64) / Solución Usando b m/n ( n b) m (64) / ( 64) (4) 6 SECCIÓN 5- RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS 6

174 Usando b m/n n b m (64) / (64) Obviamente, el primer planteamiento representa menos trabajo. Para la mayoría de estos problemas resulta más fácil extraer primero la n-ésima raíz y luego elevar a la n-ésima potencia, que ejecutar estas operaciones en el orden contrario. Observe que la definición b n b n se amplía para el caso b (m/n), en la siguiente forma b (m/n) b m/n (b /n ) m (b /n ) m b m /n EJEMPLO 5 Evalúe: 8 / () /5 Solución Primero, volvemos a escribir cada parte empleando exponentes positivos. Luego aplicamos la definición y sumamos, como se muestra en la página siguiente. 8 / () /5 8 / ( ) /5 ( 8) ( 5 ) ( ) ( ) 4 4 Escriba como radical cada una de las siguien- VERIFIQUE SU COMPRENSIÓN tes expresiones.. 5 /. (9) /. 0 / / 5. /4 Escriba cada una de las siguientes expresiones usando exponentes fraccionarios. Evalúe: ( 4 5). 5 /. 64 /. ( 6 ) / / 5. ( 7 ) / 6. 4 / 7. 4 / 8. ( 8 6 ) /4 9. (8) / 0. (8) / Como la definición de los exponentes racionales se elaboró con el fin de preservar las reglas fundamentales de los exponentes enteros, es posible demostrar que estas reglas se aplican también a los exponentes racionales. Los ejemplos que vienen a continuación demuestran el uso de estas reglas cuando se aplican a los exponentes racionales. 64 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

175 En el ejemplo 6, es posible que resulte más fácil primero escribir de otra manera el problema original, usando nada más exponentes positivos. EJEMPLO 6 Simplifique y después exprese el resultado exclusivamente con exponentes positivos. Solución x x / y z / y/ z x x / y z / y/ z x // y / z () x /6 y 5/ z EJEMPLO 7 Simplifique: a) ( s ( s Solución a) ( s ( s 4 t 4 t / 6z x y5 / t / 6 4) ) / b) 8a b 6 t / 6 4) ) / ( s ( s 8a ) /6( 4 ) /( t / t / 6 4) ) / (Regla 4) s /t/ s t (Regla ) s t s t 5/ 7 ( /) () ( /) b) / b ( 6 (b / ( 8) ( b 8a) / (Regla 5) 6 ) / /( a) / 6 / (Regla 4) ) ( 8 ) a b 4 4a b 4 ( (8) 64 4) PRECAUCIÓN: APRENDA A EVITAR ERRORES COMO ÉSTOS MAL BIEN (Mal uso de la definición de a) 6 /4 ( 6) 4 6 /4 ( 4 6) o 4 6 (Mal uso de la definición de b m/n ) () / / () / ( ) / a / b / a / b / a b a b SECCIÓN 5- RADICALES Y EXPONENTES FRACCIONARIOS 65

176 EJERCICIOS 5- (-8) Ecriba con exponente fraccionario ( 7) (9-6) Escriba en forma de radical. 9. / 0. 7 /. (9) /. 6 /. / 4. 7 / 5. 4 /4 6. / (7-6) Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa, corrija el lado derecho de la igualdad para obtener la aseveración verdadera / 9. (8) / /4 ( 64) 4. 8 /. (00) (0.5) / (7-58) Evalúe / 8. / 9. 8 / (64) /. (64) /. (5) / 4. (5) / / / 7 4. (5)( 000) / 8 / 44. (4)( 9)( 49)( 00) (4) (49) / / /4 56 / / 7 / 6 / / / / / /5 4 (59-7) Simplifique y después exprese todas las respuestas con exponentes positivos. (Suponga que todas las letras representan números positivos). 59. (8a b 9 ) / 60. (7a b 9 ) / 6. (a 4 b 8 ) /4 6. (a / b / )(a / b / ) 6. (a / b / )(a / b / 64. a a a b a a 6 / 66. ( ( b 4 b b /c/ b0 c / 49a 4) / 8b6 ) / / a4 b5 / 68. ab (x ) / 69. (x ) / 6x 70. (x ) / x 7. (x 4x) / (x 4) 7. (x 6x ) / (x x) 5- DIVISIÓN SINTÉTICA División de polinomios Cuando se divide un polinomio entre un binomio de la forma x a, el proceso de la división puede abreviarse bastante mediante un proceso llamado división sintética. Considere los siguientes ejemplos. En el ejemplo de la derecha, utilizamos sólo los coeficientes numéricos. 66 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

177 x 5x x x x 9x 5 95 x 6x 6 5x 9x 5 9 5x 5x 5 5 4x x 4 Observe que las variables no juegan un papel importante para determinar los coeficientes numéricos del cociente. Este problema de división puede realizarse con mayor rapidez y facilidad utilizando la división sintética. A continuación explicaremos la forma de utilizar la división sintética. Considere la división x x 9x5 x. Escriba el dividendo en potencias descendentes de x. Después liste los coeficientes numéricos de cada término del dividendo. Si no existe algún término de cierto grado, coloque 0 en la posición adecuada para rellenar el hueco. En el problema anterior, los coeficientes numéricos del dividendo son 9 5. Al dividir entre un binomio de la forma x a, coloque a a la izquierda de la fila de números de la parte. En este problema estamos dividiendo entre x, de modo que, a. Escribimos 9 5. Baje el primer coeficiente de la izquierda como sigue: Multiplique el por el número que bajó, el, para obtener 6. Coloque el 6 bajo el siguiente coeficiente, el. Después sume 6 para obtener Multiplique el por la suma 5, para obtener 5. Coloque el 5 bajo 9. Después sume para obtener 4. Repita este procedimiento como se ilustra En el último renglón, los primeros tres números son los coeficientes numéricos del cociente, como en la división larga. El último número,, es el residuo obtenido en la división larga. El cociente debe ser un grado menor que el dividendo, ya que SECCIÓN 5- DIVISIÓN SINTÉTICA 67

178 estamos dividiendo entre x. El dividendo original era un polinomio de tercer grado. Por lo tanto, el cociente debe ser un polinomio de segundo grado. Utilice los primeros tres números del último renglón como los coeficientes de un polinomio de segundo grado en x. Esto produce x 5x 4, que es el cociente. El último número, el, es el residuo. Por lo tanto, x x 9x 5 x x 5x 4 x EJEMPLO Divida utilizando la división sintética. (6 x x ) (x ) Solución Primero enumere los términos del dividendo en orden descendente de x. (x x 6) (x ) Como no existe término de primer grado, cuando liste los coeficientes numéricos inserte un 0 para llenar el hueco. Como x x (), a d residuo Como el dividendo es una ecuación de tercer grado, el cociente debe ser de segundo grado. La respuesta es x 6 x 6 x EJEMPLO Utilice la división sintética para dividir. (x 4 x 0x 7x 5) (x 5) Solución d residuo Como el dividendo es de cuarto grado, el cociente debe ser de tercer grado. El cociente es x 4x 0x 7 sin residuo. Esto puede simplificarse como x 4x 7. EJEMPLO Solución Utilice la división sintética para dividir. (x 6x 4x 5) x d residuo 68 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

179 La respuesta es x 9 x o x 4.5x.75 8(x ) x Teorema del residuo En el ejemplo, al dividir x x 6 entre x, determinamos que el residuo era 6. Si escribimos x como x () y evaluamos la función polinomial P(x) x x 6 en, obtenemos P(x) x x 6 P() () () Como P() 6, el valor de la función en x es 6. Cuando dividimos x x 6 entre x, el residuo también fue 6. Esto es sólo una coincidencia? Intentemos una vez más. En el ejemplo, cuando dividimos x 6x 4x 5 entre x, obtuvimos un residuo de Evaluemos P(x) x 6x 4x 5 en x. P(x) x 6x 4x 5 P El valor de P( ) es 4 7 8, el mismo residuo obtenido por división sintética. Para obtener el residuo cuando un polinomio P(x) se divide entre un binomio de la forma x a, podemos utilizar el teorema del residuo. TEOREMA DEL RESIDUO es igual a P(a). Si el polinomio P(x) se divide entre x a, el residuo EJEMPLO 4 Utilice el teorema del residuo para determinar el residuo, cuando x 4 6x x 4 se divide entre x 4. Solución Primero escribimos el divisor x 4 en la forma x a. Como x 4 x (4) evaluamos P(4). P(x) x 4 6x x 4 P(4) (4) 4 6(4) (4) 4 (56) 6(64) *Podría haberse utilizado f(x) en lugar de P(x). Sin embargo, al analizar las funciones polinomiales, por lo general se utiliza P(x). SECCIÓN 5- DIVISIÓN SINTÉTICA 69

180 Así, al dividir x 4 6x x 4 entre x 4, el residuo es 96. Utilizaremos la división sintética para demostrar que el residuo del ejemplo 4 es efectivamente d residuo En el ejemplo, al dividir x 4 x 0x 7x 5 entre x 5, determinamos que el cociente era x 4x 7 y el residuo era 0. En un problema de división, si el residuo es 0, el divisor y el cociente son factores del dividendo. En el ejemplo podemos escribir x 4 x 0x 7x 5 x 5 x 4x 7 o (x 5)(x 4x 7) x 4 x 0x 7x 5 Podemos utilizar el teorema del residuo para determinar si un binomio de la forma x a es un factor del polinomio P(x). Para esto, evaluamos P(a). Si P(a) 0, entonces x a divide al polinomio sin residuo y x a es un factor del polinomio. EJEMPLO 5 a) Demuestre, utilizando el teorema del residuo, que x es un factor de x 6x x 6 b) Determine el otro factor. Solución a) x x (). Si P() 0, entonces x es un factor del polinomio P(x) x 6x x 6 P() () 6() () Como P() 0, x es factor de x 6x x 6 b) Podemos determinar el otro factor utilizando la división sintética. El otro factor es x 4x. Así, x 6x x 6 (x )(x 4x ) En el ejemplo 5, en x, el valor del polinomio x 6x x 6 es 0. Por lo tanto, es una solución de la ecuación polinomial x 6x x CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

181 EJERCICIOS 5- (-) Divida utilizando la división sintética.. (x x 6) (x ). (x 4x ) (x 4). (x 5x 6) (x 6) 4. (x x ) (x 4) 5. (x 5x ) (x ) 6. (x 9x 5) (x 6) 7. (x 7x 0) (x 4) 8. (x 6x 4x 7) (x 5) 9. (4x x x) (x ) 0. (x 7x x 5) (x ). (x 7x 4x ) (x ). (x 4 5x 0) (x ). (5x 6x x 6) (x ) 4. (y 4 ) (y ) 5. (x 4 6) (x 4) 6. (x 4 x 5x ) (x ) 7. (y 5 y 4 0) (y ) 8. (z 5 4z 4 0) (z ) 9. (x x 4x ) x 0. (8x 6x 5x ) x 4. (x 4 x x x ) x. (9y 9y y ) y (-) Determine el residuo de las siguientes divisiones, utilizando el teorema del residuo. Si el divisor es un factor del dividendo, indíquelo.. (4x 5x 4) (x ) 4. (x x ) (x ) 5. (x 5x ) (x 4) 6. (x 6x 4) (x ) 7. (x x 4x 8) (x ) 8. (x 4x ) (x 4) 9. (x 6x x 4) x 0. (5x 6) x 5. (x 4 6x x x 76) (x ). (x 4 5x 6x 0) (x 5) (-4) Dado un polinomio P(x) y un valor x tal que P(x) 0, determine los factores de P(x) (revise el ejemplo 5).. P(x) 6x x 5, P() 0 4. P(x) 5x 9x, P() 0 5. P(x) x x x 0, P() 0 6. P(x) x x x 0, P(4) 0 7. P(x) x 6x 8x 0, P(5) 0 8. P(x) x 4x 8x, P(4) 0 9. P(x) x x x, P() P(x) 6x x x 5, P() 0 4. P(x) x x 5x, P 0 4. P(x) x 4x x 0, P 0 4. (a) Describa con su propias palabras como dividir un polinomio entre (x a), utilizando la división sintética. (b) Divida x x 4 entre x 5, utilizando el procedimiento de la parte (a). 44. (a) Enuncie el teorema del residuo con sus propias palabras. (b) Determine el residuo obtenido al dividir x 6x 4 entre x, utilizando el procedimiento enunciado en la parte (a). 45. Explique cómo puede determinar, mediante división sintética, si una expresión de la forma x a es un factor de un polinomio x. 46. Explique cómo puede determinar, mediante el teorema del residuo, si una expresión de la forma x a es un factor de un polinomio en x. 47. Dado P(x) ax bx c y un valor d tal que P(d) 0, explique por qué x d es una solución a la ecuación ax bx c Considere el trinomio 40x x 56 y los binomios x 8, x 8, x 7. Utilice el teorema del residuo para determinar cuál de los binomios es un factor del trinomio. Explique cómo determinó su respuesta. 49. Si un factor de P(x) es x 5x y si P() 0, determine P(x). Explique cómo determinó su respuesta. 50. Escriba un polinomio de tercer grado de cuatro términos que tenga un factor de x 4. Explique cómo obtuvo su respuesta. Existen muchas respuestas posibles. SECCIÓN 5- DIVISIÓN SINTÉTICA 7

182 Actividad en grupo y problemas para pensar En los ejercicios de a, explique su respuesta.. x es un factor de x 00 x x?. x es un factor de x 00 x x?. x es un factor de x 99 x x? 4. Divida (0.x 4x 0.x 0.64) por (x 0.4). 5. La división sintética puede utilizarse para dividir polinomios entre binomios de la forma ax b, a. Para calcular esta división divida ax b entre a para obtener x b a. 5-- DIVISIÓN SINTÉTICA (repaso) Después, coloque ba a la izquierda de los coeficientes numéricos del polinomio. Resuelva el problema como hemos explicado. Después de sumar los valores numéricos bajo la línea, divida todos, excepto el residuo, entre a. Después escriba el cociente del problema, utilizando estos números. (a) Utilice este procedimiento para dividir (9x 9x 5x ) por (x 5). (b) Explique por qué no dividimos el residuo entre a. En la división sintética, o división corta, cuando el coeficiente principal del divisor es diferente de se resuelve de la misma manera que cuando el coeficiente del divisor es igual a ; lo que cambia es que el cociente se tiene que dividir entre el coeficiente principal del divisor. EJEMPLO Encuentre el coeficiente y el residuo al dividir x x 4 4x entre x Solución C(x) x x 6x x R(x) EJEMPLO x. Solución Encuentre el cociente y el residuo al dividir x 6x 9x entre x 9x 0 C(x) 6x 9x R(x) 0 7 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

183 EJEMPLO Encuentre el cociente y el residuo al dividir x x 6x 4 x 5 entre x. Solución C(x) 6 x 9 x 6 x 9 x x x R(x) 8 EJEMPLO 4 Solución Encuentre el cociente y el residuo al dividir x 5 4 x x C(x) x R(x) 4 EJERCICIOS 5-- (-8) En cada caso encuentre el cociente y el residuo.. 4x 4x 7x 7 4x 7. x x 6x 4 4x x. 5 6x 9x x 5. 5 x 7x x 6. x 4x 4 7 x x 7. x 4 x 8. 5x 4x 7 6x 4x 4. x 4 4 5x 5x 5 5x 5- ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES Ecuaciones fraccionarias En esta sección resolveremos ecuaciones fraccionarias, que son aquellas que contienen una o más expresiones racionales. SECCIÓN 5- ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 7

184 Para resolver ecuaciones fraccionarias. Determine el m.c.d. de todas las fracciones en la ecuación.. Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d. Esto hará que todos los términos de la ecuación queden multiplicados por el m.c.d.. Elimine los paréntesis y agrupe los términos semejantes de cada lado de la ecuación. 4. Resuelva la ecuación utilizando las propiedades estudiadas en los capítulos anteriores. 5. Verifique su solución en la ecuación original. El propósito de multiplicar ambos lados de la ecuación por el m.c.d. (paso ) es eliminar todas las fracciones de la ecuación. Después de haber multiplicado ambos lados de la ecuación por el m.c.d., la ecuación resultante no debe contener fracciones. Omitiremos algunas de las verificaciones para ahorrar espacio. EJEMPLO Resuelva x x 7 Solución x x 7 Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., x x 7 Propiedad distributiva x 6x 7x x Verificación x x 7 () verdadera EJEMPLO Resuelva la ecuación 4 5 x x. 9 6 Solución Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., x x x x x 6x 7 4x 7 x 4 La verificación mostrará que 7 es la solución CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

185 EJEMPLO Resuelva la ecuación 4 x (x ). Solución Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., 4. 4 x (x ) 4 4 x 4[(x )] 4 4 x 4() 4[(x )] Advertencia: Si aparece una variable en cualquier denominador de una ecuación fraccionaria, es necesario verificar su respuesta en la ecuación original. Si la respuesta anula al denominador, no es solución de la ecuación. Estos resultados se llaman raíces o soluciones extrañas. x 4 4 4() 8(x ) x 8(x ) x 8x 6 7x 6 8 7x 4 x EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 4 x 5. Solución Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., x. Verificación 4 x x 4 x 5 x x() x 4 x 5 x 6x 8 5x x 8 0 x verdadera Como 8 da una proposición verdadera, ésta es la solución de la ecuación. SECCIÓN 5- ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 75

186 EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación x 7 x 4. Solución El m.c.d. es 4(x ). Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d. 4(x ) ( x7) 4(x ) ( x) 4 4(x 7) (x ) 4x 8 x x 8 x 0 x 0 La verificación mostrará que 0 es la solución. Como ya sabrá, las proporciones de la forma a b c d pueden multiplicarse en cruz para obtener a d b c. El ejemplo 5 es una proporción y también puede resolverse multiplicando en cruz, como en el ejemplo 6. EJEMPLO 6 Utilice la multiplicación en cruz para resolver la ecuación x 4 4. x Solución 4 x 4 x (x ) 4 (x 4) x 4x 6 x 6 x 9 x 9 La verificación mostrará que 9 es la solución a la ecuación. Ahora examinaremos algunos ejemplos con ecuaciones cuadráticas. Recuerde que las ecuaciones cuadráticas tienen la forma ax bx c 0, y que a 0. EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación x 7 x Solución x x 7 x x Multiplique ambos lados de la ecuación por x 76 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

187 x(x) x( ) 7x x x 7x x 7x 0 (x ) (x 4) 0 x 0 o x 4 0 x x 4 Verificación x x 4 x 7 x x 7 x (4) 7 Las soluciones son y 4 4 () verdadera 7 7 verdadera EJEMPLO 8 Solución Verificación x 6 Resuelva la ecuación x 5 7. x 6 x 6 Aplique la multiplicación en cruz para obtener x 5 7 x 6 x 6 (x 5)(x 6) 7(x 6) x 7x 0 7x 4 x 4x 7 0 (x x 6) 0 (x 6)(x 6) 0 x 6 0 o x 6 0 x 6 x 6 x 5 7 x 6 x 6 ( 6) , 7 no es un número real 0 Como 7/0 no es un número real, 6 es una solución extraña. De este modo, esa ecuación no tiene solución. SECCIÓN 5- ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 77

188 EJEMPLO 9 x 6 Resuelva la ecuación. x 4 x 4 Solución Si intentamos resolver esta proporción mediante una multiplicación en cruz, obtenemos x (x 4) 6(x 4), que se simplifica como x 4x 6x 64. Éste es un ejemplo de ecuación cúbica, ya que el exponente mayor de la variable x es. Como la solución de ecuaciones cúbicas va más allá del objetivo de este libro, debemos buscar otro procedimiento para resolver la ecuación original. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación original por el mínimo común denominador, x 4, resolvemos como sigue: x 6 (x 4) (x 4) (x 4) (x 4) x 6 x 6 0 Ésta es una diferencia de cuadrados (x 4)(x 4) 0 x 4 0 o x 4 0 x 4 x 4 Verificación x 4 x 4 x 6 x 4 x 4 x 6 x 4 x 4 (4 4 ) 4 6 (4) no es solución verdadera Como 4 anula al denominador, x 4 no es solución de la ecuación, sino una raíz extraña. La única solución de la ecuación es x 4. EJEMPLO 0 Resuelva la ecuación x x. 4 x x Solución Primero factorice x 4 x (x )( x ) x x Multiplique ambos lados de la ecuación por el m.c.d., (x )(x ). x (x )(x ) [ ] (x )(x ) (x )( x ) x x x (x )(x ) (x )(x ) (x )(x ) (x )( x ) (x ) (x ) x (x )(x ) (x )(x ) (x )(x ) (x )( x ) (x ) (x ) 78 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

189 x (x ) (x ) x x x 4 x x 4 x 4 x 6 La verificación mostrará que 6 es la solución a la ecuación. SUGERENCIA Algunos estudiantes confunden la suma y la resta de expresiones fraccionarias con la solución de ecuaciones fraccionarias. Al sumar o restar expresiones fraccionarias debemos escribir cada expresión con un denominador común. Al resolver una ecuación fraccionaria, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el m.c.d. para eliminar las fracciones de la ecuación. Considere los dos problemas siguientes: observe que el de la derecha muestra una ecuación, ya que contiene un signo de igualdad. Resolveremos ambos problemas. El m.c.d. de ambos es x(x 4). Suma de expresiones racionales x x 4 x Escribimos cada fracción con el m.c.d. x(x 4). Solución de ecuaciones racionales x x 4 x Eliminamos las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el m.c.d. x(x 4). x x x x 4 x x 4 x 4 (x)(x 4) x x 4 (x)(x 4) x x ( x ) ( x 4) x(x ) (x 4) x( x 4) x( x 4) x x x x x x x x ( x 4) x ( x 4) x 0 (x 4)(x ) 0 x xx x 4 0 o x 0 x( x4) x 5x x 4 o x x(x 4) Los números 4 y de la derecha hacen verdadera la proposición y son las soluciones de la ecuación. Observe que al sumar o restar expresiones fraccionarias, por lo general terminamos con una expresión algebraica. Al resolver ecuaciones fraccionarias, la solución será un valor o valores numéricos. La ecuación de la derecha también se resuelve multiplicando en cruz. SECCIÓN 5- ECUACIONES FRACCIONARIAS O RACIONALES 79

190 EJERCICIOS 5- (-48) Resuelva cada ecuación y verifique su solución.. 5 x. 0 k x 0 4. x 4 8 a 5. 9c b 8 b x z 8. 4x a 5 a. 6x 7 0 x 9 n n 0 5 x x w x x 8. y 5 y 5 9. x x 0. x x x 4 x 5 x 5. x x. 5y 5y x x 5 5. x 6 x y y 7. x 5 8. x 4 x 4 x 4 x 9. x x x 4 x 0 0. x x 6 x x 5. x x x x x. x 6 x x 7 9 x x 5. y y 4 y b 5 y 6. b b 5 c c 7. x x x 8. c a 9. a a x 40. x 9 x x x x x 9 4. x x x 5 x x x x 6 y 4. y y 4y 6 4 y y 5 x x x 4 x 7x 45. x x y y 46. y y y 5y 6 x x x x x x x x 49. a) Explique con sus propias palabras los pasos a seguir para resolver ecuaciones fraccionarias. b) Con el procedimiento de la parte (a), resuelva x la ecuación x x x. x Considere la ecuación. x x a) Explique por qué puede ser difícil resolverla multiplicando en cruz. b) Determine la solución de la ecuación. 5. Considere los siguientes problemas: Simplifique: Resuelva: x x x x 4 x, 4 x a) Explique la diferencia entre uno y otro. b) Explique cómo resolvería cada problema para obtener la respuesta correcta. c) Determine la respuesta correcta de cada problema. 80 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

191 5-4 ECUACIONES CON RADICALES Resolución de ecuaciones radicales que contienen un radical Una ecuación radical es una ecuación que contiene una variable en un radicando. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones radicales: x 4, y 4 9, x 4 x 8 Para resolver ecuaciones radicales. Reescriba la ecuación de modo que el radical que contiene la variable quede solo en un lado de la ecuación.. Eleve cada lado de la ecuación a una potencia igual al índice del radical.. Agrupe y sume los términos semejantes. 4. Si la ecuación aún contiene un término con una variable en un radicando, repita los pasos a. 5. Despeje la variable en la ecuación resultante. 6. Verifique todas las soluciones en las ecuaciones originales, para evitar la presencia de soluciones extrañas. Recuerde que una solución extraña es un número obtenido al resolver una ecuación, pero que no es solución de la ecuación original. Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento para resolver ecuaciones radicales. EJEMPLO Resuelva la ecuación x 6. Solución La raíz cuadrada que contiene a la variable se encuentra sola en un lado de la ecuación. Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. x 6 Verificación x 6 (x) (6) 6 6 x verdadero EJEMPLO Resuelva la ecuación x Solución x x 4 6 (x 4) 6 x 4 6 Aísle el radical que contiene la variable. Eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. Ahora despeje la variable. x Una verificación mostrará que es la solución. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 8

192 EJEMPLO Resuelva la ecuación x 4 6. Solución Como 4 está fuera del radical, primero reste 4 a ambos lados de la ecuación para aislar al radical. x 4 6 x Ahora eleve al cubo ambos lados de la ecuación. ( x) x 8 Una verificación mostrará que 8 es la solución. EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación x x. Solución ecuación. Como el radical ya está aislado, eleve al cuadrado ambos lados de la (x ) (x ) x (x )(x ) x x 6x 9 0 x 8x Ahora factorice x 8x 0 (x 6)(x ) 0 x 6 0 o x 0 x 6 x Verificación x 6 x x x x x (6) 6 () 9 verdadero falso Así, 6 es una solución, pero no es una solución de la ecuación. El es una raíz extraña, pues satisface la ecuación (x ) (x ), pero no la ecuación original, x x. SUGERENCIAS ÚTILES No olvide verificar sus soluciones en la ecuación original. Recuerde que cuando usted eleva ambos lados de una ecuación a una potencia, puede introducir soluciones extrañas. Considere la ecuación x. Observe lo que ocurre cuando eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación. x x x 4 8 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

193 Observe que la ecuación x 4 tiene dos soluciones, y. Como la ecuación original x sólo tiene una solución,, hemos introducido la solución extraña,. EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación x 5x 0. Solución En primer lugar, escriba la ecuación con la raíz cuadrada que contiene a la variable, aislada, de un lado de la ecuación. x 5x 0 5x x o 5x x Ahora eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación: (5x) (x ) 5x (x )(x ) 5x 4x x 9 0 4x 7x 9 0 (4x )(x 9) 4x 0 o x 9 0 4x x 9 x 4 Verificación x 4 x 9 x 5x 0 x 5x (9) () 0 La solución es 9. El valor 4 es una solución extraña. Resolución de ecuaciones que contienen dos expresiones radicales 5 0 falso verdadero Ahora analizaremos algunas ecuaciones que contienen dos expresiones radicales. EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación 4x 6 x x. Solución Como los dos radicales aparecen en lados diferentes de la ecuación, eleve al cuadrado ambos lados de la misma. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 8

194 (4x 6) (x x ) 4x 6 4(x x ) 4x 6 4x x 8 6 x 8 4 x x Una verificación mostrará que es la solución. EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación x 7x 4. Solución x 7x 4 ( x ) ( 7x 4) 7(x ) 7x 4 7x 54 7x 4 0x x 40 x 4 Eleve al cubo ambos lados de la ecuación Una verificación mostrará que la solución es 4. Como las expresiones radicales se pueden representar mediante exponentes fraccionarios, las ecuaciones radicales también se pueden dar con exponentes fraccionarios. Por ejemplo, podemos escribir el ejemplo 7 como (x ) / (7x 4) /. Para resolver esta ecuación, elevamos al cubo ambos lados de la ecuación, como lo hicimos en el ejemplo 7. [(x ) / ] [(7x 4x) / ] (x ) (7x 4) 7(x ) 7x 4 Éste es el tercer paso de la resolución en el ejemplo 7. Si usted continúa resolviendo el ejemplo, verá que x 4. Cuando una ecuación radical contiene dos términos radicales y un tercer término no radical, a veces necesitará elevar ambos lados de la ecuación a una determinada potencia dos veces para obtener la solución. En primer lugar, aísle un término radical. Después eleve ambos lados de la ecuación a una potencia dada. Esto eliminará uno de los radicales. A continuación, aísle el radical restante en un lado de la ecuación. Después, eleve ambos lados de la ecuación a la potencia dada una segunda vez. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 8. EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación 5x x. Solución Debe aislar un término radical en un lado de la ecuación. Comience sumando x a ambos lados de la ecuación para aislar 5x. Después eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación y sume los términos semejantes. 84 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

195 5x x (5x ) ( x ) 5x ( x )( x ) 5x x x ) (x ) 5x x x 5x x x Ahora aísle el término radical restante. Después de esto eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación y despeje x. x x (x) (x ) 4x 4(x ) 4x x 8 4x x 8 0 4(x x ) 0 4(x )(x ) 0 x 0 o x 0 x x Una verificación mostrará que y son soluciones de la ecuación. Interpretación gráfica de la solución de una ecuación radical En esta sección utilizaremos las gráficas de las funciones con raíz cuadrada como apoyo para explicar la resolución de una ecuación radical con una variable. Consideremos la ecuación x x, resuelta en el ejemplo 4. La solución fue 6. Suponga que graficamos cada lado de la ecuación por separado. Para esto, escribimos las dos funciones y x y y x. Ahora tenemos un sistema de ecuaciones. Graficamos ambas ecuaciones en los mismos ejes y determinamos el punto de intersección. Grafiquemos primero y x. Podemos determinar el dominio, calculando dónde x 0 (recuerde que el radicando de una raíz cuadrada debe ser mayor o igual que 0 para que la expresión represente un número real). x 0 x x Por lo tanto, el dominio de y x es {x x }. Adelante tenemos algunos valores para x y calculamos los valores correspondientes para y. La gráfica de y x aparece en la parte superior de la figura. La gráfica de y x es una línea recta. El dominio de la función es el conjunto de números reales. Enseguida seleccionamos algunos valores para x y determinamos los valores correspondientes para y. La gráfica de y x aparece en la parte inferior de la figura. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 85

196 y x y x x y x y 0 6 y x FIGURA Observe que las gráficas se intersectan en (6, ). La abscisa del par ordenado, 6, es la solución de la ecuación original. Esto concuerda con la solución obtenida en el ejemplo 4. Uso de la calculadora graficadora EJERCICIOS Utilice su calculadora para resolver las ecuaciones. Redondee las soluciones a décimas.. x 8 x 5. 0x x x 0 4x 95 Aplicaciones de las ecuaciones radicales Ahora analizaremos algunas de las muchas aplicaciones de los radicales. EJEMPLO 9 Un poste telefónico forma un ángulo recto, o 90, con el suelo (figura ). La longitud, l, de un cable desde la altura a sobre el poste hasta un punto a una distancia b desde la base del poste se puede determinar mediante la fórmula l a b. l a b FIGURA 86 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

197 Determine la longitud del cable que se conecta al poste a 40 pies sobre el suelo y está unido al suelo a 0 pies de la base del poste. Solución Si sustituye 40 en vez de a y 0 en vez de b en la fórmula, obtendrá l a b (40) (0) Así, el cable mide aproximadamente 44.7 pies. La fórmula utilizada en el ejemplo 9 es un caso particular del teorema de Pitágoras. La fórmula anterior se puede adaptar a muchas situaciones que implican triángulos rectángulos. EJEMPLO 0 El intervalo de tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa es el periodo del péndulo. El periodo de un péndulo, T, en segundos, se puede determinar mediante la fórmula T L, donde L es la longitud del péndulo en pies. Determine el periodo de un péndulo si su longitud es de 4 pies. Solución Sustituya 4 en vez de L y.4 en vez de en la fórmula. Si tiene una calculadora que tenga la tecla utilícela para introducir el valor de. T L (.4) 4 (.4)0.5. Así, el periodo es aproximadamente. segundos. Si tiene un enorme reloj del abuelo con un péndulo de 4 pies, éste tardará aproximadamente. segundos en dar una oscilación completa. EJEMPLO El área de un triángulo es A b bh. Si no conoce la altura, pero conoce la longitud de los tres lados, puede utilizar la fórmula de Herón para determinar el área. A S(S) a)(s b)(s c) donde a, b y c son las longitudes de los lados y S a b c Utilice la fórmula de Herón para determinar el área de un triángulo cuyos lados miden, 4 y 5 pulgadas. Solución El triángulo aparece en la figura. Sean a, b 4 y c 5. Primero determine el valor de S. S FIGURA SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 87

198 Ahora determine el área. A S(S a)(s b)(s c) 6(6 )(6 4)(6 5) 6()()() 6 6 El área del triángulo es de 6 pulgadas cuadradas. Despeje de una variable Si usted recibe una fórmula y se le pide despejar una variable en un radicando, siga el mismo procedimiento general utilizado para resolver una ecuación radical. Comience aislando la expresión radical. Después, eleve ambos lados de la ecuación a la misma potencia dada por el índice del radical. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo (b). EJEMPLO Una fórmula utilizada en estadística para determinar el error máximo de una estimación es E Z. n a) Determine E si Z.8, 5, y n 6 b) Despeje n en esta ecuación. Solución a) E Z n 6 b) Primero multiplique ambos lados de la ecuación por n para eliminar las fracciones. Después aísle n. Por último despeje n elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación. E Z n n(e) Z n n n(e) Z n Z E (n) Z E n Z E o n Z E EJERCICIOS 5-4 (-40) Resuelva y verifique su solución o soluciones. Si la ecuación no tiene soluciones reales, indíquelo.. x 5. x 9. x 4. x x 6. x x x 5 9. x 0. 6x 88 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

199 . x x 0. x x 4. 8x 4 7x 5. 5x 0 x x 8 4 x 7. 6x x x 9. x 9x x 0. x x 9 x. m 4m 0 m. 5a 0. x x 4 4. x x 5. x x 6. x 4 x 7. x 7 x 8. x x 5x x x. 8b 5 b 0. 4x 0. (x 5) / x (x 4x 6) / x 6 5. (r ) / (r 8) / 6. x 5 7. (5x 8) /4 (9x ) /4 8. (x 6) / 0 9. (x 4x 4) / x 0 (6-6) Utilice la fórmula dada en el ejemplo 9 para determinar la longitud del lado x pulg x 5 pulg pies 9 pies (6-65) Utilice la fórmula dada en el ejemplo 9 para responder. 6. Cuál es la longitud de cable que necesita un trabajador de la compañía telefónica para alcanzar la parte superior de un poste telefónico de 4 metros de altura, desde un punto que se encuentra a.5 metros de la base del poste? 64. La señora Song Tran coloca una escalera al lado de su casa. La base de la escalera está a metros de la casa y la escalera reposa sobre la casa, a 6 metros sobre el suelo. Cuál es la longitud de la escalera? 65. Un diamante oficial de béisbol es un cuadrado con 90 pies entre las bases. A qué distancia está la segunda base del plato de home? x 40. (5a ) /4 (a 6) /4 (4-5) Resuelva. Tendrá que elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación dos veces para eliminar todos los radicales (revise el ejemplo 8). 4. a a 4. x x 6 4. x x 44. x x 45. x 7 5 x y y 47. b 4 b x x r 0 r y y 5. x 4 x 0 5. x 8 x (5-60) Despeje la variable indicada en cada fórmula. 5. p v, despeje v 54. l 4r, despeje r 55. v gh, despeje g 56. v m E, despeje E 57. v F m R, despeje F 58. a x, 0 despeje x x m kv 0 despeje m 60. T L, despeje L 66. Si usted conoce el área de un cuadrado, la longitud de un lado se puede determinar mediante la fórmula s A. Determine el lado de un cuadrado que tiene un área de 64 pulgadas cuadradas. 67. Determine el lado de un cuadrado que tiene un área de 60 metros cuadrados. 68. Si conoce el área de un círculo, puede determinar su radio mediante la fórmula r A/. Determine el radio de círculo que tiene un área de 0 pulgadas cuadradas. 69. Sobre la Tierra, la velocidad de un objeto, en pies por segundo, después de caer libremente h pies se puede determinar mediante la fórmula V 64h. Determine la velocidad de un zapato después de que éste ha caído 80 pies. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 89

200 70. Determine la velocidad de un objeto después de que éste ha caído 50 pies. 7. Determine el periodo del péndulo si su longitud es de 8 pies. Utilice T L /. Consulte el ejemplo Determine el periodo de un péndulo de 40 pies. 7. Determine el área de un triángulo si sus tres lados miden 6, 8 y 0 pulgadas, respectivamente. Utilice A S(S a)( S b)( S c). Consulte el ejemplo. 74. Determine el área de un triángulo si sus tres lados miden 4, 0 y pulgadas. 75. Para cualquier planeta, su año es el tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta alrededor del Sol. El número de días terrestres en el año de un planeta dado, N, se calcula mediante la fórmula N 0.(R), donde R es la distancia media del planeta al Sol en milllones de kilómetros. Determine el número de días terrestres en el año del planeta Tierra, cuya distancia media al Sol es de 49.4 millones de kilómetros. 76. Determine el número de días terrestres en el año del planeta Mercurio, cuya distancia media al Sol es de 58 millones de kilómetros. 77. Cuando dos fuerzas, F y F, jalan formando un ángulo recto entre sí, como muestra la siguiente figura, podemos determinar la resultante o fuerza efectiva R, mediante la fórmula R F F. Dos autos intentan sacar otro auto del lodo, como se muestra a continuación. Si el auto A ejerce una fuerza de 600 libras y el auto B ejerce una fuerza de 800 libras, determine la fuerza resultante sobre el auto atascado en el lodo. 79. Una fórmula utilizada en el estudio del movimiento ondulatorio en aguas profundas es c gh, donde c es la velocidad de onda, H es la profundidad del agua y g es la acelaración debida a la gravedad. Determine la velocidad de la onda si la profundidad del agua es de 0 pies. (Utilice g pies/seg ). 80. La longitud de la diagonal de un sólido rectangular está dada por d a b c. Determine la longitud de la diagonal de una maleta 7 pulgadas de longitud, 5 pulgadas de ancho 9 pulgadas de profundidad. c a 8. Una fórmula que hemos mencionado y que será analizada con mayor detalle en breve es la fórmula cuadrática. d b x b ± b 4ac a a) Determine x cuando a, b 0, c 4. b) Determine x cuando a, b, c. c) Determine x cuando a, b 5, c. d) Determine x cuando a, b 4, c La velocidad de escape, o la velocidad necesaria para que una nave espacial escape del campo gravitacional de un planeta, se determina mediante la fórmula v e gr, donde g es la fuerza de gravedad de planeta y R es el radio del planeta. Determine la velocidad de escape de la Tierra, en metros por segundo, donde g 9.75 metros por segundo al cuadrado y R 6,70,000 metros 8. Considere la ecuación x x. Analice la ecuación y diga si puede determinar sus solución. 8. Considere la ecuacion x (x). Analice la ecuación y diga si puede determinar su solución. Explique su respuesta. 84. Considere la ecuación x x. Analice la ecuación y diga si puede determinar su solución. Explique. 85. Explique sin resolver la ecuación cómo puede determinar que x 0 no tiene solución. 86. Por qué es necesario verificar las soluciones de las ecuaciones radicales? 87. a) Resuelva la ecuación x 4. b) Grafique y x y y 4 y determine la abscisa del punto de intersección. c) Coincide la abscisa de la intersección con su respuesta de la parte (a)? 90 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

201 88. a) Resuelva la ecuación x x b) Grafique y x y y x y determine la abscisa de la intersección. c) Coincide la abscisa de la intersección con su respuesta de la parte (a)? 89. a) Considere la ecuación 4x x. Si igualamos cada lado de la ecuación a y, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. y 4x y x A continuación mostramos las gráficas de las ecuaciones del sistema. A partir de la gráfica, determine los valores que parecen ser las soluciones de la ecuación 4x x. Explique cómo determinó su respuesta. b) Sustituya los valores determinados en la parte (a) en la ecuación original y determine si son soluciones a la ecuación. c) Resuelva la ecuación 4x x en forma algebraica y vea si su solución concuerda con los valores obtenidos en la parte (a). 6 4 y 90. A continuación se muestra la gráfica de la ecuación y x. a) Cuál es el dominio de la función? b) Cuántas soluciones reales tiene la ecuación x 0? Enumere todas las soluciones reales. Explique cómo determinó su respuesta. 4 y 4 6 9) Considere la ecuación resuelta en el ejemplo 5, x 5 x 0 a) Revise el ejemplo y determine cuántas soluciones reales y cuántas soluciones extrañas tiene la ecuación. b) Si graficamos y x 5 x, cuántas intersecciones con el eje x tiene la gráfica? Dónde se presentan? Explique su respuesta. c) Cuál es el dominio de la función? d) Gratifique y x 5 x, trazando los puntos o utilizando una graficadora, y determine si es correcta su respuesta a la parte (b). x 4 6 x Actividad en grupo y problemas para pensar (-7) Resuelva:. (x 4x 4) / x 0. x 4 (x 4) /. 4x x x 5 x x 4. x x 5. x 5 x 5 6. x 9 x 7. (p ) / (5p p) / 8. a) Resuelva la ecuación x 4 x. b) Muestre, mediante una gráfica, que la ecuación no tiene soluciones reales. SECCIÓN 5-4 ECUACIONES CON RADICALES 9

202 (9-) Despeje n en cada una de las siguientes ecuaciones. 9. z x p p 0. z pq n n. Una fórmula utilizada para determinar la frecuencia de un resorte vibrante es f p m k adonde f es la frecuencia de oscilación en ciclos por segundo (también llamados hertz), k es la constante de rigidez del resorte y m es la masa del resorte. Determine la frecuencia resultante de un resorte con una constante de rigidez de 05 dinas/cm y una masa de 000 gramos. 5-5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones de la forma x a, a 0 Cuando resolvemos una ecuación de la forma x a, a 0, estamos encontrando los valores que están exactamente a a unidades del 0 en la recta numérica. Para resolver este tipo de problemas podemos utilizar el siguiente procedimiento: Resolución de ecuaciones de la forma x a Si x a y a 0, entonces x a o x a. EJEMPLO Resuelva la ecuación x 4. Solución Utilizando el procedimiento, se obtiene x 4 o x 4. El conjunto solución es { 4, 4}. EJEMPLO Resuelva la ecuación x 0. Solución El único número real cuo valor absoluto es igual a 0 es 0. Así, el conjunto solución para x 0 es {0}. EJEMPLO Resuelva la ecuación x. Solución El valor absoluto de un número nunca es negativo, así que no existen soluciones a esta ecuación. El conjunto solución es. EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación w 5. Solución A primera vista no parece ser de la forma x a. Sin embargo, hagamos w x y 5 a, entonces verá la ecuación de esta forma. Buscamos los valores de w tales que w esté exactamente a 5 unidades del 0 en la recta numérica. Así, w debe ser igual a 5 o 5. w 5 o w 5 w 6 w 4 w w 9 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

203 Verificación w w 5 w w 5 () 5 () verdadero 5 5 verdadero Cada una de las solicitudes y hacen que w esté a 5 unidades del 0 en la recta numérica. El conjunto solución es {, }. EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación z Solución Comience restando 4 de ambos lados de la ecuación para dejar sólo el valor absoluto en un lado de la ecuación. z z 6 Ahora proceda como antes. Escriba los dos casos. z 6 o z 6 z 8 z 4 z 4 z El conjunto solución es {6,}. Ecuaciones de la forma x y z z 6 Ahora analicemos ecuaciones con valor absoluto en las que hay un valor absoluto en ambos lados de la ecuación. Para resolver ecuaciones de la forma, utilice el siguiente procedimiento. Resolución de ecuación de la forma x y Si x y, entonces x y o x y. Cuando resuelva una ecuación que contenga una expresión con valor absoluto en cada lado del signo igual, las dos expresiones deben tener el mismo valor absoluto. Por lo tanto, las expresiones deben ser iguales entre sí, o ser opuestas entre sí. EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación z z 7. Solución Si dejan que z sea x y z 7 sea y, esta ecuación es de la forma x y Utilizando el procedimiento dado anteriormente, obtendrá las dos ecuaciones. z z 7 o z (z 7) SECCIÓN 5-5 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 9

204 Ahora resuelva cada ecuación. z z 7 o z (z 7) z 7 z (z 7) 0 z z 7 z 4 z 4 Verificación z 0 z 4 z z 7 z z 7 0 0(0) verdadero verdadero El conjunto solución es 0, 4. EJEMPLO 7 Solución Resuelva la ecuación 4x 7 6 4x. 4x 7 6 4x o 4x 7 (6 4x) 8x 7 6 4x 7 (6 4x) 8x 7 6 falso x 8 Como la ecuación 4x 7 (6 4x) es una proposición falsa, la ecuación con valor absoluto tiene una única solución. Una verificación mostrará que el conjunto solución es. 8 Resumen de los procedimientos para resolver ecuaciones y desigualdades con valor absoluto Para a 0. Si x a, entonces x a o x a. Si x a, entonces a x a. Si x a, entonces x a o x a. Si x y, entonces x y o x y. 94 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

205 EJERCICIOS 5-5 Encuentre el conjunto solución para cada ecuación.. x 5. y 7. x 4. x 0 5. x 6. x 5 7. x y x 4 0. x x. (y 4). 4(x ) 8 4. x z x 6 6. x x Encuentre el conjunto solución para cada ecuación. 9. x 4x 9 0. x x 4. 6x x 9. 4x 4x. 4 x x 5 4. x 5 x 5 5. x 5 x 6. r r Determine para qué valores de x la ecuación será verdadera. Explique su respuesta. 7. x x 8. x x 9. x x 0. x x. a) Explique cómo encontrar la solución de la ecuación ax b c. (Suponga que c 0 y a 0). b) Despeje x en esta ecuación. Actividad en grupo y problemas para pensar. Determine todos los valores de x y y tales que x y y x. (-4) Resuelva. Explique cómo determinó su respuesta.. x x. x x 4. x (x ) (5-8) Resuelva, considerando los signos posibles para x. 5. x x 6 6. x x 6 7. x x 6 8. x x FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES Dos cubos de distintos tamaños cumplen que la diferencia de sus volúmenes es igual a veces la diferencia de sus lados. Cuáles serán las dimensiones de los cubos si se sabe que las longitudes de sus lados son números enteros impares consecutivos? Solución Llamamos C y C a los dos cubos. Llamamos a la longitud del lado de C y a la de C. Entonces el volumen de C es y el de C es. Planteamos la ecuación: Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación anterior: ( ) () ( ) ( ) ( ) SECCIÓN 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES 95

206 Como los cubos son de distintos tamaños, entonces 0 y podemos dividir entre esta cantidad, con lo que obtenemos: ( ) () Ahora utilizaremos la hipótesis que nos falta por usar, es decir, que y son enteros impares consecutivos: n y n sustituimos estos valores en () y simplificamos: (n ) (n ) (n ) (n ) 4n 4n 4n 8n 4n n 9 El último producto es igual a cero si: n 0 o n n 4n n 4n 0 n n 0 n (n ) 0 Si n 0, entonces y Si n, entonces y son negativos. Como son los lados de los cubos, no se puede dar este caso. Verificación: Sustituimos y en la ecuación (): Lado izquierdo: 6 Lado derecho: ( ) ( ) 6 Para poder realizar la factorización de polinomios donde aparecen términos elevados al cubo, conviene recordar algunos productos: (a b) a a b ab b (a b) a a b ab b () a b (a b) (a ab b ) a b (a b) (a ab b ) EJEMPLO FACTORICE 8x 60x 50x 5. Solución Para factorizar este polinomio, observe el grado. Como es de tercer grado, vea si se trata del cubo de un binomio: 8x 60x 50x 5 (x) (0) x (50) x 5 (x) (x) 5 (x) 5 5 (x 5) 96 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

207 Verificación Desarrolle (x 5) : (x 5) (x) (x) 5 (x) (5) 5 8x 60x 50x 5 EJEMPLO FACTORICE 6x 6y 48xy x 8y. Solución Como el polinomio es de segundo grado en ambas variables y además hay término en xy, en x y en y, veamos si se trata del cuadrado de un trinomio: 6x 6y 48xy x 8y (6x) (4y) (6x) (4y) (6x) (4y) (6x 4y ) Verificación Desarrolle (6x 4y ) : (6x 4y ) (6x) (4y) () (6x) (4y) (6x) () (4y) () 6x 6y 48xy x 8y 6x 6y 48xy x 8y EJEMPLO FACTORICE x 6 y 6. Solución Observe que podemos identificar este polinomio como una suma de cubos: x 6 y 6 (x ) (y ) Ahora factorice esta suma de cubos: (x ) (y ) (x y ) ((x ) x y (y ) ) (x y ) (x 4 x y y 4 ) Verificación Efectúe el producto (x y ) (x 4 x y y 4 ): (x y ) (x 4 x y y 4 ) x 6 x 4 y x y 4 x 4 y x y 4 y 6 x 6 y 6 En el caso de polinomios de grado mayor o igual que puede ser difícil encontrar una factorización; sin embargo, en ocasiones puede lograrse utilizando los productos notables. Además de (), los que se usan con más frecuencia son: a 4 b 4 (a b) (a a b ab b ) a 4 b 4 (a b) (a a b ab b ) a 5 b 5 (a b) (a 4 a b a b ab b 4 ) a 5 b 5 (a b) (a 4 a b a b ab b 4 ) SECCIÓN 5-6 FACTORIZACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES 97

208 EJEMPLO FACTORICE z Solución Para poder factorizar este polinomio sume y reste el término 6x, para obtener un trinomio cuadrado perfecto menos otro polinomio, así: z 4 64 z z 6z z 4 6z 64 6z (z 8) 6z ((z 8) 4z) ((z 8) 4z) (z 4z 8) (z 4z 8) Verificación Efectuamos el producto (z 4z 8) (z 4z 8): (z 4z 8) (z 4z 8) z 4 4z 8z 4z 6z z 8z z 64 z 4 64 EJEMPLO FACTORICE x 8 y 8. Solución Observe que es posible identificar este polinomio como una diferencia de cuadrados: x 8 y 8 (x 4 ) (y 4 ) Ahora factorice como el producto de la suma por la diferencia y observe que el procedimiento puede repetirse como uno de los factores. Así: Por tanto, (x 4 ) (y 4 ) (x 4 y 4 ) (x 4 y 4 ) ((x y ) (x y )) (x 4 y 4 ) ((x y) (x y)) (x y ) (x 4 y 4 ) x 8 y 8 (x y) (x y) (x y ) (x 4 y 4 ) Verificación Efectúe los productos obtenidos: ((x y) (x y)) (x y ) (x 4 y 4 ) (x y ) (x y ) (x 4 y 4 ) (x 4 y 4 ) (x 4 y 4 ) x 8 y 8 98 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

209 EJERCICIOS 5-6 (-) Factorice las expresiones.. x 6 y 6. z 4 z 5. w a 0 b y 5 48y 6. y 7 7. z 9 8. x 4 69x 6 9. x ((w ) 4). y w x 6x x x 5x 5x 5 5. z 4 9z 7z 7z 6. 7a 6a 576a w 4w 97w r 64s 9. x 49y 4xy 6x 4y x 9y 0xy 70x 4y 49. 8x x y 6xy 4 y 6. 6a 8b 08ab 60a 90b 5. a 4 4a 6a 864a x y z 54x y z 8x y 5. x y xy 6. x y x y x y x 7. 5y 00y 40y x 4 4x y 6x y 4xy y z 4 8z 4z 8z 0. w 5 0w 4 40w 80w 80w 64. r r s r t 6rst rs rt s st s t t. x xy xz xw y yz yw z zw w. El lado de un cubo mide cm. El volumen de ese cubo más el volumen de otro cubo es igual a por la suma del lado del primer cubo más el lado del segundo. Encuentre cuántos centímetros mide el lado del segundo cubo. 4. Dos cubos son tales que el lado de uno de ellos es 6 unidades mayor que el otro. Si la diferencia de las áreas de una de las caras de cada cubo es igual a 4, cuál es la diferencia de los volúmenes de los cubos? 5. El volumen comprendido entre dos esferas concéntricas es igual a 4 cm. Cuál es el volumen de la esfera pequeña, si se sabe que su radio es cm menor que el radio de la grande? 6. Dos números enteros consecutivos satisfacen que la diferencia del cubo del mayor menos el cubo del menor es igual a 7. Encuentre dichos números. 7. Dos números enteros consecutivos satisfacen que la suma de sus cubos es igual a más el doble del menor. Encuentre dichos números. 8. Dos números enteros consecutivos pares satisfacen que la diferencia del mayor elevado a la cuarta, menos el menor elevado también a la cuarta es igual a 80 veces la suma de más el producto de la mitad del mayor por el menor. Encuentre dichos números. 9. Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del número 99 en dicho sistema sea 00? 40. Qué base debe tener el sistema de numeración para que la representación del número 64 en dicho sistema sea,000,000? 5-7 DESPEJE DE FÓRMULAS Objetivo: Que el estudiante pueda aislar una variable. EJEMPLOS a) B 4a 6C Despejar a R/ a (B 6C)/(4) o a (B C)/ b) B 4 C a Despejar B R/ B C ( 4/a) c) c a a 4 m Despejar b R/ b m b 4 /c SECCIÓN 5-7 DESPEJE DE FÓRMULAS 99

210 d) p q m n Despejar q R/ q c (m n p) c dm e) (a b) C dm C Despejar C R/ C a b f) xy 5 ay x Despejar y R/ y x 5 x a g) p m a Despejar p R/ p a q m p q a h) k 5 m p y x Despejar m R/ m c (y x ) k p c 5 o m c (y x) k p 5 i) 4 (A a) b B Despejar a R/ a 4 B A 4b j) 4 (A a) b B Despejar b R/ b B A 4a c d k) B (a b) d Despejar b R/ b d d c c l) K p m K p m Despejar m R/ m n n B d a c m) m n d b a d Despejar m R/ m an b n) m n d b a d b Despejar n R/ n m a ñ) (A b) p (B b) / c D Despejar p R/ p D (B b)/c A B o) (A b) p (B b) / c D Despejar b R/ b cd Acp pc p) (A b) p (B b) / c D Despejar A R/ A D (B b)/c bp p q) (A b) p (B b) / c D Despejar c R/ c cd Acp b cp r) (a b) (A ) n (a b) Despejar A R/ A B m n m n m m 00 CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

211 5-8 PORCENTAJES En las elecciones para la sociedad de alumnos, Juan obtuvo 4% de los votos. Si votaron 850 alumnos, cuántos votaron por él? Solución Llame x a los alumnos que votaron por Juan. 4% significa 4 de cada 00, así que igualamos las razones, 4 x alumnos que votaron por él total de alumnos Resuelva la ecuación: 4 x x 89 x Juan recibió 89 votos. El signo % significa por cada cien o centésimos. Un porcentaje puede expresarse como fracción o como decimal. Así, por ejemplo, 4 4% Observe, en el ejemplo anterior, que para encontrar el 4% de 850, multiplicamos 850 por 0.4; ésta es la manera más común de obtener la cantidad correspondiente a un porcentaje. EJEMPLO Escriba como un porcentaje. 4 Solución Resuelva la ecuación: Entonces: Llame x al porcentaje buscado. Iguale las razones: 4 x 00 4 x x 4 75 x % 00 SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES 0

212 EJEMPLO Encuentre el 7% de Solución EJEMPLO Encuentre el 40% de 6. Solución EJEMPLO 4 Una ración de sardinas contiene 9 gramos de proteína y corresponde al 40% de los requerimientos diarios de proteína de un adulto. Cuáles son los requerimientos diarios de proteína de un adulto? Solución Llame x a la cantidad total de proteína requerida. Iguale las razones: x Resuelva la ecuación proteína de la sardina total de proteína x 40x 9 00 x x 47.5 Los requerimientos diarios de proteína son de 47.5 gramos. Comprobación Si x 47.5, entonces: 40 Lado izquierdo: 0.40; lado derecho: x EJEMPLO 5 Qué porcentaje de 50 representa 4? Solución Llame x al porcentaje buscado. Iguale las razones: x Resuelva la ecuación: x x x 4 4 es el 4% de 50. Verificación CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

213 EJEMPLO 6 De qué número es 78 el 65%? Solución Llame x al número que representa al 00%. Iguale las razones: x Resuelva la ecuación: x 65x 78(00) x x 0 78 es el 65% de 0. Verificación EJEMPLO 7 El precio del café aumentó de $00 a $0 el kilo. Qué porcentaje aumentó? Solución Reste las dos cantidades para saber la cantidad que aumentó, es decir, $0. Llame x al porcentaje buscado y compare la cantidad que aumentó el precio con el precio original. 0 x x 00 0 x Entonces, el porcentaje incrementado es 0%. EJEMPLO 8 Cuántos litros de una solución ácida al 65% hay que añadir a litros de una solución ácida al 5% para hacer una solución ácida al 40%? Solución Recuerde que si una solución de L litros tiene una concentración de P% de ácido, entonces hay: L P 00 litros de ácido puro en la solución. Plantee dos ecuaciones, una para la cantidad de solución y otra para la cantidad de ácido. Llame w a la cantidad de solución añadida. SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES 0

214 Cantidad original Cantidad añadida Cantidad final Solución: w w Ácido: (0.5) w (0.65) (0.5) w (0.65) Como desea que la solución final tenga una concentración de 40%, tenemos: ( w) (0.40) (0.5) w (0.65) Resuelva la ecuación: ( w) (0.40) (0.5) w (0.65) w w w 0.4w w. 05 w w Entonces, hay que añadir 4. litros de solución ácida. Verificación Si w 4., entonces: Lado izquierdo: ( w) (0.40) ( 4.) (0.40) 0.08 Lado derecho: (0.5) w (0.65) 7.5 (4.) (0.65) EJERCICIOS 5-8 (-0) Escriba las siguientes fracciones como porcentajes (-4) Resuelva los siguientes ejercicios.. Encuentre el 5% de 4.. Qué porcentaje de 5 representa 45?. De qué número es el 0%? 4. Encuentre el 4 % de Qué porcentaje de 70 representa 8? 6. De qué número es 55 el 0%? 7. Encuentre el 0% de Qué porcentaje de 5 representa 0.9? 9. De qué número es 78 el 50%? 0. Encuentre el 7% de 5.. Qué porcentaje de representa 6?. Qué porcentaje de 8 representa?. Encuentre el.5% de Qué porcentaje de 50 representa 0? 5. Qué porcentaje de representa 6? 6. Encuentre el % de Encuentre el 04% de De qué número es 47 el 5%? 9. Qué porcentaje de 4 representa 4.8? 0. Encuentre el 40% de CAPÍTULO 5 TEMAS SELECTOS

215 . De qué número es 4 el 4%?. De qué número es el 5%?. Qué porcentaje de 75 representa 77.5? 4. De qué número es 86 el %? 5. Si se diluyen 50 gramos de azúcar en 5 litros de agua, cuántos litros de agua hay que añadir para que la mezcla contenga 8 gramos de azúcar por litro? 6. Una tienda departamental anuncia que aportará para la construcción de escuelas $ por cada $50 que venda de cierto artículo. Si la aportación durante el primer mes fue de $,000, qué cantidad recibió por la venta del artículo mencionado? 7. La sociedad de ex alumnos de una escuela organizó el año pasado una posada a la que asistieron 40 personas. A la posada de este año aistieron 567. En qué porcentaje aumentó la asistencia? 8. Cuántos litros de una solución ácida al 0% hay que añadir a 4 litros de una solución ácida al 40% para hacer una solución ácida al 0%? 9. En 400 ml de leche materna, 5 ml son proteína, grasa y azúcar, y el resto es agua. Qué porcentaje es agua? 40. En 670 m de aire hay 40.7 m de oxígeno. Qué porcentaje del aire es oxígeno? 4. Un capital de $5000 se invirtió al % de interés anual durante un año, y se reinvirtió, junto con los réditos obtenidos, otro año al 4% de interés anual. Cuál es el valor de la inversión al terminar el segundo año? 4. Dos recipientes contienen agua salada, uno al 0% y el otro al %. Qué cantidad habrá que tomar de cada uno para obtener 60 ml de agua salada al %? 4. Un paquete de galletas muestra en el empaque la lista de ingredientes en la que dice que 7.6% es huevo. Si el pa- quete pesa 5 gramos, qué cantidad de huevo contiene? Si contiene.5 gramos de leche descremada, qué porcentaje de leche contiene? 44. El peso del vapor de agua es el 6.5% del peso del aire. Si litro de vapor de agua pesa gramos. Cuánto pesa un litro de aire? 45. El hidrógeno pesa el 6.9% del peso del aire. Qué cantidad de hidrógeno hay en un globo de 50 m de capacidad, si el decímetro cúbico de aire pesa. gramos? 46. Una tela de 90 cm de ancho encoge 0% de largo y ancho al lavarla. Cuánto debe comprarse para que una vez lavada el área sea de.87m? 47. Si el 7% del agua de mar es sal, cuántos gramos de agua hay que evaporar para obtener un kilo de sal? 48. Una inversión inicial de $7400 se convirtió en $9000 al cabo de un año. Cuál era la tasa de interés a la que estuvo invertida? 49. Si se combinan una onza troy de plata y una onza de plata libertad, qué ley tendrá la mezcla, si se sabe que la onza troy tiene ley 0.95 y la onza libertad tiene ley 0.999? La ley indica el porcentaje de plata pura que contiene la moneda. Por ejemplo, en una onza troy el 9.5% es plata pura. 50. Al llegar a la tienda, Lucía observa que su perfume favorito tiene una etiqueta que dice: precio $65,0% de descuento más IVA. a) Cuánto debe pagar por el perfume? b) Si el precio normal es $65 más IVA, cuánto ahorrará si decide comprarlo? 5. Un terreno de 60,000 m está sembrado de trigo, avena y sorgo. El 60% está sembrado de trigo, el 5% de avena y el resto de sorgo. Cuántos metros cuadrados están sembrados de cada cereal? SECCIÓN 5-8 PORCENTAJES 05

216

217 CAPÍTULO 6 Progresiones geométricas y aritméticas puntos puntos regiones 4 regiones 4 puntos 5 puntos 8 regiones 6 regiones Sucesiones y series Puede decir cuál número sigue en esta sucesión?, 4, 7, 0,... Si suponemos que continúa el comportamiento que se emplea para obtener un término nuevo a partir del anterior, es claro que el siguiente término es ; cada término, después del primero, se obtiene sumando al término anterior. Éste es un ejemplo de una sucesión aritmética. Veamos una sucesión interesante, cuyos términos se determinan como sigue. Se toma un círculo y se ubican puntos en su periferia, después, después 4 y se continúa de este modo, cada vez con un punto más que antes. Se unen los puntos con rectas, de todas las maneras posibles, y se cuenta la cantidad de regiones no traslapadas formadas dentro del círculo. El número de las regiones que así se forman son los términos de una sucesión, y los cuatro primeros términos son, 4, 8 y 6, como se muestra en la figura anterior. Después del primer término,, cada uno de los siguientes se puede obtener multiplicando por el anterior. Continúa este comportamiento? Es (6) el siguiente término? Trace un círculo con 6 puntos y únalos de todas las maneras posibles. Cuente la cantidad de regiones no traslapadas. Fueron? Si no es así, cuál es su reacción? T EMARIO 6- SUCESIONES 6- SUMAS DE SUCESIONES FINITAS 6- PROGRESIONES ARITMÉTICAS 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 6-6 INDUCCIÓN MATEMÁTICA 07

218 6- SUCESIONES Se puede emplear la misma ecuación para definir una variedad de funciones, cambiando el dominio. Por ejemplo, a continuación vemos las gráficas de tres funciones, y todos los valores de sus rangos están expresados por la ecuación y x, para los dominios indicados. El tipo de función que estudiaremos en este capítulo tiene como ejemplo la gráfica anterior, la de la derecha, en la cual el dominio está formado por los enteros consecutivos,,, 4, 5 y 6. A este tipo de función se le llama sucesión. a n se lee a sub ene, a subíndice ene o a ene, y tiene el mismo significado que la notación funcional a(n), que es a de ene. DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Una sucesión es una función, cuyo dominio es un conjunto de enteros positivos consecutivos. En lugar de usar la variable x, lo normal es emplear letras como n, k o i para la variable del dominio de una sucesión. Con frecuencia representaremos a las sucesiones (funciones) mediante letras minúsculas, como a, y los valores del rango mediante a n, que también se llaman términos de la sucesión. Muchas veces, las sucesiones se especifican enunciando su término general o enésimo término. Así, el término general de la sucesión, que antes era y x,se vuelve a n n. EJEMPLO Determine los valores del rango de la sucesión definida por a n n para el dominio {,,, 4, 5} y grafíquelos. Solución Los valores en el rango y la gráfica son los siguientes: Éste es un ejemplo de una sucesión finita, porque el dominio es finito. Esto es, el dominio es un conjunto de enteros positivos que tiene un último elemento. a a a a 4 4 a CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

219 EJEMPLO Haga una lista de los seis primeros términos de la sucesión representada por b k ( ). k k Emplee el enésimo término dado y sea k,,, 4, 5 y 6, respectiva- b ( ) b 4 ( ) Solución mente. b ( ) 4 b ( ) b ( ) 9 b ( ) PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Escriba los cinco primeros términos de la sucesión dada.. a n n. a n n. a n n 4. b k ( ) k 5. b k k k 6. b k k(k ) 7. c n 8. c n(n ) n n 9. c n () n A veces una sucesión se determina mediante descripción verbal. Si por ejemplo, se pide la sucesión creciente de enteros impares que comienza con, lo anterior implica la sucesión infinita cuyos primeros términos son Éste es un ejemplo de una sucesión infinita, porque el dominio es infinito. Esto es, el dominio está formado por todos los enteros positivos.,,,... También se puede definir una sucesión presentando una lista de los primeros términos, en la que quizá se incluya el término general. La sucesión anterior se puede representar por,,,..., n 5,... EJEMPLO Determine el décimo término de la sucesión, 4, 5,...,, n,... n Solución Ya que el primer término,, se obtiene haciendo n en el término n general, el décimo término es n 0 a 0 ( 0) 7 EJEMPLO 4 Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión representada por a n n n. Cuando sea necesario, redondee a dos decimales. SECCIÓN 6- SUCESIONES 09

220 Solución a a a 4 6 a Los términos de la sucesión del ejemplo 4 se hacen más y más grandes, pero el aumento de uno a otro se hace más y más pequeño. Esto es, las diferencias entre los términos sucesivos son decrecientes: a a 0.5 Con una calculadora compruebe los valores de la siguiente tabla, con una precisión de cuatro decimales. a a 0. a 4 a 0.07 n ,000 a n n n Si se calcularan más términos de a n n n,vería que aunque siguen creciendo los términos, la cantidad de incremento para cada nuevo término sigue disminuyendo. Sucede que, independientemente de lo grande que sea n, el valor de n n nunca es mayor que.7. De hecho, mientras mayor sea n, n n se acerca más y más al valor irracional e.788. Las sucesiones también se pueden definir recursivamente, lo cual significa que se da (como dato) el primer término, y el enésimo término, a n, se define en función del anterior, a n. Veremos esto en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5 mediante Sea a n el enésimo término de una sucesión definida recursivamente a 6 a n a n 7 para n Determine los cinco primeros términos de esta sucesión. Solución Observe que cada término en una sucesión recursiva, excepto el primero, se obtiene a partir del término anterior de acuerdo con una regla especificada. Así, a menos que se indique otra cosa, una sucesión recursiva es una sucesión infinita. a 6 a a a a a 4 a a 5 a CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

221 EJERCICIOS 6- El dominio de la sucesión de cada ejercicio está formado por los enteros,,, 4 y 5. Escriba los valores correspondientes del rango.. a n n. a n 0 n. a k ( ) k 4. b k 6 k 5. b i 8 i 6. b i i Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión definida por la fórmula en cada ejercicio. 7. c k ( ) k k 8. c j j 0 9. c j j 0 0. a j j 0. a j j 0. a n ( ) n n. c n n 4. a n n n 4 n 5. a k (k 0) 6. a k () k 7. a n (n ) () 8. a n a (n ) (d) 9. b i i i 0. b i 64 /i. b n n n. u n n. u n 4 n 4. u k a r k 5. x k k k k 7. x k k k k 6. x n ( ) n n n 8. y n n n n 9. y n 4 0. y n (n ) (n ). Calcule el sexto término de,, 5,..., ( n ),.... Calcule el noveno y décimo términos de 0, 4, 0,..., n (), n... n. Calcule el séptimo término de a k (0.) k 4. Calcule el vigésimo término de a n () n 5. Calcule el duodécimo término de a i i 6. Calcule el duodécimo término de a i (i ) 7. Calcule el duodécimo término de a i ( i) n 8. Calcule el centésimo término de a n n 5n 4 9. Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión creciente de enteros pares que comienza con Escriba los cuatro primeros términos de la sucesión decreciente de enteros impares que comienza con. 4. Escriba los cinco primeros múltiplos de 5 y deduzca la fórmula del enésimo término. 4. Escriba las cinco primeras potencias de 5 y deduzca la fórmula del enésimo término. 4. Escriba las cinco primeras potencias de 5 y deduzca la fórmula del enésimo término. 44. Escriba los cinco primeros términos de la sucesión de recíprocos de los enteros negativos y deduzca la fórmula del enésimo término. 45. A los números,, 6 y 0 se les llama números triangulares, porque corresponden a la cantidad de puntos en los arreglos triangulares que vemos abajo. Determine los siguientes tres números triangulares. 46. Cuando una inversión devenga interés simple, quiere decir que sólo gana interés el capital original. Por ejemplo, si se invierten P dólares en un banco que paga interés simple a la tasa anual de r por ciento, entonces el interés en el primer año es Pr, y el depósito en el banco al final del primer año es P Pr. Para el segundo año, el interés es nuevamente Pr; el depósito ahora sería (P Pr) Pr P Pr. a) Cuál es la cantidad disponible después de n años? b) Cuál es la cantidad en el banco si una inversión de $750 ha estado ganando interés simple durante 5 años a la tasa anual de %? c) Si la cantidad en el banco es $595 después de años, cuál fue la inversión original, P, si ha estado ganando interés simple a la tasa anual de %? 47. Determine los ocho primeros términos de la sucesión definida recursivamente por a y a n a n para n. 48. Determine los seis primeros términos de la sucesión definida recursivamente mediante a 6 y a n para an n. 49. Escriba los ocho primeros términos de a n ( ) in. n SECCIÓN 6- SUCESIONES

222 50. a. Escriba los siete primeros términos de a n n!, donde n!, se lee ene factorial y está definido por n! n(n ) (n ) b. Si a n ( n)! a, ( n!) demuestre que n n. a n n 5. Escriba los primeros cuatro términos de a n 5 (n ) (n ) 4 (n ) (n) RETO REDACCIÓN EJERCICIOS PARA CALCULADORA GRAFICADORA Deduzca una fórmula para el enésimo número triangular. (Sugerencia: Revise el ejercicio 45 de la sección 6- y la cantidad adicional de puntos en cada figura nueva). Cite el concepto de función y explique lo que quiere decir sumar dos sucesiones y multiplicar dos sucesiones. Cuando se especifica una sucesión mediante una función de la forma a n f(n), podemos estudiar el comportamiento de ella graficando la función. Las variables RANGE se deben ajustar de tal modo que los n enteros correspondan a píxeles de la pantalla, y el MODE se debe poner en DOT o en DISC. Con ello se tendrán todavía más puntos que los que corresponden a los enteros, naturalmente, y en especial si usted no desea una n muy grande. Sin embargo, si su calculadora permite el empleo de operadores relacionales (consulte su manual), al graficar la función y f(x)*(x-ipart x 0) tan sólo se graficarán los puntos en los que x es entero. (Nota: IPart parte entera de ). Con esta técnica, si su calculadora la permite, calcule los primeros 0 términos de las sucesiones de los ejercicios al 5. En su gráfica haga la diferencia de los puntos de la sucesión y los demás puntos graficados, si es que los hay.. a n n. a n n n. a n (n ) (n ) 4. a n ( ) n n 5. a n ( /n) n 6. La sucesión de los números de Fibonacci se puede definir recursivamente mediante a n a n a n, a a. Por consiguiente, los 5 primeros términos son,,, y 5. a. Determine los primeros 0 números de Fibonacci. b. Los términos de la sucesión también se pueden definir como a n (5) (( 5)) n (5) (( 5) n Compruebe lo anterior para n 8, 9 y 0. c. Determine la sucesión de cocientes q n a n /a n de los números de Fibonacci hasta n 0, redondeando a cuatro decimales cuando sea necesario. Los cocientes q n se acercan más y más a un número llamado razón dorada. Cuál es ese número, con precisión de un milésimo? CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

223 6- SUMAS DE SUCESIONES FINITAS Cuánto tardaría el lector en sumar los enteros del al 000? He aquí un método rápido. Haga una lista de la sucesión que contenga los primeros y los últimos términos:,,,..., 998, 999, 000 Sumemos por pares, el primero más el último, el segundo más el penúltimo, y así sucesivamente. Se dice que Karl Friedrich Gauss ( ) descubrió cómo calcular estas sumas cuando tenía 0 años. Como hay 500 pares de esos que se suman, el total es 500 (00) 500,500 En cualquier sucesión finita podemos sumar todos sus términos y decir que se calcula la suma de la sucesión. Esta suma de una sucesión se llama serie. Por ejemplo, la sucesión se puede asociar con la serie,, 5, 7, 9, La suma de los términos de esta serie, se puede calcular con facilidad y el resultado es 6. Otro ejemplo: la sucesión a n, donde n,,, 4 y 5, tiene la suma n EJEMPLO Calcule la suma de los siete primeros términos de a n n. Solución a a a a 4 a 5 a 6 a Sólo piense que sigma es el comando para sumar. Existe un símbolo muy útil para expresar la suma de una sucesión, la sigma mayúscula,. Por ejemplo, podemos representar la suma de los siete primeros términos de la sucesión cuyo término general es a k como 7 k a k ; esto es, 7 k a k a a a a 4 a 5 a 6 a 7 SECCIÓN 6- SUMAS DE SUCESIONES FINITAS

224 Los términos a k se suman usando valores consecutivos de k, desde k hasta e incluyendo k 7. Con este simbolismo, se puede formular entonces la pregunta del 7 k ejemplo pidiendo el valor de k. Observe que la variable del dominio, k, de la sucesión dada se transforma en el índice de la sumatoria en esta notación. NOTACIÓN DE SUMATORIA Para una sucesión cuyo término general es a k, la suma de los n primeros términos se puede representar como sigue n k a k a a a... a n El índice de la suma es k; la suma comienza con k y termina con k n. 5 n EJEMPLO Calcule para b n para b n. n Solución 5 n n b n b b b b 4 b 5 Ahora reemplazamos cada b n por su valor numérico: 5 n b n EJEMPLO Calcule (k ). Solución En este caso se sobreentiende que debemos determinar la suma de los cuatro primeros términos de la sucesión, cuyo término general es a k k. 4 k 4 k (k ) ( ) ( ) ( ) ( 4 ) En el ejemplo, la sigma representa la suma de los números impares, de a 9. Cómo se puede modificar la sigma para que exprese los cinco primeros números impares? 4 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

225 EJEMPLO 4 Calcule x i, en la cual x i () i (i ). Solución x i x x x x 4 x 5 () ( ) () ( ) () ( ) PRUEBE SU COMPRENSIÓN Evalúe cada suma. 5 k () 4 (4 ) () 5 (5 ) (Encuentre las respuestas al final del libro).. (4k). (k ). (k k) 6 n 5 i 5 i 5 k 4 n 5 k 4 n 4. ( ) n 5. (n n) 6. ( ) n Nota: En algunos de los siguientes ejercicios, la suma se inicia con valores de i, n o k distintos de. Vea, por ejemplo, los ejercicios 8,, 4, 5 y 0. Cuando se puede determinar el término general de una serie dada, esa serie se puede reformular con la notación de sumatoria. Por ejemplo, como la serie es la suma de los primeros siete múltiplos de, se puede escribir como n. n EJERCICIOS 6- Calcule la suma de los cinco primeros términos de la sucesión representada por la fórmula de cada ejercicio.. a n n. a k () k k. a i i 4. b i i 5. b k 0 k 6. b n 6 (n ) 8 n 7. Calcule t n siendo t n n 8 8. Calcule x n siendo x n n n 0 9. Calcule y k siendo y k Calcule las siguientes sumas, para n n n (9n 6).... n Evalúe cada suma (5k) 5. 5 k k 0 k k SECCIÓN 6- SUMAS DE SUCESIONES FINITAS 5

226 4 n 6. (n n) 7. n n (i i k ) 9. k t 7 k 0. () k. () k 7 k. (k 5). [ (j )5] 4. 0 k 5. k 5 k 6. 4 k 7. () i i 8. n n n n 9. n 0 k n n 8 0. () k. (0.) k k 0 Reformule cada serie con la notación de sumatoria n n 6. Lea lo expuesto al principio de esta sección, cuando calculamos la suma de los primeros 000 enteros positivos, y deduzca una fórmula para la suma de los n primeros enteros positivos, cuando n es par. k 7. a) Calcule (k ) para cada uno de los siguientes valores de n:,,4,5 y 6. b) Basado en los resultados de la parte (a), deduzca una fórmula de la suma cuando n son los primeros enteros impares positivos. 8. La sucesión,,,, 5, 8,,... se llama sucesión de Fibonacci. Sus dos primeros términos son uno, y en adelante cada término se calcula sumando los dos primeros. a) Escriba los siete términos siguientes de esa sucesión. b) Sea u, u, u,..., u n,... la sucesión de Fibonacci. n k Calcule S n u k con los siguientes valores de n:,,, 4, 5, 6, 7, 8. 4 n k 8 k 6 j k 4 i n k 4 n n c) Note que u u u, u u 4 u, u u 5 u 4,y así sucesivamente. Use esta forma para los primeros n enteros y deduzca una fórmula para la suma de los primeros n números de Fibonacci. 9. Sea a n una sucesión con a, y a m a n a m n, donde m y n son enteros positivos cualesquiera. Demuestre que a n n para toda n Demuestre que log 0 k (Sugerencia: log k 0 a b log 0 a log 0 b) 4. Demuestre que s k t k (s k t k ) 4. Demuestre que cs k c s k, donde c es una constante. 4. Demuestre que (s k c) s k nc, donde c es una constante a) Evalúe, empleando el resultado k(k ) k(k ) k k. k b) Con la identidad citada en la parte (a), demuestre que n c) Escriba k k sin la notación de sumatoria k y muestre, cuando menos, los tres primeros y los tres últimos términos. Con ello podrá simplificar la sumatoria. (Nota: a esa suma se le llama suma telescópica. Puede comprender por qué se llama así?) 45. a) Use la identidad k (k ) k, para demos- k 0 trar que 7 5 k (k ) k n b) Escriba k k sin la notación sumatoria y k k n k n k n k n k n k n k n k muestre, cuando menos, los cuatro primeros y los cuatro últimos términos. A continuación, simplifique la sumatoria. 6 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

227 REDACCIÓN Se tiene la sucesión a k c para toda k; evalúe su respuesta. n k c, y explique cómo llegó a 6- PROGRESIONES ARITMÉTICAS Veamos los cinco primeros términos de la sucesión a n 7n : 5,, 9, 6, Observa algún comportamiento especial? No tarda uno mucho en darse cuenta que cada término después del primero es el término precedente aumentado en 7. Esta sucesión es un ejemplo de una progresión (sucesión) aritmética. Una progresión aritmética también se llama sucesión aritmética. DEFINICIÓN DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se dice que una progresión es aritmética si cada término, después del primero, se obtiene del término precedente sumándole un valor común. Veamos los cuatro primeros términos de dos progresiones aritméticas distintas:, 4, 6, 8,... Puede usted determinar el enésimo término de la progresión aritmética,, 7, 6,...?,,,,... Para la primera progresión, el valor común (o diferencia) que se suma a cada término para obtener el siguiente es. Es fácil ver que 0, y 4 serán los tres términos siguientes. El lector puede suponer que el enésimo término es a n n. La segunda progresión tiene la diferencia común. Esa diferencia se puede determinar restando el primer término del segundo, o el segundo del tercero, etc. El enésimo término es a n n. A diferencia de las sucesiones anteriores, no siempre es fácil ver cuál es el enésimo término de la progresión aritmética específica. Por consiguiente, ahora desarrollaremos una fórmula general que haga posible conocerlo. Sea a n el enésimo término de una progresión aritmética, y sea d la diferencia común. Entonces, los cuatro primeros términos son: a a a d a a d (a d) d a d a 4 a d (a d) d a d La pauta es clara. Sin más cálculos podemos ver que a 5 a 4d, y que a 6 a 5d Esta fórmula nos dice que el enésimo término de una progresión aritmética queda determinado totalmente por su primer término, a, y por su diferencia común, d. También, observe que a n a n d y que d a n a n. Como el coeficiente de d siempre es igual al número del término menos uno, el enésimo término es el siguiente. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA término de una progresión aritmética es a n a (n )d donde a es el primer término y d la diferencia común. El enésimo SECCIÓN 6- PROGRESIONES ARITMÉTICAS 7

228 El lector puede comprobar que esta fórmula da como resultado los términos anteriores, desde a hasta a 6, sustituyendo los valores de n,,, 4, 5 y 6. EJEMPLO Determine el enésimo término de la progresión aritmética,, 7,... Solución Emplee la fórmula anterior con a y d a a 9. Así, a n a (n )d (n ) (9) 9n 0 PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Los siguientes son los primeros términos de progresiones aritméticas. Determine el enésimo término en cada caso.. 5, 0, 5,.... 6,,,.... 0, 5, ,,,... 5.,,,... 6.,,,... Determine el enésimo término, a n, de la progresión aritmética con los valores del primer término y de la diferencia común que se dan en cada caso. 7. a ; d 8. a 5; d 9. a 0; d 5 0. a ; d EJEMPLO El primer término de una progresión aritmética es 5 y el quinto es. Calcule el cuadragésimo término. Solución Como a 5, hacemos que n 5 en la fórmula a n a (n )d, para despejar d. a 5 a (5 )d 5 4d 8 4d 7 d Entonces, a 40 5 (9)7 58. Es posible que sumar los términos de una sucesión finita, no implique mucha dificultad cuando la cantidad de términos que se suman es pequeña. Sin embargo, cuando se han de sumar muchos términos, el tiempo y el esfuerzo necesarios son abrumadores. Por ejemplo, para sumar los 0,000 primeros términos de la sucesión aritmética que comienza con 46, 6, 76,... se necesitaría un esfuerzo enorme, a menos que se pudiera encontrar algún atajo. Por fortuna, contamos con un método fácil para calcular esas sumas. Este método (disfrazado) ya lo empleamos en la pregunta al principio de las sección 6-. Veamos el panorama general. Sea S n la suma de los n primeros términos de la progresión aritmética representada por a k a (k )d: 8 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

229 La suma de una progresión aritmética también se llama serie aritmética. S n n k [a (k )d] a [a d] [a d]... [a (n )d] Si escribimos esta suma en orden inverso y escribimos juntas las dos igualdades obtendremos: S n a [a d]... [a (n )d] [a (n )d] D D D D S n [a (n )d] [a (n )d]... [a d] a Ahora sumamos para obtener S n [a (n )d] [a (n )d]... [a (n )d] [a (n )d] En el lado derecho de esta ecuación hay n términos, y cada uno tiene la forma a (n )d. Por consiguiente, Para despejar S n dividimos entre : S n n [a (n )d] S n n [a (n )d] Regresamos a la notación de sumatoria para poder resumir nuestro resultado como sigue: SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA S n [a (k )d] n [a (n )d] EJEMPLO Calcule S 0 de la progresión aritmética cuyo primer término es a y cuya diferencia común es d 5. Solución n k Sustituya a, d 5 y n 0 en la fórmula de S n y obtendrá S 0 0 [() (0 )5] 0(6 95) 00 EJEMPLO 4 Calcule la suma de los 0,000 primeros términos de la progresión aritmética que comienza con 46, 6, 76,... Solución Como a 46 y d 5, S 0,000 0, 000 [(46) (0,000 )5] 5000(50,477) 75,85,000 SECCIÓN 6- PROGRESIONES ARITMÉTICAS 9

230 EJEMPLO 5 Calcule la suma de los n primeros enteros positivos. Solución Primero nos percatamos de que el problema pide la suma de la progresión a k k con k,,..., n. Es una progresión aritmética en la que a y d. Por consiguiente, n k k n [() (n )] n(n ) Con el resultado del ejemplo 5 podemos comprobar la respuesta donde se pedía la suma de los primeros 000 enteros positivos, al principio de la sección 6- como sigue: 000 k k 000( 00) 500,500 La forma a k a (k )d del término general de una progresión aritmética se transforma con facilidad en a k dk (a d). Esta última es la forma que más se usa cuando se da el término general de una progresión aritmética específica. Por ejemplo, normalmente comenzaríamos con la forma a k k 5 en lugar de a k 8 (k ). Lo importante que debemos notar en la forma a k dk (a d) es que la diferencia común es el coeficiente de k. EJEMPLO 6 Evalúe (6k 0) Solución Primero observe que a k 6k 0 es una progresión aritmética con d 6 y a k 50 k (6k 0) [(4) (50 ) (6)] La fórmula para una serie aritmética se puede convertir en otra, muy útil, cuando a (n )d se reemplaza por a n. Así, Cuando se rearregla esta forma como S n n a a n se puede considerar que la suma es n veces el promedio del primero y el último términos. S n n [a (n )d] n [a a (n )d] n (a a ) n SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA (Forma alterna) S n n (a a n ) Aplique este resultado al ejemplo 6, con a 4, a y S 50 (90)) (4 0 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

231 Para decidir cuándo un entero positivo, N, es divisible entre, se usa el hecho que N es divisible entre si la suma de sus dígitos es divisible entre. Así, 6 es divisible entre, porque 6 9 es divisible entre. EJEMPLO 7 Calcule la suma de todos los múltiplos de, desde 4 hasta 6. Solución El primer múltiplo de después de 4 es 6 a, y el que antecede a 6 es 6 a n. Calcule n. a n a (n )d 6 6 (n ) 86 n Entonces S [a a 86 ] 8 6 [6 6],48 Compruebe que la diferencia común es d b a. Cuando se introduce el promedio de dos números, (a b)/ entre ellos, se obtiene la progresión aritmética a, a b, b. El promedio (a b)/ se llama media arit- mética de los dos números a y b. Este concepto se puede ampliar, esto es, cuando se tienen dos números puede haber más de una media aritmética si vemos lo siguiente: si k es un entero positivo y a, m, m,..., m k, b es una progresión aritmética, entonces los números m, m,..., m k son k medias aritméticas entre a y b. Por ejemplo, como, 6, 0, 4 y 8 es una progresión aritmética, entonces 6, 0 y 4 son tres medias aritméticas entre y 8. EJEMPLO 8 Introduzca cuatro medias aritméticas entre 5 y 0. Solución Necesita los números m, m, m y m 4 para que 5, m, m, m, m 4 y 0 sea una progresión aritmética. Para calcular la diferencia común d, se usa la fórmula a n a (n )d, en la que a 5, n 6, y a n a 6 0. Entonces 0 5 (6 )d 5d 5 d Ahora comenzamos en 5 y sumamos cada vez, para obtener las medias aritméticas 8,, 4 y 7, de manera que la progresión es 5, 8,, 4, 7, 0 Nuestro ejemplo final será una aplicación de las progresiones aritméticas a un caso financiero. EJEMPLO 9 Suponga que contrata un préstamo por $6000 a corto plazo y que lo debe pagar en exhibiciones mensuales iguales, más el % mensual por saldos insolutos. El pago de cada mes se hace durante la primera semana del mes siguiente. a) Escriba el término general de la sucesión que expresa el saldo mensual. SECCIÓN 6- PROGRESIONES ARITMÉTICAS

232 b) Cuál es el interés de cada uno de los primeros meses? Exprese el término general de la progresión que indica la cantidad del interés mensual. c) Cuál es el pago total por intereses en el año y qué porcentaje es del préstamo de $6000? Al final del primer mes, su saldo es (0) 6000, y cuando k es () 500, que es el último pago en la primera semana del decimotercer mes. Solución a) Los pagos mensuales iguales del préstamo son pesos. Como esos pagos se hacen durante la primera semana del mes siguiente, el balance mensual es a k (k ) donde k,,...,. b) El interés del primer mes es % sobre $6000, o 6000(0.0) 80 pesos. También se pagan $500, de modo que el interés del segundo mes es 5500(0.0) 65 pesos. Igualmente, el interés para el tercer mes es 5000(.0) 50 pesos. En general, el pago mensual por interés es saldo mensual tasa mensual Es una progresión arimética con a 80 y d 5. [ (k )] (.0) 80 5 (k ) 95 5k c) El interés total es la suma de los pagos de intereses. Así k (95 5k) ( 80 ( 5)) 6(95) 70 La tasa anual es % 6000 EJERCICIOS 6- En cada caso aparecen los dos primeros términos de una progresión aritmética. Escriba los tres términos siguientes; determine el enésimo término y calcule la suma de los 0 primeros términos..,,...., 4,...., 4,... 4.,, ,8, ,, , 5,... 8., 4, , 00, ,,.... 0, 0,.... 5, 6,... Calcule el total que se pide, sumando normalmente; también calcule el total con la fórmula de la suma de una progresión aritmética CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

233 Calcule a 0 para la progresión aritmética que tiene a 0 y a Calcule a 5 para la progresión aritmética en la que a 9 y a 8 9. Calcule S 00 para la progresión aritmética con los valores dados de a y d. 9. a ; d 0. a ; d 8. a 9; d. a 7; d 0. a 7 ; d 5 4. a 5 ; d 4 5. a 75; d a 0.; d 0 7. Calcule S 8 de la progresión 8, 8,..., 6n 4, Calcule S 5 de la progresión 96, 00,..., 4n 9, Calcule la suma de los primeros 50 múltiplos positivos de. 0. a) Calcule la suma de los 00 primeros números pares. b) Calcule la suma de los n primeros números pares positivos.. a) Calcule la suma de los 00 primeros números impares. b) Calcule la suma de los n primeros números impares positivos. 47. Introduzca seis medias aritméticas entre 8 y Introduzca siete medias aritméticas entre 6 y Introduzca seis medias aritméticas entre 5 y. 50. Se deja caer un objeto desde un aeroplano, y durante el primer segundo cae pies. Durante cada uno de los segundos siguientes cae 48 pies más que en el segundo anterior. Cuántos pies cae durante los primeros 0 segundos? Cuánto cae durante el décimo segundo? 5. Suponga que ahorra $0 una semana y que de ahí en adelante ahorra 50 centavos más que en la semana anterior. Cuánto habrá ahorrado al finalizar un año? 5. Suponga que un saco de 00 libras de grano tiene un pequeño agujero en el fondo, que cada vez que se hace más grande. El primer minuto sale de onza, y de ahí en adelante, en cada minuto siguiente se sale de onza más que durante el minuto anterior. Cuántas libras de grano quedan en el saco después de una hora? Una libra tiene 6 onzas. Evalúe lo siguiente. k. [ (k )9]. [6 (k ) ] 0 k 4. (4k 5) 5. (0k ) 40 k 6. ( k ) 7. ( 4 k ) 0 k 9 k 0 k 49 k n k 8. 5k 9. 5k 40. Determine u tal que 7, u, 9 sea una progresión aritmética. 4. Determine u tal que 7, u, 5 sea una progresión aritmética. 4. Calcule el vigésimo tercer término de la progresión aritmética 6, 4, Calcule el trigésimo quinto término de la progresión aritmética, 5, Introduzca tres medias aritméticas entre 8 y Introduzca cuatro medias aritméticas entre y Introduzca cinco medias aritméticas entre 6 y Un préstamo de $,000 se paga en abonos mensuales iguales, durante la primera semana del mes siguiente. La tasa de interés es % mensual sobre saldos insolutos. (Los saldos insolutos representan la cantidad que queda al final de un mes antes de pagar los 00 pesos correspondientes a ese mes). a) Calcule el pago mensual de interés en cada uno de los primeros meses. b) Deduzca el término general de las progresiones que expresan el saldo mensual y el interés mensual. c) Calcule el interés total pagado en el año y la tasa anual de interés. 54. Una pirámide de bloques tiene 6 bloques en la hilera inferior y bloques menos en cada hilera en adelante. Cuántos bloques hay en la pirámide? 0 n Evalúe (5n ). Use la fórmula S n n (a a ) para calcular S n 80 de las progresiones en los ejercicios 56 y a k k a k k 8 SECCIÓN 6- PROGRESIONES ARITMÉTICAS

234 58. Calcule la suma de todos los números pares que hay entre y Calcule la suma de todos los números impares que hay entre y Calcule la suma de todos los múltiplos de 4 que hay entre 00 y k 6. Si [a (k )d] 5865 y [a (k )d] 60, calcule a y d. 0 k 6. Si se hace una lista de los primeros términos de una progresión, como, 4, 6,... sin enunciar su término general ni describir de qué tipo de sucesión se trata, es imposible predecir el término siguiente. Demuestre que las dos progresiones, t n n y u n n (n )(n ) (n ) producen estos tres primeros términos, pero son distintos sus cuartos términos. 6. Determine u y v tales que, u, v, 0 sea una progresión aritmética. 64. Cuál es la relación entre las progresiones aritmética y las funciones lineales? 65. La función f, definida por f(x) x 7 es una función lineal. Calcule 6 k aritmética asociada con f. f k, en donde f k f(k) es la progresión REDACCIÓN Sea f(x) x 8x para todos los números reales x, y sea a n a (n )d cualquier progresión aritmética. Cuál es la cantidad máxima de puntos, (x, y), en la gráfica de y f(x) que coinciden con los puntos de la progresión (n, a n )? Explique su respuesta. (Nota: a n dn b, en donde b es igual a la constante a d). RAZONAMIENTO CRÍTICO. Las sucesiones infinitas pueden tener o no una cantidad infinita de términos distintos. Cite ejemplos de términos generales de sucesiones infinitas que tengan la siguiente cantidad de términos distintos: (a) uno, (b) dos y (c) tres. n k. Si el sumando k de (k ) se cambia a k, el valor de la suma será igual, siempre que se haya hecho el cambio adecuado en el índice de la n k sumatoria. Haga ese ajuste completando la ecuación (k ) (k ). A continuación complete la igualdad (k )..., en la cual se ha modificado el índice de la sumatoria ajustando el sumando.. El procedimiento que empleamos en los ejercicios 44 y 45 de la sección 6- evita cálculos tediosos para evaluar ciertas sumas. Convierta a k (k) 4 (k) n k n k 0 k en la diferencia de dos fracciones y evalúe a k. 4. En los ejercicios 0(b) y (b) de esta sección se pidió la suma de los n primeros enteros impares, y la suma de los n primeros enteros pares. Cuando se suman las dos respuestas, la suma de cuales enteros consecutivos que comienzan con, representa este resultado? Use la fórmula de la suma de una progresión aritmética para comprobar su resultado. 4 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

235 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Suponga que se deja caer una pelota desde una altura de 4 pies, y que rebota directo hacia arriba y hacia abajo, y que en cada rebote sube exactamente la mitad de lo que acaba de bajar. Qué distancia habrá recorrido la pelota si usted la atrapa al llegar a la cúspide del quinto rebote? La siguiente figura le ayudará a contestar esta pregunta. Para mayor claridad hemos separado los rebotes. Baja 4' Sube Baja ' Sube ' ' Baja Sube ' Baja Sube ' ' 4 Baja ' 4 Sube ' 8 { Primer rebote { Segundo rebote { Tercer rebote { Cuarto rebote { Quinto rebote Con este diagrama podemos determinar lo que ha recorrido la pelota en cada rebote. En el primero baja 4 pies y sube, en total 6 pies; en el segundo rebote, la distancia total es pies, y así sucesivamente. Estas distancias forman la sucesión que vemos, de cinco términos uno por cada rebote. 6,,, 4, 8 Esta sucesión tiene la propiedad especial que, después del primer término, cada término sucesivo se puede obtener multiplicando el anterior por ; esto es, el segundo término,, es la mitad del primero, y así sucesivamente. Este es un ejemplo de una progresión geométrica. Más adelante deduciremos una fórmula para calcular la suma de esta progresión; mientras tanto, podemos calcular la distancia total que ha recorrido la pelota durante los cinco rebotes sumando los cinco primeros términos como sigue: 6, También se llama progresión geométrica a una sucesión geométrica DEFINICIÓN DE SUCESIÓN GEOMÉTRICA Se dice que una sucesión es geométrica si cada término, después del primero, se obtiene multiplicando el término anterior por un valor común. He aquí los cuatro primeros términos de una progresión geométrica:, 4, 8, 6, SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 5

236 Por inspección se puede determinar que el multiplicador común de esta progresión es. Para calcular el enésimo término deduciremos primero una fórmula que sirva para cualquier progresión geométrica. Sea a n el enésimo término de una progresión geométrica, y sea a su primer término. El multiplicador común, que también se llama razón común, o simplemente razón, se representa por r. Los cuatro primeros términos de la progresión son a a a r a a r (a r) a r a 4 a r (a r ) r a r Observe que el exponente de r es el número de orden del término menos. Esta observación nos permite definir como sigue el enésimo término. Está fórmula dice que enésimo término de una progresión geométrica queda totalmente determinado por el primer término, a, y la razón común. TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA término de una progresión geométrica es a n a r n en donde a es el primer término y r es la razón común. El enésimo Con este resultado, los cuatro primeros términos y el enésimo término de la progresión geométrica que vimos antes son los siguientes. Veamos dos ejemplos más:, 4,8, 6,..., () n (r),, 9, 7,..., n (r ) 5, 5, 5, 5,..., 5() n (r ) El lector puede sustituir los valores n,, y 4 en las formas de los enésimos términos y ver que se obtienen en cada caso los cuatro primeros términos. EJEMPLO Determine el centésimo término de la progresión geométrica con r y a. Solución El enésimo término de esta progresión es a n n n n Entonces, a La causa de que a r se le llame razón común de una progresión geométrica es que para toda n, la razón del (n )enésimo término al enésimo término es igual a r. Así, a n a rn r a a n r n 6 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

237 Observe que también se puede calcular r usando a y a. 7 a a EJEMPLO Determine el enésimo término de la progresión geométrica 6, 9, 7, y calcule el séptimo término. Solución Primero determine a r. Entonces el enésimo término será r a 9 a 6 a n 6 n Sean n 7: a ( ) EJEMPLO Escriba el késimo término de la progresión geométrica a k ( )k en la forma a r k y determine el valor de a y r Solución El primer término, a, también se puede determinar sustituyendo en la fórmula que dimos para a k ; a continuación se determina. a a y se calcula r. a Entonces, a 4 y r 4. a k k k 4 k 4 k Esto ya está en la forma a r n. PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Escriba los cinco primeros términos de las progresiones geométricas cuyo término general aparece. También escriba el enésimo término en la forma a r n y determine r.. a n ( )n. a n ( )n. a n ( )n 4. a n ( )n Calcule r y determine el enésimo término de la progresión geométrica cuyos dos primeros términos se mencionan. 5.,. 6. 7,. 5 EJEMPLO 4 Una progresión geométrica formada por números positivos tiene a 8 y a 5. Determine r. 9 Solución Usamos n 5 en a n a r n. 8r 9 4 Compruebe este resultado, escribiendo a 8 y calculando a,a,a 4 y a 5 mediante a n a n r. Como los términos son positivos, r. r r ± ± SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 7

238 Regresemos al problema original de esta sección. Vimos que la distancia total que recorrió la pelota es 5 8 pies. Ésta es la suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica cuyo enésimo término es 6( )n. Fue fácil sumar estos cinco términos. Pero qué hay de sumar los primeros 00 términos? Disponemos de una fómula para calcular la suma de una progresión geométrica, que nos permitirá responder con facilidad este tipo de preguntas. La suma de una progresión geométrica se llama serie geométrica. Igual que con las series aritméticas, disponemos de una fórmula para calcular las sumas. Para deducirla, sea a k a r k una progresión geométrica, y sea S n a r k. Entonces S n a a r a r a r n a r n Multiplicando por r esta ecuación obtenemos rs n a r a r a r n a r n Ahora veamos las dos ecuaciones siguientes S n a a r a r a r n a r n rs n Restamos y factorizamos: D D D D a r a r a r n a r n a r n S n rs n a a r n ( r)s n a ( r n ) n k En este caso, r. Sin embargo, cuando r, a k a r k a, que también es una progresión aritmética con d 0. Para despejar S n dividimos entre r: a ( r n ) S n r Regresamos a la notación de sumatoria para resumir nuestros resultados como sigue: SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA n a S n a r k ( r n ) (r ) r k Con esta fórmula podemos comprobar nuestro resultado anterior del rebote de la pelota: 6[ 5 ] 5 k 6 k CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

239 EJEMPLO 5 Calcule la suma de los 00 primeros términos de la progresión geométrica definida por a k 6( )k y demuestre que el resultado es muy cercano a. Solución S A continuación vemos que la fracción 00 es tan pequeña que 00 es casi igual a, y por consiguiente S 00 es casi igual a. 8 k EJEMPLO 6 Calcule: 0 k 6 00 Otro modo de determinar a a y a r es escribir los primeros términos como sigue: , Entonces a 0.0 y r 0.. Los progresiones geométricas tienen muchas aplicaciones, como vemos en los ejemplos 7 y 8. El lector se encontrará con otras en los ejercicios al final de esta sección. Solución Entonces, a 0.0, r 0. y k 0 00 k 0 S [ ( 0.) 8 ] [ EJEMPLO 7 Suponga que usted ahorró $8 en enero, y que de ahí en adelante sólo ha podido ahorrar la mitad de lo que ahorró el mes anterior. Cuánto ha ahorrado en el décimo mes y cuánto es su ahorro total entonces? Solución Lo que ahorra cada mes forma una progresión geométrica en la que a 8 y r. Entonces, a n 8 n y 7 a Esto quiere decir que usted ahorró 5 centavos en el décimo mes. Sus ahorros totales son: 8 S Los ahorros totales son $ SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 9

240 EJEMPLO 8 Un rollo contiene 65 pies de alambre. Si se corta una y otra vez la quinta parte del alambre, cuál es el término general de la progresión que expresa la longitud del alambre que queda? Con un calculadora y ese término general determine la longitud del alambre en el rollo después de cortarlo 7 veces. Solución como se corta 5 quedan Así, 65(0.8) 500 son los pies que 5 quedan después de un corte, 65(0.8)(0.8) 500(0.8) 400 pies después de dos cortes, y después de n cortes, la longitud del alambre que queda es 65(0.8) n pies. Con una calculadora obtenemos 65 (0.8) 7.07 Primer corte (65) 5 Por consiguiente al redondear a la décima de pie, quedan. pies de alambre después de cortarlo 7 veces. Una media geométrica de dos números reales, a y b es un número, g, tal que a, g, b es un progresión geométrica, si r es la razón común, entonces ar g y gr b. Despejando r e igualando los resultados se llega a g a b 8 o g ab Observe que 8 y tienen las mismas medias geométricas, mientras que 8 y no tienen, porque 8 no es un número real. Entonces g ± ab, siempre que ab sea número real. Por ejemplo, las medias geométricas entre 8 y son ± 8 ± 576 ± 4. Tal como hicimos en las medias artiméticas, el concepto de las medias geométricas también se puede ampliar como sigue. Para números reales a y b, y un entero positivo k, si hay k números g, g,, g k tales que a, g, g,, g k, b es una progresión geométrica, entonces las g i son k medias geométricas entre a y b. EJEMPLO 9 Intercale tres medias geométricas tres entre 7 y 567. Solución Se piden tres números, g, g,y g, tales que 7, g, g, g, 567 sea una progresión geométrica. Para determinar la razón común se usa la fórmula a n a r n, en donde a a 7, a y a 5: Hay dos soluciones: 567 7r 4 8 r 4 ± r Para r, la progresión 7,, 6, 89, 567. Para r, la progresión 7,, 6, 89, CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

241 EJERCICIOS 6-4 Se dan los tres primero términos de una progresión geométrica. escriba los tres términos siguientes y también la fórmula del enésimo término.., 4, 8,., 4, 8,.,, 9, 4.,,, 5.,,, 6. 00, 0,, 7., 5, 5, 8., 6,, 9. 6, 4, 8, 0. 64, 6, 4,. 0, 00 0, 0,. 7 8,,, Calcule el total de los seis primeros términos de la progresión indicada, empleando suma ordinaria y también con la fórmula de la suma de una progresión geométrica.. La progresión del ejercicio. 4. La progresión del ejercicio La progresión del ejercicio Calcule el décimo término de la progresión geométrica, 4, 8, 7. Calcule el decimocuarto término de la progresión geométrica 8, 4,, 8. Calcule el decimoquinto término de la progresión geométrica,,,... 00,000 0, Cuál es el centésimo primer término de la progresión geométrica que tiene a y r? 0. En la progresión geométrica con a 00 y r, determine cuál término es igual a 0 0 0, con la fórmula a n a r n.. Calcule r de la progresión geométrica con a 0 y a Calcule r de la progresión geométrica con a 5 y a 5.4 Evalue lo siguiente: 0 k. k 4. j 8 k n 5. k 6. 0 k 0 j k 5 k 7. k 4 8. () k 5 j 9. j k. 6 k 6 k 8 k k. Calcule u 0 tal que, u, 98 sea una progresión geométrica.. Determine u 0 tal que, u, 7 5 sea una progresión geométrica Forme una progresión cuyo primer término sea 5, que sea geométrica y aritmética a la vez. Cuáles son r y d? 5. Calcule las medias geométricas de 8 y. 6. Intercale tres medias geométricas entre y Intercale tres medias geométricas entre 6 y Intercale cuatro medias geométricas entre 8 y Suponga que alguien le ofrece un trabajo por el que va a ganar centavo el primer día, el segundo, 4 el tercero, etcétera; cada día gana el doble de lo que ganó el día anterior. Cuánto ganará en 0 días en ese trabajo? 40. Suponga que lo que usted ahorra en determinado mes es el doble de lo que ahorró en el mes anterior. Cuánto habrá ahorrado al final de un año, si en enero ahorró $? Cuánto si en enero ahorró 5 centavos? 4. Cierto cultivo bacteriano crece duplicando su cantidad cada día. Al finalizar el primer día hay 000 bacterias; cuántas habrá después de 0 días? Cuántas después de n días? 4. Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que al final de cada mes sólo hay la tercera parte de lo que había al principio. Si había 75 gramos de la sustancia al principio de año, cuánto queda a mitad del año? 4. Suponga que un automóvil se deprecia el 0% cada año, durante los primeros 5 años. Cuánto vale después de 5 años si su precio original fue $4,80? 44. En la fórmula del interés compuesto, A t P( r) t, P es el capital inicial, r es la tasa de interés anual y t es la cantidad de años durante los cuales se ha compuesto el interés anualmente para obtener el valor total A t. Explique cómo se puede considerar que esta fórmula es la de término general de una progresión geométrica. 45. Se invierten $800 al % de interés compuesto anualmente. SECCIÓN 6-4 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

242 a) Cuánto se tiene despues de n años? b) Cuánto se tiene después de 5 años? 46. Qué cantidad se debe invertir a % de interés compuesto anualmente para que después de años se tengan $000? 47. Calcule la cantidad que gana una inversión de $500 con interés de 8% compuesto anualmente durante 5 años. 48. a) Si se cortan repetidamente del alambre del ejemplo 8, 5 cuál es la forma general de la progresión de la longitud del alambre restante? b) Qué longitud queda después de hacer seis cortes? Exprese la respuesta con precisión de décima de pie. c) Cuál es la forma general de la longitud total de alambre restante después de haberlo cortado n veces? 49. a) Se tiene un conjunto de recipientes cuyo tamaño decrece de tal modo que el segundo tiene del volumen del primero, el tercero del volumen del segundo, etcétera. Si el recipiente está vacío y los demás están llenos de agua, pueden vaciarse todos ellos en el primero sin que se derrame el agua? Explique la respuesta. b) Conteste la pregunta en parte (a) suponiendo que cada recipiente, después del primero, tiene del volumen del que le precede. 50. Determine el primer término y la razón común de una progresión cuyo cuarto término es 9 y el sexto es 8. (Hay 8 dos respuestas posibles). RETO Suponga que chasquea sus dedos, espera minuto y los vuelve a chasquear. Después los chasquea pasados minutos, después a los 4 minutos, de nuevo a los 8 minutos, etc., cada vez esperando el doble de tiempo que para el chasquido anterior. Primero adivine cuántas veces chasquearía sus dedos si continuara con ese proceso durante un año. Calcule cuánto tiempo pasaría para chasquearlos (a) 0 veces, (b) 5 veces, y (c) 0 veces. REDACCIÓN. Con ejemplos específicos, explique la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica.. En la fórmula de la suma de una progresión geométrica, r. Explique por qué el caso con r queda comprendido en otras partes de nuestro estudio de las sucesiones. 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS Zenón, filóso griego de la Antigüedad (aprox. 450 a. de C.), propuso cuatro paradojas que confundieron a los filósofos de su tiempo. Por ejemplo, en una de ellas decía que nunca se puede cruzar un recinto, porque para hacerlo se debe alcanzar el punto medio entre las paredes. Después se debe recorrer la mitad de la distancia restante, y quedaba por recorrer la cuarta parte de la distancia y así sucesivamente. Representando con w el ancho del recinto, se podría indicar la distancia recorrida con la siguiente suma de una cantidad infinita de términos: w 4 w 8 w w 6 Por ello, independientemente de la cercanía a la otra pared del recinto, siempre se debe recorrer la mitad de la distancia restante antes de llegar. Por consiguiente, decía Zenón, nunca se puede llegar al otro lado! CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

243 Más adelante, en esta sección, se presentará una solución matemática de paradoja, pero primero vamos a describir la suma de una cantidad infinita de términos. Para ello será de utilidad la familiaridad del lector con las formas decimales. La fracción 4 75 es 0.75 en forma decimal, lo que significa. Esto también se puede escribir en la forma. Y qué hay con 0 00? En forma decimal se escribe en la que los puntos quieren decir que el se repite de manera infinita. Este decimal se puede expresar como una suma de fracciones cuyos denominadores son potencias de 0: La suma de una sucesión infinita es una serie infinita. Los números que estamos sumando son los términos de la progresión geométrica infinita, cuyo primer término es a y razón es r 0. entonces, el enésimo término 0 es n a r n n 0 0 n n 0 La suma de los n primeros términos, S n, se llama enésima suma parcial y se determina con la fórmula Examinemos algunos casos: n S n a r k a ( r n ) r 0 0 S S k S lugares S n 0 0 n n lugares SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS

244 Como puede ver, conforme se agregan más y más términos, el resultado se acerca más y más a. Esto lo podemos apreciar si estudiamos la forma de la suma de los primeros n términos: S n 0 n Es claro que mientras más grande es n, se acerca más a cero y se acer- 0 n 0 n ca más a y, por último, S n se acerca más a. En símbolos, podemos expresarlo como sigue: Cuando n, 0 n 0 y 0 n Así cuando n, S n Aunque es cierto que S n nunca es exactamente igual a,cuando n es muy grande, la diferencia entre S n y es muy pequeña. Expresándolo en otra forma: Si hacemos que n sea suficientemente grande, podemos hacer que las sumas parciales S n sean tan cercanas a tanto como queramos. Lo que deseamos expresar cuando decimos que la suma de todos los términos es es: n... También podemos emplear aquí el símbolo de sumatoria,, haciendo ajustes en la notación. Tradicionalmente se ha empleado el símbolo para indicar una cantidad infinita de objetos. Por ello lo usaremos y pasaremos de la suma de una cantidad finita de términos n S n 0 k n k 0 n En cálculo infinitesimal se sustituye el símbolo S por lím S n, que se lee el límite de S n cuando n se hace arbitrariamente grande es. a la suma de una cantidad infinita de términos: S 0 k n... k No todas las progresiones geométricas generan series geométricas cuya suma es finita. Por ejemplo, la progresión, 4, 8,..., n,... es geométrica, pero la serie geométrica correspondiente n... no puede tener una suma finita. Las sumas parciales se hacen más y más grandes, sin límite. Ya para estas alturas usted puede sospechar que la razón común, r, determina si se puede sumar una progresión geométrica infinita. Sucede que así es. Para ver por qué examinaremos el caso general a continuación. 4 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

245 Sea a, a r, a r,..., a r n,... una progresión infinita. Entonces, la suma de los n primeros términos, que es la enésima suma parcial, es La rearreglamos en esta forma: S n a ( r n ) r a S n ( r r n ) Con una calculadora revise las potencias de r 0.9 y r., con los decimales indicados. (0.9) 0.9 (0.9) (0.9) 0 0. (0.9) (0.9) (0.9) T se aproxima a 0 (.). (.) 5.6 (.) 0.6 (.) (.) (.) T se hace muy grande En este punto se aclara la importancia de r n. Si, cuando n se hace grande, r n se hace muy grande, la serie geométrica infinita no tiene suma finita. Pero si r n se acerca arbitrariamente a cero cuando n se hace grande, entonces r n se acercaa a y S n se acerca más y más a. r Los valores de r para los cuales r n se acerca arbitrariamente a cero son precisamente aquellos comprendidos entre y ; esto es, r. Por ejemplo, 5,,y 0.09 son valores de r para los cuales r 0 n se acerca a cero, y.0, y son valores para los cuales la serie no tiene suma finita. Resumiendo, tenemos el siguiente resultado: SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA Si r, entonces S a r k a. Para otros valores de r, la serie no tiene suma finita. k r EJEMPLO Solución Como r Calcule la suma de la serie geométrica infinita: y a 7, la fórmula anterior da como resultado S EJEMPLO Por qué la serie geométrica infinita 5 4 k no tiene suma finita? Solución La serie no tiene suma finita porque la razón común r 4 no está entre y. k SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 5

246 Otro modo de determinar a es 7 7 hacer k en: 0 k a También, se puede determinar r formando el cociente del segundo término entre el primer término. 7 0 r EJEMPLO Calcule 0 k 7 7 Solución Ya que 0 k 7 0 k k 00 k, entonces 0 a 7 00 y r 0. Por consiguiente, de acuerdo con la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita, se obtiene S k k k PRUEBE SU COMPRENSIÓN (Encuentre las respuestas al final del libro). Determine la razón común, r, y a continuación calcule la suma, si existe, de la serie geométrica infinita dada k 6. (0.0) k k 7. () i i i n n Vimos antes cómo el decimal repetitivo infinito, se puede considerar como una serie geométrica infinita. El ejemplo que sigue muestra cómo se pueden es cribir esas fracciones decimales en la forma racional a b empleando la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita. k (el cociente de dos enteros) EJEMPLO 4 Exprese el decimal repetitivo en forma racional. Observe que 4 0k 4 0 k 4 k k k Solución Primero escriba ,000,00 0, k k... 6 CAPÍTULO 6 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Y ARITMÉTICAS

247 Entonces, a 4 00, r 00 y k k Compruebe este resultado dividiendo entre Parece como si el caballo no pudiera terminar la carrera de este modo. Pero siga leyendo para ver que en realidad no hay contradicción con esta interpretación. EJEMPLO 5 Un caballo de carreras corre a la velocidad constante de 0 millas por hora, y termina en minutos la carrera de una milla. Ahora suponga que la carrera se divide en las partes siguientes: antes de que el caballo pueda terminar esta carrera debe alcanzar la marca intermedia; una vez alcanzada, debe alcanzar la marca siguiente de cuarto de milla; después la siguiente de un octavo de milla, y así sucesivamente. Esto es, siempre debe recorrer la mitad de la distancia que queda antes de poder recorrer toda la distancia. Demuestre que la suma de la cantidad infinita de intervalos de tiempo también es minutos. Meta T D R tiempo distancia velocidad. Observe que la velocidad de 0 millas por hora se convierte en milla por minuto. Solución Durante la primera milla, el tiempo será minuto; para el si- guiente 4 4 de milla, el tiempo será minuto; en el siguiente 8 de milla el tiempo 8 será 4 de minuto, y en la enésima distancia, que es millas el tiempo será n n n minuto. Entonces, aquí el tiempo total está expresado por la serie siguiente: k 4... n... k SECCIÓN 6-5 SERIES GEOMÉTRICAS INFINITAS 7